關(guān)于“數(shù)學(xué)思考”的思考

鐘德勝

人教版數(shù)學(xué)教材六年級(jí)下冊(cè)整理復(fù)習(xí)中有一個(gè)內(nèi)容被稱為“數(shù)學(xué)思考”，是關(guān)于“幾個(gè)點(diǎn)可以連成多少條線段”的問(wèn)題（具體如圖所示）。針對(duì)這一內(nèi)容，筆者有如下思考。

一、“數(shù)學(xué)思考”的目標(biāo)是什么

教材在這一內(nèi)容的開(kāi)篇部分即指出：“數(shù)學(xué)思想和方法可以幫助我們有條理地思考，簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題?！庇纱宋覀兛梢钥闯觯緝?nèi)容的基本目標(biāo)指向數(shù)學(xué)思想和方法，尤其指向“化繁為簡(jiǎn)”的方法。這一方法要求我們將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從簡(jiǎn)單的情形開(kāi)始研究，通過(guò)觀察、歸納、概括等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而解決問(wèn)題。從這個(gè)角度思考，我們不難發(fā)現(xiàn)，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)不是要教會(huì)學(xué)生得出如下問(wèn)題的答案———平面上有n個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)都不在同一直線上，將這些點(diǎn)用線連起來(lái)，一共可以連多少條線段？

這一問(wèn)題本身是個(gè)簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題———從n個(gè)對(duì)象中取2個(gè)的組合數(shù)。如果學(xué)生學(xué)習(xí)的是排列與組合，將這個(gè)問(wèn)題作為排列與組合的練習(xí)題，我們的教學(xué)目標(biāo)就是讓學(xué)生理解這個(gè)問(wèn)題為什么是“n選2”的組合問(wèn)題，并直接運(yùn)用組合公式得到答案。但在這里，我們的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生進(jìn)一步理解、體會(huì)解決這類問(wèn)題常用的方法，并能熟練使用這樣的方法。也就是說(shuō)，我們的教學(xué)目標(biāo)是指向解決問(wèn)題的方法，而不是這一具體問(wèn)題的結(jié)果。這個(gè)問(wèn)題只是承載這一方法的素材，我們完全可以換成別的素材———只要素材能承載這一方法。

二、為什么可以“化繁為簡(jiǎn)”

解決問(wèn)題時(shí)，如果能將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)固然很好。把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，還有什么比這更高明的呢？可我們需要思考，一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題為什么可以化為簡(jiǎn)單問(wèn)題。復(fù)雜是復(fù)雜問(wèn)題的特征，簡(jiǎn)單是簡(jiǎn)單問(wèn)題的特征。如何將問(wèn)題的“復(fù)雜”這一特征去掉，進(jìn)而形成“簡(jiǎn)單”這一特征呢？

具體到“數(shù)學(xué)思考”中提出的問(wèn)題：6個(gè)點(diǎn)可以連多少條線段？8個(gè)點(diǎn)呢？這是我們所說(shuō)的復(fù)雜問(wèn)題。其復(fù)雜性在于：這里說(shuō)的6個(gè)點(diǎn)、8個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)數(shù)比較多，點(diǎn)數(shù)越多越復(fù)雜。要化繁為簡(jiǎn)，就是要把6個(gè)點(diǎn)、8個(gè)點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)的問(wèn)題?？墒?，6個(gè)點(diǎn)、8個(gè)點(diǎn)的問(wèn)題為什么可以轉(zhuǎn)化為2個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)的問(wèn)題呢？或者換一個(gè)問(wèn)法：解決一個(gè)像2個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)這樣的簡(jiǎn)單問(wèn)題對(duì)解決6個(gè)點(diǎn)、8個(gè)點(diǎn)這樣的復(fù)雜問(wèn)題有什么幫助呢？

事實(shí)上，我們所謂的復(fù)雜問(wèn)題，通常是指一個(gè)一般問(wèn)題的特殊情況。比如6個(gè)點(diǎn)可以連多少條線段的問(wèn)題，就是“n個(gè)點(diǎn)可以連多少條線段”這個(gè)一般問(wèn)題的特殊情況。我們之所以可以把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，其實(shí)是想通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的研究來(lái)發(fā)現(xiàn)某種一般規(guī)律，從而解決一般問(wèn)題。一旦一般問(wèn)題得到解決，作為一般問(wèn)題的特殊情況即復(fù)雜問(wèn)題也就得到解決。

三、如何組織“化繁為簡(jiǎn)”的教學(xué)

一般而言，我們先要對(duì)復(fù)雜問(wèn)題做一般化處理。而6個(gè)點(diǎn)可以連多少條線段的問(wèn)題，就是“n個(gè)點(diǎn)可以連多少條線段”這個(gè)一般問(wèn)題的特殊情況。接下來(lái)，就是從簡(jiǎn)單開(kāi)始研究這個(gè)一般問(wèn)題。按華羅庚先生的說(shuō)法，就是退，足夠的退。我們從2個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)開(kāi)始研究。在此，要特別注意的是，教師應(yīng)該和學(xué)生一起研究，而不是作為一個(gè)已知結(jié)論的過(guò)來(lái)人，把獲得結(jié)論的過(guò)程教給學(xué)生。具體到這個(gè)問(wèn)題，教師不能過(guò)早地把教材中的表格（如下）呈現(xiàn)出來(lái)。

這個(gè)表格是發(fā)現(xiàn)了規(guī)律并已解釋為什么有這個(gè)規(guī)律后的產(chǎn)物，而不是研究問(wèn)題的產(chǎn)物。

研究問(wèn)題時(shí)，我們分別找出2個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)、4個(gè)點(diǎn)能連的線段的總數(shù)：1、3、6。按照這一方法做下去，一直到發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律。比如，我們從1、3、6這三個(gè)數(shù)中發(fā)現(xiàn)3=1+2，6=1+2+3時(shí)，就可以猜想，接下來(lái)可能是1+2+3+4。于是再畫(huà)5個(gè)點(diǎn)的連線圖，發(fā)現(xiàn)果然是這樣。這時(shí)回過(guò)頭來(lái)思考，并對(duì)這一發(fā)現(xiàn)作出解釋：為什么是這樣？上面的表格就是對(duì)這一問(wèn)題的解釋，是發(fā)現(xiàn)規(guī)律后的事，而不是利用這個(gè)表格來(lái)發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

規(guī)律得到確認(rèn)，一般問(wèn)題得到解決，復(fù)雜問(wèn)題也就隨之得到解決。接下來(lái)要做的事，就是進(jìn)一步練習(xí)使用這個(gè)研究方法：再提出一個(gè)可以用這個(gè)方法研究解決的問(wèn)題。應(yīng)當(dāng)注意的是，鞏固練習(xí)中的題，不應(yīng)是與這個(gè)問(wèn)題在內(nèi)容上類似的問(wèn)題，比如100個(gè)點(diǎn)可以連多少條線段之類，這樣的問(wèn)題對(duì)于達(dá)成我們的練習(xí)目標(biāo)沒(méi)有多大價(jià)值。

（作者單位：長(zhǎng)沙縣丁家小學(xué)）