數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

鐘健健

數(shù)形結(jié)合，顧名思義，就是將抽象的、難理解的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和具體的、直觀的圖形結(jié)合起來(lái).具體到高中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是一種很常見(jiàn)且重要的解題方法.通過(guò)這種方法，可以將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，或者將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，使抽象的、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得具體化、簡(jiǎn)單化.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅有助于把握問(wèn)題的本質(zhì)，還能夠培養(yǎng)學(xué)生整合所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，有助于培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維、邏輯思維.因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，并讓他們運(yùn)用這一思想來(lái)理清解題思路、簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

一、數(shù)形結(jié)合思想概述

“數(shù)”和“形”是高中數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念，這兩個(gè)基本概念搭建了高中數(shù)學(xué)的基石.具體來(lái)說(shuō)，“數(shù)”是抽象的數(shù)量關(guān)系，“形”是具體的空間形式.在高中數(shù)學(xué)中，主要是對(duì)“數(shù)”和“形”的研究.二者是相互聯(lián)系、相互滲透的.在一定的條件下，“數(shù)”和“形”可以相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化就是把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何圖形，或者把幾何圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系.如果學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，就能夠了解和掌握問(wèn)題的本質(zhì)，順利找到解題方法，大大提高解題效率.

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

雖然數(shù)形結(jié)合思想是解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)基本的、常用的思想，但是并非高中階段的所有數(shù)學(xué)知識(shí)都與數(shù)形結(jié)合思想有關(guān).而學(xué)生要想運(yùn)用這一思想來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，就必須了解它與哪些知識(shí)有關(guān)，這樣在遇到數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)就能確定需不需要利用數(shù)形結(jié)合思想.整理和分析高中數(shù)學(xué)知識(shí)后可以發(fā)現(xiàn)，與數(shù)形結(jié)合思想相關(guān)的內(nèi)容包括五個(gè)方面，一是實(shí)數(shù)與數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的關(guān)系；二是函數(shù)與圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系；三是曲線(xiàn)與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；四是類(lèi)似于三角函數(shù)等以幾何元素或幾何背景為基礎(chǔ)建立起來(lái)的概念；五是數(shù)學(xué)問(wèn)題中出現(xiàn)的代數(shù)式或者等式帶有明顯的幾何特征，如斜率.

以上是對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)中與數(shù)形結(jié)合思想有關(guān)的內(nèi)容的大體概括.下面，將通過(guò)具體例子來(lái)分析這一思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

1.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解決集合問(wèn)題.

集合是高中數(shù)學(xué)中非?；A(chǔ)的知識(shí).為了便于學(xué)生理解集合中的交集、并集、補(bǔ)集等概念，通常教師會(huì)借助圖形來(lái)講解這些知識(shí).具體來(lái)說(shuō)，就是用圓形代表一個(gè)集合.如果兩個(gè)或者幾個(gè)圓之間有交叉部分，說(shuō)明兩個(gè)或者幾個(gè)集合之間是有公共元素的；如果沒(méi)有交叉部分，則表明集合之間沒(méi)有公共元素.因此，在解決集合問(wèn)題時(shí)需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想.比如，假設(shè)有兩個(gè)集合分別為M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={（x，y）|x2-y=0，x∈R，y∈R}，則集合M∩N中元素的個(gè)數(shù)為多少？通過(guò)觀察可以知道，集合M中是表示圓的方程，集合N中是表示拋物線(xiàn)的方程，因此，只要在坐標(biāo)系中畫(huà)出這兩個(gè)方程對(duì)應(yīng)的圖像，就可以從兩個(gè)圖像的交點(diǎn)得出集合M∩N有幾個(gè)元素了.

2.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問(wèn)題.

函數(shù)知識(shí)貫穿于高中階段的數(shù)學(xué)中，是高中數(shù)學(xué)教材中非常重要的一部分知識(shí)，它具有跨度大、范圍廣、難理解的特點(diǎn).不少學(xué)生覺(jué)得學(xué)習(xí)函數(shù)有很大的難度，解決函數(shù)問(wèn)題更是難上加難.事實(shí)上，函數(shù)不僅有表達(dá)式，還有對(duì)應(yīng)的圖像.因此，學(xué)生在解決這類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，就可以利用相關(guān)的圖形.比如，在比較某幾個(gè)數(shù)值的大小時(shí)，可以將數(shù)值轉(zhuǎn)化為不同的函數(shù)的值，然后根據(jù)函數(shù)畫(huà)出相應(yīng)的圖像，這樣就能夠直觀、準(zhǔn)確地判斷出幾個(gè)數(shù)值的大小.

3.數(shù)形結(jié)合思想在不等式中的應(yīng)用.

與函數(shù)一樣，不等式也是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn).學(xué)生在平時(shí)練習(xí)或者考試中遇到的大多是不等式.因此，需要重視數(shù)形結(jié)合思想在不等式中的應(yīng)用.比如，學(xué)生常常會(huì)遇到求某一個(gè)一元二次不等式的解集的問(wèn)題.其實(shí)，在遇到這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)分析問(wèn)題：通過(guò)畫(huà)二次函數(shù)圖像來(lái)確定其開(kāi)口方向，并根據(jù)圖像與x軸的交點(diǎn)情況來(lái)得到一元二次不等式的解集.

本文在對(duì)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹的基礎(chǔ)上，從三個(gè)方面探討了其在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.由于篇幅有限，在這里不能囊括所有與數(shù)形結(jié)合思想相關(guān)的內(nèi)容.通過(guò)“數(shù)”和“形”的結(jié)合，學(xué)生能夠?qū)?wèn)題有更清晰、更透徹的理解，也能將復(fù)雜的、抽象的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、具體、形象.讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，不僅能夠幫助他們整合和鞏固所學(xué)的知識(shí)，還能夠提高他們對(duì)問(wèn)題的分析能力、理解能力，促進(jìn)他們創(chuàng)新思維和邏輯思維的發(fā)展.