非合作空間目標自主交會凸優(yōu)化制導技術

池賢彬，許 琦，李之強，岳曉奎

(1. 湖北航天技術研究院總體設計所，武漢 430040；2. 西北工業(yè)大學航天學院，西安 710000)

0 引 言

非合作空間目標是指在空間交會接近操作(Rendezvous and Proximity Operations, RPOs)中，該類目標不受控制，且往往具有不穩(wěn)定機動、自旋和章動等運動狀態(tài)。追蹤航天器和非合作目標無法保持穩(wěn)定的相對狀態(tài)，這對RPOs的姿態(tài)和軌跡規(guī)劃、制導和控制過程帶來巨大困難。

針對空間非合作目標的自主交會接近技術具有廣闊的應用前景，如：空間碎片及小行星的探索任務；失效航天器在軌維護任務；空間攔截與對抗任務。面向非合作目標的典型航天任務包括NASA的“深度撞擊”彗星撞擊任務與ESA的“羅塞塔(Rosetta)”彗星登陸探測計劃等。其中，羅塞塔衛(wèi)星于2014年11月12日，釋放登陸器“菲萊(Philae)”，對67P彗星實施軟著陸。但受彗星自旋和復雜地形的影響，以及受制于羅塞塔衛(wèi)星缺乏高效的針對非合作空間目標的自主交會技術，特別是不具備實時接近軌跡規(guī)劃與制導能力，導致著陸點位于一個懸崖下方，使登陸器菲萊的太陽帆板光照條件較差，電源供應不足，嚴重影響了探測計劃的實施效果?？梢姡斍暗暮教烊蝿掌惹械匦枰环N面向非合作空間目標的自主交會技術，尤其是在線軌跡規(guī)劃與制導方法。

現(xiàn)有針對RPOs問題的軌跡規(guī)劃方法主要包括以極小值原理[1]為基礎的間接法；基于參數(shù)優(yōu)化的偽譜法[2]；遺傳算法(GA)[3]、粒子群算法[4]等大規(guī)模全局隨機搜索算法等。以上方法都能成功地完成軌跡規(guī)劃和制導，但仍然存在一些不足：1)不適應面向非合作空間目標的交會任務要求；2)部分方法實時性和魯棒性較差，大多屬于事先規(guī)劃和開環(huán)制導；3)大多方法不能嚴格保證全局最優(yōu)性和收斂性，或對初始猜測值和終端條件很敏感。

為滿足針對非合作空間目標的自主交會技術應用需求，經過大量的前期工作，本文認為，基于凸優(yōu)化的制導技術擁有計算高效、魯棒性良好的特點，具備工程應用前景。

凸優(yōu)化是目前眾多尋優(yōu)方法中在實時性和最優(yōu)性方面表現(xiàn)最為突出的算法，尤其是在人們重新界定原始對偶內點法[5]的應用后，大大減少了計算耗時。Behcet A[6]研究了凸優(yōu)化方法在火星軟著陸軌跡規(guī)劃的問題，利用無損凸化技術將原始問題轉化為標準的二次序列凸優(yōu)化問題(Sequential quadratic Convex Programming, SOCP),并嚴謹?shù)刈C明了凸化過程的等價性和收斂性，奠定了凸優(yōu)化方法在航天應用領域的理論基礎。隨后，Liu Xing-fu等[7]研究了基于凸優(yōu)化的遠程自主交會問題；Wang Z B、林曉輝和劉延杰等[8]則對行星再入、小天體附著、與月面著陸的軌跡優(yōu)化問題進行凸優(yōu)化應用研究；羅建軍等[11]對凸優(yōu)化方法在僅測角交會制導的應用開展了研究。

現(xiàn)有針對RPOs的研究大多都忽略了非合作空間目標的運動特性，或者將其簡化，假設其擁有恒定的(角)速度，在交會時間已知的前提下，通過預測末端狀態(tài)，將動態(tài)特性轉化為較易處理的末端約束，該方法僅適用于動態(tài)特性較小的非合作交會任務。本文在凸優(yōu)化理論的基礎上，對面向非合作空間目標的六自由度自主交會的數(shù)學模型進行凸化處理，同時考慮推力、內點狀態(tài)等約束；重點分析目標規(guī)避機動、自旋和章動等動態(tài)特性造成的制導誤差，并設計了制導修正策略；基于某飛行器姿軌控系統(tǒng)，提出了一種基于凸優(yōu)化算法的制導方案，將凸優(yōu)化方法從一種事先規(guī)劃算法發(fā)展為一種在線制導算法；并對非合作目標機動、自旋和章動情況下的自主交會任務進行數(shù)值仿真，校驗了該方法的可行性，論證了凸優(yōu)化方法的工程應用價值。

1 問題描述

1.1 自主交會接近任務描述

自主交會接近技術是指兩個空間飛行目標于同一時間在軌道同一位置以相同速度會合的技術，是空間組裝、在軌服務、衛(wèi)星捕獲等大量新概念航天任務的基石。參與交會的兩個空間目標中，不可控且不配合交會任務的一方，稱為非合作目標(航天器)，如失效衛(wèi)星、小行星、空間碎片等；而主動執(zhí)行一系列機動，飛向目標航天器的一方，稱為追蹤航天器，如飛船、航天飛機等，如圖1所示。

1.2 坐標系定義

本文涉及的相關坐標系包括：

1)Sto：軌道坐標系T-XtoYtoZto，原點在目標航天器質心T,Xto與目標航天器位置矢量rt同向，Yto軸在軌道面內與Xto垂直且指向速度方向，Zto軸滿足右手定則，如圖1所示。為了描述非合作目標航天器的動態(tài)特性，定義初始時刻軌道坐標系Sto-0：T0-XtoYtoZto，其原點在初始時刻的目標航天器質心T0，其他各個軸的定義同Sto。

2)Stb：目標航天器本體坐標系T-XtbYtbZtb，原點在追蹤航天器質心T,Xtb、Ytb、Ztb分別與慣性主軸重合，如圖1所示。

3)Scb：追蹤航天器本體坐標系C-XcbYcbZcb，原點在追蹤航天器質心C,Xcb、Ycb、Zcb分別與慣性主軸重合，如圖1所示。

1.3 控制方案與推進系統(tǒng)配置

某追蹤航天器控制系統(tǒng)方案如圖2所示。通過激光與視覺相對導航系統(tǒng)，測量追蹤航天器與目標航天器的相對軌道和相對姿態(tài)信息；經凸優(yōu)化制導算法和PID控制算法解算出連續(xù)的三軸推力和力矩；隨后利用脈寬脈頻調制(PWPF)技術，得到推進系統(tǒng)控制指令；最后由推進系統(tǒng)產生推力和力矩，執(zhí)行姿態(tài)和軌道控制，實現(xiàn)自主交會接近。其中交會接近軌跡控制參考坐標系為目標航天器軌道坐標系，追蹤航天器的姿態(tài)控制參考坐標系為目標航天器本體系。

該追蹤航天器的主要執(zhí)行機構是一套姿軌控一體推進系統(tǒng)，推進系統(tǒng)包含四個四向一體噴管，具體構型與配置方案如圖3所示，推力器組合使用方式如表1所示，每個推力器額定推力為5 N。

由表1可知，姿控通道與軌控通道存在一定耦合，這對制導算法和控制算法的魯棒性提出了更高的要求。表中的推力和力矩是在追蹤航天器本體系中描述的，而制導算法解算出的控制量則是在目標軌道坐標系描述，在控制指令執(zhí)行時需要進行坐標系轉換，將目標軌道坐標系的控制指令轉換至追蹤航天器本體系。

表1 某追蹤航天器推力器組合使用方式Table 1 Thrusters combination mothed method

2 數(shù)學建模與分析

2.1 相對軌道動力學模型

假設航天器是任意軌道上的一個質點，只考慮控制力，利用在Sto坐標系下的T-H方程描述橢圓軌道上的航天器相對運動。

(1)

式中，μe為地球引力常數(shù)；目標航天器軌道平均角速度為n，軌道偏心率為e，半長軸為a；x,y,z是追蹤航天器在Sto坐標系下的三維位置狀態(tài)；m是追蹤航天器的質量；U是追蹤航天器的推力控制矢量；rt是目標航天器地心矢量的范數(shù)；θ是目標航天器真近點角；νe是發(fā)動機噴氣速度，為已知常數(shù)；xr0是初始相對位置，為已知量。

考慮追蹤航天器在接近過程中由于燃料消耗引起的質量變化，定義質量變化函數(shù)

(2)

以接近軌跡最省能量為優(yōu)化目標，同時考慮內點約束與安全接近約束，定義如下:

(3)

(4)

Cf(tf)xr(tf)+Df(tf)=0

(5)

C0(t0)xr(t0)+D0(t0)=0

(6)

E[xr(t)]+F(t)≤0

(7)

式中，t0是交會任務的起始時間，tf是終端時間，均為已知量。線性等式(5)表示終端相對位置約束，線性等式(6)表示初始相對位置約束，均為一個凸約束；不等式(7)表示安全接近角約束，采用線性不等式形式：

(8)

線性不等式(8)是一個嚴格線性凸約束。式中α、β分別是Ytb和Ztb方向的半錐角，均為已知量。

2.2 追蹤航天器姿態(tài)動力學模型

假設航天器是一個剛體，在追蹤航天器本體坐標系Scb下，只考慮控制力矩的情況，使用線性化的歐拉角方程描述姿態(tài)運動。

(9)

模型是一個線性時不變系統(tǒng)，一個凸約束，具有較為簡單的形式，常用于描述小角度機動的姿態(tài)運動。

以最省能量為優(yōu)化指標，考慮力矩上限、內點約束和終端約束。

(10)

(11)

Mf(tf)xa(tf)+Nf(tf)=0

(12)

M0(t0)xa(t0)+N0(t0)=0

(13)

M[xa(t)]+H(t)≤0

(14)

式(12)、(13)是始、末姿態(tài)約束，式(14)是姿態(tài)角約束，均為凸集。

2.3 問題的離散化處理

式(2)表示交會過程中追蹤航天器質量變化狀態(tài)，由于質量m是一個時變量，這導致了動力學模型(1)的非線性，在本文中則做如下處理，令

(15)

式中:下標k表示迭代制導周期次數(shù)序列，Δmk-1表示第k-1制導周期的質量消耗。上式表明在每一個迭代制導周期內的追蹤航天器質量不變。

T-H方程是一組時變線性方程組，擁有較高精度和簡潔的形式，適用于任意軌道和任意距離下的RPOs問題。將式(1)離散化，其狀態(tài)轉移矩陣取狀態(tài)矩陣的一階近似，離散化后的形式為：

(16)

式中，i∈{1,2,…,tf/Δt}, Δt是離散時間步長，Φr是運動方程的狀態(tài)轉移矩陣，Gr是軌道控制矩陣，上式是一個線性的凸約束,I是單位矩陣。

姿態(tài)方程(9)是一個線性時不變系統(tǒng)，可以很容易得到其離散形式：

(17)

式中，Γ是拉普拉斯變換符號，Φa是姿態(tài)方程的狀態(tài)轉移矩陣，Ga是姿態(tài)控制矩陣，上式也是一個線性的凸約束。

式(7)表示為避免碰撞而給定的安全走廊約束，離散化后表達式為

Ei[Xr(i)]+Fi(i)≤0

(18)

式(14)表示姿態(tài)約束，離散化形式為：

Mi[xa(i)]+Hi(i)≤0

(19)

式(4)和(11)表示推力和力矩的約束，凸化的離散形式為：

(20)

離散化后的性能指標為：

(21)

經過以上處理過程，可以定義離散的凸優(yōu)化問題，用于描述六自由度的RPOs問題。

目標函數(shù)：

約束條件：

{(15)，(16)，(17)，(18)，(19)，(20)}

2.4 非合作目標動態(tài)特性分析

在接近過程中，非合作目標往往具備翻滾、自旋、章動，甚至機動等運動，將這種運動定義為目標航天器的相對動態(tài)特性。為克服此類動態(tài)特性，追蹤航天器在接近過程中，須進行閉環(huán)制導。本文對動態(tài)特性進行了分析，設計修正方法，作為后續(xù)制導律的設計實施的基礎，以下分析均在Sto-0坐標系中進行，為便于闡述，變量定義如表2。

(a) 目標航天器機動

以針對非合作目標的后方接近任務為例，如圖5所示，交會目標點為S=T+[0,-10,0]T，目標航天器進行機動，顯著地改變了運行軌道，導致交會任務的終端位置持續(xù)發(fā)生改變，要求接近軌跡也做出改變。

(22)

表2 變量定義表Table 2 Definition of variables

(23)

假設Er(k)=l(J,ρ,P,δ)，表示由外界擾動和系統(tǒng)偏差造成的誤差，式中，J,ρ,P,δ分別表示引力攝動、大氣阻力、太陽光壓和控制系統(tǒng)引起的偏差。并設計預測誤差修正量

ΔRp(k-1)=Ep(k-1)+Er(k-1)

(24)

(25)

式中：Kv、Ka、Kr分別為相應的加權系數(shù)，可以根據(jù)系統(tǒng)性能靈活調整，一般取常數(shù)1即可。在得到S(k+1)點后，則可更新第k+1個制導周期的初始狀態(tài)和終端狀態(tài)，用于規(guī)劃交會軌跡和控制指令。

(26)

上式為二步預測方式，最后的誤差表達式為

(27)

由矢量關系可以將上式展開

KrΔRp(k-1)

(28)

式(28)可見，最終的制導主要誤差由制導周期、目標航天器的加速度、系統(tǒng)誤差和外界擾動決定，在工程實施中，選擇合適的制導周期時長，同時滿足星上計算速度和任務精度的要求是關鍵。

(b) 目標航天器自旋

假設是針對帶有自旋狀態(tài)的非合作航天器的繞飛或者定點觀測等任務，由于繞飛任務大多都要求追蹤航天器與目標航天器保持一定距離，還要增加禁飛區(qū)約束。在Sto坐標系下描述相對運動時，T(k)可以看成固定點，終端目標點S(k)隨著目標航天器自旋發(fā)生改變。誤差推導過程類似機動情況。最終的誤差表達式為：

(29)

式中：

(30)

(31)

(c) 目標航天器章動

(32)

式中：

(33)

(34)

3 制導設計

目前對凸優(yōu)化問題最有效的求解算法是原始對偶內點法(PDIPA)，其本質是拉格朗日乘子法、牛頓法、障礙函數(shù)法的結合用，基本思路是在保持解的原始可行性和對偶可行性的同時，沿原對偶路徑尋找最優(yōu)解[13]，在此過程中能始終維持原始解和對偶解的可行性。具有收斂迅速的優(yōu)點，最顯著的特點是迭代次數(shù)和計算量不會隨問題規(guī)模增大而大量增加，限于篇幅，詳細的解算過程，請參閱文獻[12]。

根據(jù)凸優(yōu)化算法計算快速的特點，本文針對自主交會任務，設計了基于凸優(yōu)化的制導方案，該制導方法具備良好的魯棒性，滿足非合作目標的交會任務需求，具體步驟如下所述:

第三步：制導終止判斷，在開始制導飛行后，立刻判斷(k+1)·td是否等于tf，若是，則跳轉第六步；若(k+1)·td

第四步：任務更新，根據(jù)第k-1制導周期內的相對導航系統(tǒng)測量結果，利用式(23)生成的制導誤差Ep(k-1)，Es(k-1)、Ez(k-1)類似；結合外界擾動與控制系統(tǒng)偏差，根據(jù)式(24)、(31)、(34)生成修正量ΔR(k-1)=ζ(Ep(k-1),Es(k-1),Ez(k-1),Er(k-1))；根據(jù)式(25)預測目標在第k+1制導周期內目標航天器的相對狀態(tài)T(k+1)、A(k+1)；并根據(jù)式(26)生成S(k+1)、X0(k+1)和Xf(k+1)；對任務狀態(tài)進行更新，更新交會任務總時長，令tf(k+1)=tf-k·td，再定義k=k+1；調整約束與目標條件，更新RPOs任務模型，跳轉第五步。

第五步：任務解算，運用原始對偶內點法求解凸化RPOs問題，生成第k+1制導周期規(guī)劃軌跡和姿態(tài)，及控制命令U(k+1)、M(k+1)，當t=k·td，即完成第k個制導周期的控制飛行后，跳轉第二步。

第六步：結束制導，追蹤航天器根據(jù)最后一次規(guī)劃結果執(zhí)行制導飛行。

4 仿真校驗

4.1 算例1：目標航天器機動

假設追蹤航天器進行-V-bar接近任務，目標航天器進行變加速度的規(guī)避機動。給定方錐形軌跡約束，將外界擾動用隨機函數(shù)代替。仿真參數(shù)如下：

假設目標航天器機動參數(shù)：

令kf=tf/td，則最后一個制導周期終端狀態(tài)變?yōu)椋?/p>

仿真結果如圖9-10所示。主要的軌跡變化集中在軌道平面內，因此僅給出該平面的制導軌跡。

4.2 算例2：目標航天器自旋

假設目標航天器存在自旋運動，追蹤航天器需進行定點觀測任務，存在相對距離為10m的圓形禁飛區(qū)約束，其他任務條件不變，初始相對軌道狀態(tài)與終端相對軌道狀態(tài)變?yōu)椋?/p>

假設目標航天器自旋狀態(tài)參數(shù)：

經制導仿真計算，交會接近軌跡如圖11所示，其它仿真曲線與算例 1類似，略。

4.3 算例3：目標航天器章動

假設目標航天器存在章動，追蹤航天器需進行-V-Bar接近任務，各仿真條件與算例1類似。

假設目標航天器章動狀態(tài)參數(shù)：

經制導仿真計算，交會接近軌跡如圖12所示，其它仿真曲線與算例 1類似，略。

4.4 仿真結果分析

圖9、圖11、圖12表明，針對具備動態(tài)特性的非合作目標的自主交會接近問題，本文提出基于凸優(yōu)化的制導算法，求解的接近軌跡過渡平滑，符合各類軌跡約束，同時，也能很好地克服動態(tài)特性帶來的不利影響。圖10表明，為了克服非合作目標航天器動態(tài)特性的影響，消除各類誤差，每一個制導周期內必須施加修正推力，推力大小、力矩大小均滿足約束要求，相對位置、相對姿態(tài)曲線過渡平滑，良好地實現(xiàn)了交會接近任務。

5 結 論

本文針對非合作目標的自主交會接近任務，重點分析了非合作目標的機動、自旋和章動等動態(tài)特性對追蹤航天器的制導誤差；結合某航天器的姿軌控一體化推進系統(tǒng)配置，提出一種基于凸優(yōu)化算法的制導方案；并對非合作目標機動、自旋和章動情況下的自主交會任務進行了數(shù)值仿真，結果表明：該方法成功解決了非合作目標交會接近任務中的制導問題，并具有良好的魯棒性，有效地抑制了各類動態(tài)干擾和誤差，為面向非合作目標的交會接近任務提供了一種合理可行的制導方法。