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    例析數(shù)學思維在解答地理計算題中的妙用

    2018-12-06 11:14:14河南李躍進
    教學考試(高考地理) 2018年5期
    關(guān)鍵詞:馬累時區(qū)緯度

    河南 李躍進

    眾所周知,地理是一門綜合學科,兼有自然科學和人文科學的思維方法。數(shù)學是自然科學的基礎(chǔ),它的思維方法又滲透在中學的各個學科中,因此,用數(shù)學思維解答地理計算題,可以收到事半功倍的效果。筆者一些典型題目進行了認真研究,受益匪淺。現(xiàn)本文以幾道題目為例簡要介紹幾種數(shù)學思維在解答地理解計算題中的妙用,以當引玉之磚,供讀者參考。

    一、數(shù)學公式求解法

    數(shù)學公式是人們在研究自然界時所發(fā)現(xiàn)的不同事物之間數(shù)量關(guān)系的一種表達方法,它確切地反映了事物內(nèi)部和外部的聯(lián)系。由于數(shù)學公式是根據(jù)一定的規(guī)則或標準、由公理和定理嚴密地演繹推理得出來的結(jié)論,因此它的科學性是不容懷疑的。對于自然地理中規(guī)律性強的地理計算題,運用數(shù)學公式求解法往往十分有效。例如,正午太陽高度、晝夜長短、晨昏線、時間與日期、陡崖高度、球面距離等計算公式,平時要多注意積累與自然地理相關(guān)的數(shù)學公式,并且正確使用與數(shù)學相關(guān)的計算公式。

    【例1】(2015年浙江卷·11)下圖為某地地方時12時的太陽周年位置軌跡示意圖。

    若甲、乙兩個位置的太陽高度之和為90°,則乙位置太陽高度為

    ( )

    A.47° B.43° C.23.5° D.21.5°

    【解析】本題考查正午太陽高度的季節(jié)變化規(guī)律,主要利用某地一年內(nèi)的正午太陽高度最大差值計算公式。假設某地一年內(nèi)的最大正午太陽高度為Hmax、最小正午太陽高度為Hmin,則該地一年內(nèi)的正午太陽高度最大差值為Hmax-Hmin??梢苑譃閮煞N情況:若該地位于南北回歸線以外,則Hmax-Hmin=黃赤交角×2=47°;若該地位于南北回歸線之間,則Hmax-Hmin=黃赤交角+當?shù)鼐暥?。由圖可知,甲、乙兩個位置的太陽高度分別是該地一年內(nèi)的最大正午太陽高度為Hmax和最小正午太陽高度為Hmin,因此Hmax+Hmin=90°;由題意可知,該地一年內(nèi)無陽光直射現(xiàn)象,應位于南北回歸線以外,因此Hmax-Hmin=47°;由Hmax+Hmin=90°、Hmax-Hmin=47°可求得Hmax=68.5°、Hmin=21.5°。故選D項。

    二、算術(shù)表達求解法

    算術(shù)表達式是指數(shù)學課程中由數(shù)字和運算符號組成的式子,可以簡單清晰地記錄或描述計算過程和內(nèi)容。地理計算題的已知條件往往會涉及一些相關(guān)的地理概念,這些概念有的是教材中已經(jīng)學過的,如氣溫垂直遞減率、人口自然增長率、城市人口比重等;有的則是材料給出的情境概念,如人口紅利、城市首位度、產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)偏離度、勞動力利用效率等。在解答與地理概念相關(guān)的計算題時,將地理概念轉(zhuǎn)化為算術(shù)表達式,可以有效理清解題思路,從而化繁為簡。

    【例2】(2015年山東卷·8)日照時數(shù)指太陽在某地實際照射的時間。圖們江是中國與朝鮮的界河。下圖為圖們江流域日照時數(shù)年內(nèi)變化柱狀圖。日照百分率為一個時段內(nèi)某地日照時數(shù)與理論上最大的日照時數(shù)的比值(﹪)。

    該流域3月份的日照百分率約為

    ( )

    A.53% B.62% C.70% D.78%

    【解析】本題考查區(qū)域日照百分率計算和讀圖分析能力。題目中核心概念的數(shù)學表達式為:日照百分率=實際日照時數(shù)/理論日照時數(shù)。由圖可知,圖們江流域3月份的實際日照時數(shù)約為230小時,解答該題的關(guān)鍵是求出圖們江流域3月份的理論日照時數(shù)。理論日照時數(shù)就是白晝時間長短,3月份在春分日(3月21日)附近,全球各地大致晝夜平分,每天的理論日照時數(shù)約為12小時,整個3月份的理論日照時數(shù)約為12小時×31=372小時。因此,該流域3月份的日照百分率=(230小時/372)×100%小時=62%。故選B項。

    三、集合理論求解法

    集合是指具有某種特定性質(zhì)的具體的或抽象的對象匯總成的集體,這些對象稱為該集合的元素;交集是指由若干個集合的相同元素組成的集合,這些相同元素稱為該交集的元素。對于同時滿足多個條件的地理計算題,運用集合理論求解法往往十分有效。例如,某道地理計算題讓求“此時赤道上和北京在同一日期的東半球的白晝范圍”,就可以把赤道上東半球的范圍、白晝的范圍和北京在同一日期的范圍看作三個集合,那么本題所求的范圍就是這三個集合的交集。

    【例3】(2015年全國新課標卷Ⅱ·8)1996年我國與M國簽訂海洋漁業(yè)發(fā)展合作規(guī)劃,至2010年我國有20多家沿海漁業(yè)企業(yè)(總部設在國內(nèi))在M國從事漁業(yè)捕撈和漁業(yè)產(chǎn)品加工,產(chǎn)品除滿足M國需求外,還遠銷其他國家,下圖示意M國的位置。

    如果都以當?shù)貢r間8:00—12:00和14:00—18:00作為工作時間,在M國的中資企業(yè)若在雙方工作時間內(nèi)向其總部匯報業(yè)務,應選在當?shù)貢r間的

    ( )

    A.8:00—9:00 B.11:00—12:00

    C.14:00—15:00 D.17:00—18:00

    【解析】本題考查地球運動的地理意義(區(qū)時計算)。由題意可知,所選的時間范圍應該是企業(yè)總部工作時間和中資企業(yè)工作時間兩個集合的交集。由圖可知,位于M國的中資企業(yè)使用的時間是0時區(qū)區(qū)時,而位于我國的企業(yè)總部使用的時間是東8區(qū)區(qū)時,因此中資企業(yè)使用的時間比企業(yè)總部使用的時間晚8個小時。當位于我國的企業(yè)總部處于工作時間(8:00—12:00和14:00—18:00)時,位于M國的中資企業(yè)的當?shù)貢r間應該是0:00—4:00和6:00—10:00。故選A項。

    四、比例關(guān)系求解法

    比例是指數(shù)學上表示兩個或多個比相等的式子,其基本性質(zhì)是兩個外項積等于兩個內(nèi)項積,運用該性質(zhì)可以求得比例中的未知項。對于兩個比能組成比例的地理計算題,運用比例關(guān)系求解法往往十分有效。例如,某道地理計算題讓求“在圖上距離3.6厘米表示實際距離1 080千米的地圖上,4.8厘米表示的實際距離是多少千米”,就可以根據(jù)比例尺的概念先確定圖上距離與實際距離的比均相等,然后再列出比例關(guān)系3.6∶1 080=4.8∶X,從而求出4.8厘米表示實際距離X=1 440千米。

    【例4】(2015年重慶卷·12)馬爾代夫是以旅游業(yè)為支柱產(chǎn)業(yè)的著名島嶼。2014年12月4日,馬累海水淡化廠設備摧毀導致該島淡水供應中斷。應馬爾代夫政府請求,中國政府及時向其提供了飲用水等物資和資金援助。下圖是馬爾代夫部分區(qū)域示意圖。

    中國一架滿載飲用水的飛機緊急從廣州飛往馬累,若北京時間12:00出發(fā),經(jīng)4小時到達馬累。機長身高為1.8m,到達時其在機場地面的身高影長接近于(tan55°≈1.43,tan65°≈2.14)

    ( )

    A.0.6 m B.1.2 m C.1.8 m D.2.4 m

    【解析】本題考查正午太陽高度角的計算和應用。解答本題需要以下四個步驟:(1)計算飛機到達馬累機場時的當?shù)氐胤綍r(13:00),(2)計算該日馬累的正午太陽高度(66°),(3)計算飛機到達馬累機場時的太陽高度(55°),(4)計算機長在機場地面的身高影長(1.2m)。其中,第三步運用到了比例關(guān)系求解法。具體解法為:①確定馬累該日的太陽高度變化范圍。由地球運動規(guī)律可知,馬累位于赤道附近,一天內(nèi)太陽高度的變化范圍約為正午太陽高度的4倍。②確定具有比例關(guān)系的兩個比。馬累的太陽高度變化之比與時間變化之比具有比例關(guān)系,設馬累該日的正午太陽高度為H,在T小時內(nèi)馬累太陽高度的變化為X,則有X:4H=T:24。③確定馬累1小時內(nèi)的太陽高度變化范圍。在X:4H=T:24中,H=66°,T=1小時,可求得X=11°。④確定飛機到達馬累機場時的太陽高度。馬累該日的正午太陽高度為H=66°,飛機到達馬累機場時的當?shù)氐胤綍r為13:00,此時馬累機場的太陽高度約為66°-11°=55°。由tan55°≈1.43,機長身高1.8m可計算出影長約為1.2m,故選B項。

    五、區(qū)間限定求解法

    區(qū)間是指數(shù)學上能表示在數(shù)軸上的不等式解集的一種表示方法,根據(jù)是否包含端點可以分為閉區(qū)間、開區(qū)間、左閉右開區(qū)間、左開右閉區(qū)間。對于含最大值和最小值的地理計算題,運用區(qū)間限定求解法往往十分有效。例如,某道地理計算題讓求“等高距為50米的等高線地形圖中,有4條等高線重疊的陡崖的可能相對高度”,就可以先求出陡崖相對高度的最大值(250米)和最小值(150米),然后確定陡崖相對高度的限定范圍[150,250),從而求出可能的相對高度。

    【例5】(2015年全國新課標卷Ⅰ·6)甘德國際機場(下圖)曾是世界上最繁忙的航空樞紐之一,當時幾乎所有橫跨北大西洋的航班都要經(jīng)停該機場補充燃料。如今,橫跨北大西洋的航班不再需要經(jīng)停此地。

    一架從甘德機場起飛的飛機以650千米/小時的速度飛行,1小時后該飛機的緯度位置可能為

    ( )

    A.66.5°N B.60°N

    C.53°N D.40°N

    【解析】本題考查地球與地圖中的球面距離計算。解答本題需要以下四個步驟:(1)確定飛機跨越緯度的最大值。若飛機沿經(jīng)線飛行則跨越緯度范圍最大,飛機飛行速度為650千米/小時,由“緯度1°所跨實際距離約110千米”可知,1小時后飛機跨越的緯度約6°。(2)確定飛機跨越緯度的最小值。若飛機沿緯線飛行則跨越緯度范圍最小,由于飛機沿緯線飛行時緯度沒有發(fā)生變化,因此1小時后飛機跨越的緯度為0°。(3)確定飛機跨越緯度的區(qū)間范圍。飛機沿經(jīng)線飛行時跨越緯度范圍最大(約6°),沿緯線飛行時跨越緯度范圍最小(0°),由題意可知,飛機的飛行方向不確定,因此飛機飛行1小時跨越緯度的區(qū)間范圍是[0°,6°)。(4)確定1小時后飛機緯度位置的區(qū)間范圍。由圖可知,甘德機場的緯度約為48°N,由于飛機飛行1小時跨越緯度的區(qū)間范圍是[0°,6°),因此1小時后飛機緯度位置的區(qū)間范圍是(42°N,54°N)。故選C項。

    六、畫數(shù)軸求時間法

    “時區(qū)和日界線”在日常生活和國際交往中應用廣泛,屬于對生活有用的地理知識,既是地理教學的重點和難點,也是歷年高考的高頻考點。解答這部分時間計算問題難度一般比較大,需要學生具有較強的空間想象能力,但如果用畫數(shù)軸的方法來求解,就會收到事半功倍的效果。數(shù)軸是一條規(guī)定了原點、方向和單位長度的直線,用畫數(shù)軸的方法解答時間計算問題的好處主要有:(1)圖示直觀形象,使復雜的空間簡單化,學生容易理解和掌握;(2)不跨越日期變更線,不需要考慮日期問題,大大的減少了學生做題出錯的可能。

    【例6】(2015年江蘇卷·3)北京時間2015年2月19日零點鐘聲敲響時,某工程師在南極長城站參與了中央電視臺春節(jié)聯(lián)歡晚會微信搶紅包活動。下圖為長城站位置示意圖。

    工程師微信搶紅包的當?shù)貢r間是

    ( )

    A.2月18日12時 B.2月18日20時

    C.2月19日4時 D.2月19日12時

    【解析】本題考查地球運動的地理意義(區(qū)時計算)。由圖可知,長城站位于60°W附近,當?shù)貢r間是西4區(qū)區(qū)時;由題意可知,開展微信搶紅包時東8區(qū)區(qū)時是2月19日0時。由東8區(qū)區(qū)時求西4區(qū)區(qū)時,可以用畫數(shù)軸的方法來求解。如下圖所示:(1)畫數(shù)軸。畫一數(shù)軸,先標注原點(即0時區(qū))和正方向(即向右),再標注已知時區(qū)和未知時區(qū)的位置,即東8區(qū)和西4區(qū)的位置,以原點為界東時區(qū)為正、西時區(qū)為負。(2)算距離。計算已知時區(qū)和未知時區(qū)在數(shù)軸上的距離(用S表示),即S=東8區(qū)-西4區(qū)=12個時區(qū),相當于數(shù)軸上8到-4之間的距離,相鄰兩個時區(qū)的區(qū)時相差1小時。(3)畫箭頭。由已知時區(qū)向未知時區(qū)畫一箭頭,即由東8區(qū)指向西4區(qū),箭頭指向負方向。(4)算區(qū)時。若箭頭指向負方向則未知區(qū)時=已知區(qū)時-S,若箭頭指向正方向則未知區(qū)時=已知區(qū)時+S,因此西4區(qū)區(qū)時=東8區(qū)區(qū)時-12小時=2月19日0時-12小時=2月18日12時。故選A項。

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