有向拓?fù)湎聼o徑向速度測量的多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)

呂 騰，李傳江，郭延寧，呂躍勇

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程系，哈爾濱 150001)

0 引 言

隨著反導(dǎo)技術(shù)快速發(fā)展，面對敵方艦艇等目標(biāo)配備的密集導(dǎo)彈防御系統(tǒng)，單一導(dǎo)彈突防變得愈發(fā)困難，而多導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)借助通信系統(tǒng)將多枚導(dǎo)彈構(gòu)成一個作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)，通過彈間通信使多導(dǎo)彈的打擊時刻趨于一致，從而實現(xiàn)同時擊中目標(biāo)，這極大提高了導(dǎo)彈突防概率[1-2]。同時，相比于同等總裝藥當(dāng)量的單枚導(dǎo)彈，借助于多點同時爆炸產(chǎn)生的爆炸聚集效應(yīng)，多導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)還可顯著提高導(dǎo)彈對目標(biāo)的毀傷能力[3]。作為協(xié)同作戰(zhàn)的關(guān)鍵技術(shù)之一，協(xié)同制導(dǎo)律在設(shè)計中有5個問題值得研究，分別為有向通信拓?fù)?、無導(dǎo)彈-目標(biāo)徑向速度測量、帶視線角約束、可打擊移動目標(biāo)和有限時間協(xié)同。

由于實戰(zhàn)中相鄰導(dǎo)彈間的通信距離存在差異，它們間的通信往往是有向的，因而設(shè)計有向通信拓?fù)湎碌膮f(xié)同制導(dǎo)律更貼合實際需求[4]。針對有向通信拓?fù)湎碌膮f(xié)同制導(dǎo)問題目前國內(nèi)外學(xué)者研究成果較少，Zhao等[4]基于二階多智能體協(xié)同控制理論和傳統(tǒng)的比例制導(dǎo)律設(shè)計了有向拓?fù)湎路植际絽f(xié)同制導(dǎo)律。彭琛等[5]在打擊時刻控制制導(dǎo)律(ITCG)的基礎(chǔ)上，基于有向圖和加權(quán)平均一致性協(xié)調(diào)算法設(shè)計了有向拓?fù)湎碌姆植际絽f(xié)同制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[4-5]如能使各導(dǎo)彈的時間協(xié)調(diào)變量在有限時間內(nèi)達(dá)到一致，則可使各導(dǎo)彈的打擊時刻更快趨于一致。

無導(dǎo)彈-目標(biāo)徑向速度測量制導(dǎo)律可以避免徑向速度測量傳感器的使用，從而減少導(dǎo)引頭的成本和復(fù)雜度，提高系統(tǒng)的可靠性[6]。另外，還可作為徑向速度測量傳感器失效后的備用制導(dǎo)算法。針對無導(dǎo)彈-目標(biāo)徑向速度測量的協(xié)同制導(dǎo)問題目前國內(nèi)外研究比較有限，周銳等[7]基于網(wǎng)絡(luò)同步原理設(shè)計了一種協(xié)同制導(dǎo)指令，雖無需知道導(dǎo)彈-目標(biāo)徑向速度信息，不過需要明確了解目標(biāo)的速度信息，實際中該信息較難準(zhǔn)確測量。

帶視線角約束可使得反艦導(dǎo)彈從期望的方向?qū)ε炌繕?biāo)進(jìn)行打擊，從而提高導(dǎo)彈的突防能力和對目標(biāo)的毀傷能力[8]。針對帶視線角約束的協(xié)同制導(dǎo)問題，Wang等[9]通過在比例導(dǎo)引律和帶角度約束導(dǎo)引律基礎(chǔ)上附加一項本導(dǎo)彈與相鄰導(dǎo)彈打擊時刻誤差控制項設(shè)計了一種分布式協(xié)同制導(dǎo)律。張春妍等[10]利用各導(dǎo)彈的剩余飛行時間之差對帶視線角約束的偏置比例導(dǎo)引律中的比例系數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)，提出一種協(xié)同偏置比例導(dǎo)引律。文獻(xiàn)[9]-[10]所提協(xié)同制導(dǎo)律的末端視線角僅能漸近收斂于期望值，而非有限時間收斂。

由于越來越多的敵方目標(biāo)可進(jìn)行移動，因而有必要設(shè)計可打擊移動目標(biāo)的制導(dǎo)律[11]。針對可打擊移動目標(biāo)的協(xié)同制導(dǎo)問題，孫雪嬌等[12]基于網(wǎng)絡(luò)同步原理設(shè)計了一種多導(dǎo)彈位置同步算法，同步的平衡解即為移動目標(biāo)的位置。Zhao等[13]通過在傳統(tǒng)比例制導(dǎo)律基礎(chǔ)上增加目標(biāo)移動項和時間協(xié)同項設(shè)計了協(xié)同制導(dǎo)律。趙啟倫等[14]采用改進(jìn)比例導(dǎo)引法使領(lǐng)彈能夠打擊移動目標(biāo)，然后基于二階一致性算法設(shè)計協(xié)同制導(dǎo)律，使得從彈位置和速度能夠跟蹤領(lǐng)彈。文獻(xiàn)[12]-[14]所提制導(dǎo)律雖能夠打擊移動目標(biāo)，而未帶視線角約束。宋俊紅等[15]基于一致性理論提出了一種針對移動目標(biāo)的制導(dǎo)律，而該制導(dǎo)律要求通信拓?fù)涫冀K無向，實際中目前較難實現(xiàn)。

有限時間協(xié)同可使多導(dǎo)彈的打擊時刻在導(dǎo)彈擊中目標(biāo)之前達(dá)到一致，有利于提高彈群整體突防概率，同時還可提高導(dǎo)彈制導(dǎo)精度和抗干擾能力。針對有限時間協(xié)同制導(dǎo)問題，Zhang等[16]基于一階多智能體協(xié)同控制理論提出一種有限時間協(xié)同制導(dǎo)律，Hou等[17]基于時變比例導(dǎo)引法提出一種有限時間協(xié)同制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[16]-[17]雖能實現(xiàn)有限時間協(xié)同，而未帶視線角約束。

目前，國內(nèi)外學(xué)者針對同時考慮上述5個問題的協(xié)同制導(dǎo)律研究成果相對較少，受文獻(xiàn)[1-24]啟發(fā)本文對其進(jìn)行研究。首先，在視線方向，基于二階多智能體協(xié)同控制理論設(shè)計了有向拓?fù)湎聼o需導(dǎo)彈-目標(biāo)徑向速度測量的多導(dǎo)彈有限時間分布式協(xié)同制導(dǎo)律，并給出了相應(yīng)的穩(wěn)定性證明。然后，在視線法向方向，基于積分滑模控制理論設(shè)計了帶視線角約束且能打擊移動目標(biāo)的制導(dǎo)律，并給出了相應(yīng)的穩(wěn)定性證明。最后，通過仿真校驗了所設(shè)計協(xié)同制導(dǎo)律的有效性。

對本文所提方法的優(yōu)勢進(jìn)行說明，首先，同時考慮了上述5個問題，考慮問題更全面，更貼合實際需求；其次，無需測量目標(biāo)的速度和加速度等信息，可降低雷達(dá)導(dǎo)引頭的成本和復(fù)雜度;采用分布式通信，降低了對彈間通信距離的要求，提高了彈群的整體突防能力;制導(dǎo)律隨時間連續(xù)變化，避免了制導(dǎo)指令抖振。

1 協(xié)同制導(dǎo)模型

目前，國內(nèi)外在導(dǎo)彈變推力固體火箭發(fā)動機技術(shù)方面不斷取得突破[18]。為簡化研究，本文采用運動學(xué)分析方法，基于以下假設(shè)[13]：

(1)導(dǎo)彈和目標(biāo)視為二維平面內(nèi)質(zhì)點；

(2)導(dǎo)彈導(dǎo)引頭和自動駕駛儀動力學(xué)與制導(dǎo)回路相比響應(yīng)足夠快；

(3)每枚導(dǎo)彈的推力大小可控。

導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對運動幾何關(guān)系如圖1所示。

圖1 多導(dǎo)彈與目標(biāo)攔截幾何示意圖Fig.1 Multiple missiles-target engagement geometry

圖1中Mi和T分別代表第i枚導(dǎo)彈和目標(biāo)，ri代表Mi與T之間的相對距離，qi代表Mi的視線角，vmi和vt分別代表Mi和T的速度，θmi和θt分別代表Mi和T的彈道角，ami和at分別代表Mi和T的法向加速度。其中，i=1,2,…,n,n為導(dǎo)彈總枚數(shù)。

由圖1得到Mi與T的相對運動方程如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

將式(1)和式(2)分別對時間進(jìn)行求導(dǎo)，并與式(3)和式(4)相結(jié)合可得

(5)

(6)

式中：uri和wri分別為Mi和T的加速度在視線方向的分量，uqi和wqi分別為Mi和T的加速度在視線法向的分量。

假設(shè)目標(biāo)作勻速直線運動，則有

wri=0,wqi=0

(7)

(8)

本文研究系統(tǒng)(8)。首先，在視線方向設(shè)計無需測量x2i的制導(dǎo)律uri，以使x1i及x2i在有限時間內(nèi)達(dá)到一致。然后，在視線法向方向設(shè)計無需測量x2i的制導(dǎo)律uqi，以使x3i及x4i在有限時間內(nèi)收斂到0。最后，將得到的uri和uqi都代入到系統(tǒng)(8)中并通過仿真驗證所設(shè)計制導(dǎo)律的有效性。

2 協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計

2.1 視線方向制導(dǎo)律設(shè)計

多導(dǎo)彈間通信拓?fù)潢P(guān)系可由圖G(A)=(v,ξ,A)來描述，其中v描述節(jié)點組成的集合，ξ代表節(jié)點之間的連線，矩陣A=[aij]∈Rn×n代表權(quán)系數(shù)矩陣，其中i,j∈{1,2,…,n}。若導(dǎo)彈i和導(dǎo)彈j之間能夠進(jìn)行信息交換則aij>0，否則aij=0，特別aii=0。若存在某些實數(shù)θi>0，使得θiaij=θjaji對任意i,j都成立，則稱圖G(A)是細(xì)節(jié)平衡的[19-20]。定義圖G(A)對應(yīng)的拉普拉斯矩陣為L=[lij]∈Rn×n，其中矩陣的元素為

(9)

引理1[21]. 如果有向圖G(A)是強連通且細(xì)節(jié)平衡的，則存在一個正的列向量θ=[θ1,…,θn]T使得θiaij=θjaji對任意的i,j∈{1,2,…,n}都成立，因而存在Θ=diag(θ1,θ2,…,θn)使得ΘL=(ΘL)T。

引理2[22]. 若有向圖G(A)為強連通，則其拉普拉斯矩陣L的秩rank(L)=n-1。

由式(8)可得Mi的協(xié)同制導(dǎo)模型如下：

(10)

協(xié)同制導(dǎo)的目標(biāo)是使得多導(dǎo)彈的打擊時刻tfi在多導(dǎo)彈擊中目標(biāo)前達(dá)到一致，tfi可由下式表示：

tfi=tgoi+t

(11)

式中：tgoi為Mi的剩余飛行時間。由式(11)可得

tfi-tfj=tgoi-tgoj

(12)

由式(12)可知，如果能控制多導(dǎo)彈的tgoi達(dá)到一致就可使其tfi達(dá)到一致，從而實現(xiàn)同時擊中目標(biāo)，tgoi可由下式估計得到：

(13)

本節(jié)的制導(dǎo)律設(shè)計目標(biāo)是，針對每枚Mi的視線方向制導(dǎo)模型，設(shè)計無需測量x2i的視線方向制導(dǎo)律uri使得

(14)

從而使式(13)中所示的所有導(dǎo)彈的tgoi在有限時間內(nèi)達(dá)到一致。

下面以定理的方式給出視線方向協(xié)同制導(dǎo)律及其穩(wěn)定性證明。

定理1. 針對系統(tǒng)(10)，如果有向圖G(A)是強連通且細(xì)節(jié)平衡，則設(shè)計如式(15)～(18)所示的視線方向分布式協(xié)同制導(dǎo)律uri，可使x1i和x2i在有限時間內(nèi)達(dá)到一致且無需測量x2i.

(15)

(16)

(17)

(18)

式中：l1r>0,l2r>0,k1r>0,k2r>0, 0.5<σr<1。

證. 將式(15)～(18)與式(10)相結(jié)合，令x1=[x11,x12,…,x1n]T,x2=[x21,x22,…,x2n]T,δr=[δr1,δr2,…,δrn]T,ηr=[ηr1,ηr2,…,ηrn]T可得

(19)

式中：L∈Rn×n為圖G(A)的拉普拉斯矩陣。

令ex=δr-Lx1,ey=ηr-Lx2，則有

(20)

針對系統(tǒng)(20)，有如下Lyapunov函數(shù)

(21)

由于σr>0且l2r>0，因而V1r是正定且徑向無界的。結(jié)合式(20)和式(21)，將V1r對時間求導(dǎo)可得

(22)

(23)

令rT=[r1,r2,…,rn]且滿足

rTL=0

(24)

rT1=1

(25)

同時，令

X1=Mdx1,X2=Mdx2

(26)

式中：

Md=In-1rT

(27)

再結(jié)合式(26)，則式(23)可轉(zhuǎn)化為：

(28)

將式(25)～(27)相結(jié)合并化簡可知，系統(tǒng)(19)的狀態(tài)x1i和x2i各自在有限時間內(nèi)達(dá)到一致，等價于系統(tǒng)(28)的狀態(tài)X1和X2各自在有限時間內(nèi)收斂到0。

為證明X1和X2各自可在有限時間內(nèi)收斂到0，選取Lyapunov函數(shù)形式如下：

(29)

LMd=L=MdL

(30)

(31)

X2=k1，k∈R

(32)

將式(25)和式(27)相結(jié)合可得

rTMd=rTIn-rT1rT=0T

(33)

由式(26)和式(33)可得

rTX2=rTMdx2=0

(34)

將式(32)和(34)與式(25)相結(jié)合可得

X2=0

(35)

定理1中uri的第1項用于補償系統(tǒng)中的非線性特性，第2項用于調(diào)整多導(dǎo)彈的x1i和x2i使其各自在有限時間內(nèi)達(dá)到一致。

2.2 視線法向制導(dǎo)律設(shè)計

由式可得Mi視線法向制導(dǎo)模型如下：

(36)

式中：dqi=-2x2ix4i/x1i為系統(tǒng)非線性特性所產(chǎn)生的干擾，所有導(dǎo)彈視線法向受到的干擾由dq=[dq1,dq2,…,dqn]T表示。

本節(jié)制導(dǎo)律設(shè)計目標(biāo)是，針對每枚Mi視線法向制導(dǎo)模型，設(shè)計無需測量x2i的視線法向制導(dǎo)律uqi使得

(37)

接下來以定理的方式給出視線法向制導(dǎo)律及其穩(wěn)定性證明。

(38)

(39)

(40)

式中：k1qi>0,k2qi>0,k3qi>0,k4qi>lq, 0<αqi<1。

證. 將方程(40)對時間求導(dǎo)可得：

(41)

令

zqi=ρqi+dqi

(42)

然后由式(36)、式(38)、式(39)、式(41)和式(42)可得：

(43)

選取Lyapunov函數(shù)如下

(44)

式中：Pqi∈R2×2>0,ξqi可由下式表示

(45)

將上式中ξqi對時間求導(dǎo)，并結(jié)合式(42)和式(43)可得

(46)

式中：

(47)

將式(44)中Vq對時間求導(dǎo)，并結(jié)合式(46)可得

(48)

由于k3qi>0且k4qi>lq，式(47)中矩陣Aqi的所有特征值均具有負(fù)實部，因而由線性定常系統(tǒng)Lyapunov定理可知，對任意的正定對稱矩陣Qqi都有唯一的正定對稱矩陣Pqi使得

(49)

故式(48)可寫為

(50)

標(biāo)準(zhǔn)二次型不等式形式如下

(51)

(52)

由式(51)和式(52)可知

(53)

由式(45)和式(51)可知

(54)

由于

(55)

將式(53)～式(55)與式(50)相結(jié)合可得

(56)

式中：

(57)

由式(44)和式(56)并結(jié)合有限時間穩(wěn)定性理論可知

(58)

式中：

(59)

將式(45)與式(58)相結(jié)合可知

(60)

由式(60)可知

(61)

將式(61)與式(41)相結(jié)合可得

(62)

再由文獻(xiàn)[23]的引理2可知當(dāng)x3i和x4i到達(dá)滑模面后可在有限時間內(nèi)收斂到0，因而x3i和x4i從初始時刻開始可在有限時間內(nèi)收斂到0。定理證畢。

定理2中uqi的前2項可使x3i和x4i在有限時間內(nèi)收斂到0，第3項和第4項用于抵消干擾dqi對系統(tǒng)帶來的影響。

注2雖然定理1和定理2并沒有給出有限時間上界，但并不影響制導(dǎo)律的實際使用，實際中通常通過調(diào)節(jié)制導(dǎo)律參數(shù)來調(diào)整系統(tǒng)收斂時間使其滿足要求。

注3在導(dǎo)彈3維制導(dǎo)律設(shè)計中，可將導(dǎo)彈的3維運動分解成視線方向和視線法向(高低、方位)3個方向，每個方向均為2階系統(tǒng)，視線方向可采用定理1方法，視線法向(高低、方位)可采用定理2方法。因此，本文的2維制導(dǎo)律設(shè)計方法同樣可用于3維制導(dǎo)律設(shè)計。

注4實際中制導(dǎo)律與控制律分開，通常制導(dǎo)律在理想條件下進(jìn)行設(shè)計，設(shè)計控制律時才會將大氣擾動等各種不利因素考慮進(jìn)去，以使導(dǎo)彈實際過載能實時跟蹤制導(dǎo)律產(chǎn)生的期望過載。本文針對制導(dǎo)律進(jìn)行設(shè)計，因而未考慮上述因素影響。

3 仿真校驗

為驗證本文所提出的多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)律的有效性，在不考慮外界干擾、測量噪聲和執(zhí)行機構(gòu)控制精度等因素影響的理想條件下，針對3枚反艦導(dǎo)彈在水平面內(nèi)均從各自期望的方向同時攻擊一艘勻速直線運動艦艇目標(biāo)的情形進(jìn)行仿真，仿真步長取定步長5 ms。視線方向制導(dǎo)律參數(shù)取為k1r=10,k2r=10,l1r=5,l2r=5,σr=0.68，視線法向制導(dǎo)律參數(shù)取為k1qi=2,k2qi=10,k3qi=5,k4qi=1,αqi=0.95，其中，i=1,2,3。

圖2 3枚導(dǎo)彈間的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.2 Communication topology for three missiles

目標(biāo)和導(dǎo)彈的初始條件分別如表1和表2所示，目標(biāo)作勻速直線運動。

表1 目標(biāo)初始條件Table 1 Initial conditions for target

表2 導(dǎo)彈初始條件Table 2 Initial conditions for three missiles

3枚導(dǎo)彈的脫靶量、打擊時刻和視線角誤差由表3給出?？梢娝鼈兊拿摪辛慷急３衷?.22 m范圍之內(nèi)，打擊時刻可以達(dá)到一致，視線角誤差均在2×10-3(°)范圍之內(nèi)，說明在理想條件下，本次仿真中所有導(dǎo)彈可以從期望的方向同時擊中移動目標(biāo)。

表3 協(xié)同制導(dǎo)仿真結(jié)果Table 3 Simulation results of cooperative guidance

4 結(jié) 論

本文針對有向拓?fù)湎露鄬?dǎo)彈從各自期望的方向同時擊中移動目標(biāo)且無需測量導(dǎo)彈-目標(biāo)徑向速度問題進(jìn)行研究。首先，設(shè)計了視線方向分布式協(xié)同制導(dǎo)律，并通過穩(wěn)定性理論證明其可保證所有導(dǎo)彈的打擊時刻在有限時間內(nèi)達(dá)到一致。然后，設(shè)計了視線法向制導(dǎo)律，并通過穩(wěn)定性理論證明了其可保證所有導(dǎo)彈的視線角在有限時間內(nèi)收斂到期望值。最后，通過仿真校驗了所提方法在理想條件下可使有向拓?fù)湎碌亩鄬?dǎo)彈從各自期望的方向同時擊中移動目標(biāo)。未來將對考慮導(dǎo)彈間通信拓?fù)淝袚Q的協(xié)同制導(dǎo)律和三維協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計問題進(jìn)一步研究。

圖3 協(xié)同制導(dǎo)仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of cooperative guidance