變力做功的幾種求法

陜西 孫冬子

功是中學(xué)物理中的重要概念，而高中階段所學(xué)功的表達(dá)式W=Fscosθ只適用于求恒力做功，對(duì)于變力做功的計(jì)算沒(méi)有固定公式可用，所以求變力做功只能另尋他法。變力做功又是高考中的?？键c(diǎn)，同時(shí)對(duì)同學(xué)們而言變力做功又是一個(gè)難點(diǎn)，其之所以難是在于題目的復(fù)雜性、靈活性、多變性以及方法的多樣性，因此變力做功題目讓同學(xué)們感到非常棘手。下面就變力做功方法做一歸納總結(jié)。

一、利用公式W=Pt求變力做功

在一些題目中力雖然不斷變化，但是該力的功率卻保持不變，如機(jī)車(chē)啟動(dòng)、起重機(jī)起吊重物等，此類(lèi)問(wèn)題就可以通過(guò)W=Pt進(jìn)行求解。

【例1】一列車(chē)的質(zhì)量m=5.0×105kg，在平直的軌道上以恒定功率3 000 kW加速行駛，當(dāng)速度由v1=10 m/s加速到所能達(dá)到的最大速度v2=30 m/s時(shí)，共用了2 min，則在這段時(shí)間內(nèi)列車(chē)前進(jìn)的距離是多少？

【解析】列車(chē)以恒定功率加速行駛，由P=Fv可知其牽引力不斷減小，所以此過(guò)程為變加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，所以不能用牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解，結(jié)合題意可以考慮用動(dòng)能定理求解。

依題意由動(dòng)能定理

又v2是最大速度則

聯(lián)立解得s=1 600 m

【例2】新中國(guó)成立前后，機(jī)械化生產(chǎn)水平較低，人們經(jīng)常通過(guò)驢拉磨的方式把糧食加工成粗面食用，如圖1所示，假設(shè)驢拉磨的平均作用力為F，運(yùn)動(dòng)的半徑為R，那么驢拉磨轉(zhuǎn)動(dòng)一周所做的功？

圖1

【解析】驢拉磨簡(jiǎn)化模型如圖2所示，拉力沿切線(xiàn)方向且與速度方向相同，由P=Fv可知拉力的功率恒定，所以可以用W=Pt求解。由題意得

W=Pt

P=Fv

圖2

聯(lián)立解得W=2πRF

該類(lèi)題目多數(shù)老師采用微元法求解，但在具體教學(xué)中發(fā)現(xiàn)部分同學(xué)對(duì)微元法理解不夠深刻，所以用微元法講解收效甚微，且求解方法越多越使同學(xué)眼花繚亂更加無(wú)所適從，而用W=Pt求解同學(xué)更易理解接受?？梢?jiàn)當(dāng)物體以恒定速率做曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，受到大小以及與速度方向夾角恒定力作用，該力所做的功也可以用W=Pt求解。

二、轉(zhuǎn)變力做功為恒力做功

在一些題目中我們可以通過(guò)轉(zhuǎn)換研究對(duì)象或通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，可以將變力轉(zhuǎn)化為恒力，然后利用W=Fscosθ求解。

【例3】如圖3所示，質(zhì)量為m的小車(chē)以恒定速率v沿半徑為R的豎直圓軌道運(yùn)動(dòng)，已知小車(chē)與豎直圓軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，試求小車(chē)從軌道最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，克服摩擦力做的功。

圖3

圖4

【解析】小車(chē)從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，由于小車(chē)和軌道間的壓力不斷變化，所以小車(chē)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受摩擦力大小不斷變化。我們分析下看能否將此變力轉(zhuǎn)變?yōu)楹懔Α?/p>

當(dāng)小車(chē)通過(guò)圖4中的A、B兩點(diǎn)有

F摩=μFN

F摩=μFN

由對(duì)稱(chēng)性可得，關(guān)于水平半徑上下對(duì)稱(chēng)圓弧所受摩擦力等效為

則W=F摩πR=μπmv2。

此方法也適用于輕質(zhì)細(xì)繩跨過(guò)定滑輪拉一物體，而繩的一端為變力另一端為恒力，可以將一端變力做功轉(zhuǎn)換為另一端的恒力做功進(jìn)行求解。

三、圖象法

在F-s圖象中，圖象與坐標(biāo)關(guān)于某段位移所圍面積表示該段位移內(nèi)力所做的功，所以當(dāng)力和位移在一條直線(xiàn)上且力為變力，我們就可以借助F-s圖象求解。

【例4】用鐵錘把小鐵釘釘入木板，設(shè)木板對(duì)釘子的阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比，已知鐵錘第一次將釘子釘入深度為d，如果鐵錘第二次敲釘子時(shí)對(duì)釘子做功與第一次相同，那么第二次釘子進(jìn)入木板的深度是多少？

【解析】由于釘子受到阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比，則阻力與釘子進(jìn)入木板深度的函數(shù)圖象是一條過(guò)原點(diǎn)的傾斜直線(xiàn)，因此可用F-s圖象求解，圖象如圖5所示，則

f1=kd

f2=k(d+d′)

圖5

由于兩次釘釘子做功相等，所以有

由于本題中力隨位移均勻變化，所以有人想到用平均值法求解，但在求第二次打擊時(shí)所受平均力時(shí)容易出錯(cuò)，而用圖象法則可以避免此問(wèn)題，所以在求變力做功時(shí)可以將兩種方法合二為一，利用圖象法可以有效防止因分析不到位而引發(fā)錯(cuò)誤。

四、功能關(guān)系

功是能量轉(zhuǎn)化的量度，做了多少功就有多少能量發(fā)生轉(zhuǎn)化，因此功和能之間存在密切的聯(lián)系，所以在求解變力做功時(shí)經(jīng)常用到功能關(guān)系。在功能關(guān)系中用的最多的應(yīng)該是動(dòng)能定理，由于動(dòng)能定理只需考慮始末狀態(tài)而不管中間運(yùn)動(dòng)過(guò)程，并且應(yīng)用比機(jī)械能守恒定律方便，所以動(dòng)能定理是變力做功的首選方法。其次是能量守恒，由于能量守恒是自然界普遍遵從的守恒法則，所以在求解變力做功時(shí)也經(jīng)常用到能量守恒。

【例5】如圖6所示，在長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿中點(diǎn)A和端點(diǎn)B各固定一質(zhì)量均為m的小球，桿可繞無(wú)摩擦的軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，使桿從水平位置由靜止釋放。求當(dāng)桿轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，輕桿對(duì)A、B兩球分別做了多少功？

圖6

【解析】由于A、B兩球固定在同一木桿上，且A在桿的中點(diǎn)處，所以當(dāng)桿繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)B球的速度大小是A球速度的2倍。設(shè)運(yùn)動(dòng)到豎直位置時(shí)A球的速度為v。對(duì)A、B兩球組成系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)能定理有

設(shè)桿對(duì)B球做功為WB，對(duì)B球應(yīng)用動(dòng)能定理有

聯(lián)立解得WB=0.2mgL

由于木桿為輕質(zhì)桿，所以A、B兩球組成系統(tǒng)能量守恒，桿對(duì)B做多少正功則對(duì)A做多少負(fù)功，設(shè)桿對(duì)A球做功為WA，則有

WA=-0.2mgL。

五、微積分

高中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單的微積分，而功本身就是力對(duì)位移積累的物理量，所以當(dāng)已知力和位移的函數(shù)關(guān)系時(shí)就可以用微積分進(jìn)行求解。

上面例4微積分求解法

【解析】由于阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比，所以有

f阻=kx

由于鐵錘第二次敲釘子時(shí)對(duì)釘子做功與第一次相同，設(shè)第二次敲打釘子進(jìn)入木板深度為d′，則有

從微積分角度看微元法，當(dāng)物體在大小以及與速度間夾角恒定的力作用下做曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，該力所做功大小等于力與路程的乘積。