一種基于有限時(shí)間穩(wěn)定的環(huán)繞控制器設(shè)計(jì)

張春燕 戚國(guó)慶 李銀伢 盛安冬

在無(wú)人機(jī)對(duì)目標(biāo)跟蹤任務(wù)中,目標(biāo)主要分為合作目標(biāo)和非合作目標(biāo).對(duì)合作目標(biāo)跟蹤,無(wú)人機(jī)如何在速度受限條件下實(shí)現(xiàn)在傳感器適用范圍內(nèi)環(huán)繞目標(biāo)運(yùn)動(dòng)是目標(biāo)跟蹤的研究重點(diǎn)之一;對(duì)非合作目標(biāo),無(wú)人機(jī)必須保持在目標(biāo)一定距離外跟蹤以減少暴露風(fēng)險(xiǎn).這些應(yīng)用需求導(dǎo)致了近年來(lái)環(huán)航跟蹤方法的快速發(fā)展.

環(huán)航跟蹤指無(wú)人機(jī)保持一定距離環(huán)繞跟蹤目標(biāo),即控制器需要實(shí)現(xiàn)無(wú)人機(jī)在以目標(biāo)為圓心、指定距離為半徑的期望航跡上航行.當(dāng)前對(duì)無(wú)人機(jī)環(huán)航的研究主要包括觀測(cè)器和控制器的設(shè)計(jì).一些學(xué)者采取觀測(cè)器與控制器相耦合的策略.針對(duì)單傳感器跟蹤單目標(biāo),Deghat等[1]提出純方位量測(cè)下的目標(biāo)環(huán)繞跟蹤的觀測(cè)器和控制器的設(shè)計(jì)方法,并針對(duì)觀測(cè)器為非完整機(jī)器人時(shí)進(jìn)行改進(jìn)[2],隨后擴(kuò)展到單傳感器對(duì)多目標(biāo)的環(huán)航跟蹤中[3];與純方位量測(cè)對(duì)應(yīng),Shames等[4]提出在單傳感器純距離量測(cè)下的環(huán)航跟蹤觀測(cè)器和控制器;Cao[5]等基于距離和距離變化率提出一種環(huán)航跟蹤控制器,在此基礎(chǔ)上,張民等[6]提出結(jié)構(gòu)更簡(jiǎn)潔的控制器,并擴(kuò)展到運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤中;Matveev等[7]基于距離和距離變化率信息,針對(duì)單傳感器對(duì)多目標(biāo)環(huán)航跟蹤提出一種控制器的設(shè)計(jì)方法;Zhang等[8]針對(duì)單傳感器跟蹤單目標(biāo)提出一種基于視覺(jué)的觀測(cè)器,并分析在存在目標(biāo)丟失情況下的穩(wěn)定性;Zhu等[9]提出一種改進(jìn)的自適應(yīng)算法估計(jì)目標(biāo)速度,并利用Lyapunov向量場(chǎng)保證控制器的收斂性.

另一些學(xué)者主要研究控制器設(shè)計(jì),前提是已由其他探測(cè)設(shè)備得到目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).Lawrence[10]針對(duì)無(wú)人機(jī)環(huán)航跟蹤問(wèn)題,提出基于Lyapunov向量場(chǎng)引導(dǎo)法(Lyapunov vector field guidance,LVFG)的環(huán)航控制器;Frew等[11]和Summers等[12]針對(duì)無(wú)人機(jī)速度受限提出一種解耦控制結(jié)構(gòu);Yoon等[13]利用Backstepping使無(wú)人機(jī)在速度受限的情況下完成空間環(huán)航跟蹤;Wang等[14]提出一種基于彈性引力和斥力的控制方法;Oh等[15]為進(jìn)一步分析目標(biāo)速度對(duì)環(huán)航跟蹤的影響,利用微分幾何的方法明確指出繞飛中無(wú)人機(jī)速度與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的關(guān)系;Shames等[16]考慮了無(wú)人機(jī)環(huán)航跟蹤時(shí)的避障問(wèn)題;為使無(wú)人機(jī)更快速地收斂,Chen等[17]提出一種基于切向量場(chǎng)引導(dǎo)法(Tangent vector field guidance,TVFG)的控制方法,但當(dāng)無(wú)人機(jī)在期望距離內(nèi)時(shí)控制方案依然為L(zhǎng)yapunov向量場(chǎng)引導(dǎo)法.多種現(xiàn)代控制策略被應(yīng)用到環(huán)航跟蹤研究上,例如模型預(yù)測(cè)控制[18?19]、自適應(yīng)滑模控制[20]、動(dòng)態(tài)規(guī)劃[21]、路徑規(guī)劃[22]、分布式控制[23]等.另外,Zhu等針對(duì)環(huán)航跟蹤中無(wú)人機(jī)輸入受限的問(wèn)題提出Bang-Bang控制[24]和飽和控制策略[25].

上述成果提出多種可行的環(huán)航控制方案,給出在這些控制器下無(wú)人機(jī)對(duì)目標(biāo)環(huán)航跟蹤進(jìn)一步的研究成果,但對(duì)上述控制器之間的優(yōu)缺點(diǎn)對(duì)比給出的結(jié)論較少.另外,關(guān)于無(wú)人機(jī)收斂到期望航跡的問(wèn)題,人們總是更希望無(wú)人機(jī)能在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)期望航跡,有限時(shí)間穩(wěn)定控制器可以保證閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)[26?31],但工程應(yīng)用中,無(wú)人機(jī)速度普遍會(huì)受到限制,如何保證無(wú)人機(jī)在此情況下更快速地收斂是需要研究的課題.

本文針對(duì)工程應(yīng)用中目標(biāo)速度變化情況,根據(jù)無(wú)人機(jī)和目標(biāo)的幾何關(guān)系,提出一種考慮目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的控制方案,給出一類基于該控制策略可行的控制參數(shù)條件.通過(guò)比較這類控制器的優(yōu)缺點(diǎn),提出一種具有快速收斂性、更好抗擾動(dòng)性的有限時(shí)間飽和控制參數(shù)條件.

本文結(jié)構(gòu)安排如下:第1節(jié)描述研究的問(wèn)題;第2節(jié)給出有限時(shí)間控制器的設(shè)計(jì)方案;第3節(jié)給出仿真比較結(jié)果;第4節(jié)是結(jié)論.

本文中,R表示實(shí)數(shù)集,R+表示正實(shí)數(shù)集,為歐氏范數(shù),sgn(·)表示符號(hào)函數(shù)(sgn(0)=0),AB表示集合{x|x∈A,x/∈B}.

1 問(wèn)題描述

如圖1所示,本文主要考慮固定翼無(wú)人機(jī)對(duì)目標(biāo)的環(huán)航跟蹤問(wèn)題.例如文獻(xiàn)[8],假定無(wú)人機(jī)配有一個(gè)低空飛行控制系統(tǒng),可接收到速率、角速度指令轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的橫滾、俯仰和偏航信息,同時(shí)具有速度保持和定高飛行功能.因此,無(wú)人機(jī)主要針對(duì)地面、水面或同一水平面的目標(biāo)進(jìn)行環(huán)航跟蹤,即只考慮無(wú)人機(jī)與目標(biāo)在X-Y平面下的相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài).假設(shè)已經(jīng)由其他探測(cè)設(shè)備得到目標(biāo)的速度信息,本文主要研究無(wú)人機(jī)對(duì)目標(biāo)環(huán)航跟蹤的飛行控制器設(shè)計(jì).基于工程應(yīng)用與控制實(shí)現(xiàn)要求,假定無(wú)人機(jī)的速度受限,且滿足無(wú)人機(jī)速率大于目標(biāo)速率.

圖1 系統(tǒng)模型Fig.1 Model of the system

1.1 飛行環(huán)繞問(wèn)題描述和系統(tǒng)模型

由于將無(wú)人機(jī)視為質(zhì)點(diǎn),以無(wú)人機(jī)速度為輸入設(shè)計(jì)控制器,因此在笛卡爾二維坐標(biāo)系下,設(shè)無(wú)人機(jī)的運(yùn)動(dòng)模型為[5]

其中,vmin,vmax分別表示無(wú)人機(jī)的最大和最小航行速率.

目標(biāo)的位置和速度由其他探測(cè)設(shè)備實(shí)時(shí)探測(cè)得到,因此考慮到目標(biāo)在笛卡爾二維坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)模型為

根據(jù)環(huán)航跟蹤的控制要求,對(duì)無(wú)人機(jī)和目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)和位置建模.在同一笛卡爾坐標(biāo)系下,定義無(wú)人機(jī)與目標(biāo)的相對(duì)速度為νr,則

即相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型為

其中,變量[xryr]T∈R2表示無(wú)人機(jī)相對(duì)于目標(biāo)的位置.如圖1所示在極坐標(biāo)下系統(tǒng)模型(5)的輸出表示為

其中,d∈R+表示無(wú)人機(jī)與目標(biāo)之間的相對(duì)距離,θ∈[0,2π)表示無(wú)人機(jī)與目標(biāo)之間的方向角.控制器設(shè)計(jì)要求距離收斂到期望值,可以表示為

其中,d0∈R+表示無(wú)人機(jī)和目標(biāo)的期望距離.

由要求目標(biāo)速率小于無(wú)人機(jī)的最大速率得出:

假設(shè)1.相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型(5)中,0≤vt

1.2 有限時(shí)間穩(wěn)定預(yù)備知識(shí)

定義1[26].考慮如下連續(xù)系統(tǒng)如下假設(shè):

其中,x∈Rn,f(0)=0,f:D→Rn為一個(gè)連續(xù)函數(shù),D?Rn為原點(diǎn)x=0的鄰域,由初始狀態(tài)x0=x(t0)出發(fā)的運(yùn)動(dòng)軌跡簡(jiǎn)記為x(t)=x(t,t0,x0).

若系統(tǒng)(7)滿足:1)在平衡點(diǎn)x=0穩(wěn)定;2)有限時(shí)間收斂,引入原點(diǎn)的開鄰域D0和收斂時(shí)間函數(shù)T(x0).D0{0}→(0,∞),對(duì)任意初始狀態(tài)x0∈D0{0}?D,若存在T(x0)>0使得t∈[0,T(x0)]時(shí),x(t)∈D0{0}且limt→T(x0)x(t)=0;當(dāng)t>T(x0)時(shí)x(t)=0,則系統(tǒng)(7)在平衡點(diǎn)有限時(shí)間穩(wěn)定.

若D0=D=Rn,稱系統(tǒng)(7)在平衡點(diǎn)全局有限時(shí)間穩(wěn)定.

引理1[31].若存在一個(gè)連續(xù)可微的Lyapunov方程V(x):D→R滿足:1)對(duì)任意x∈D0{0}?D,V(x)為正定函數(shù);2)存在k∈R+和α∈(0,1),使得對(duì)任意x∈D0{0}?D,(x)+kVα(x)≤0.則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)有限時(shí)間穩(wěn)定.且收斂時(shí)間T(x)≤V1?α(x)/(k(1?α)).

本文旨在設(shè)計(jì)一個(gè)穩(wěn)定且有限時(shí)間內(nèi)收斂的無(wú)人機(jī)飛行控制器,實(shí)現(xiàn)在速度受限條件下對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的環(huán)繞跟蹤要求.

2 飛行控制器設(shè)計(jì)

首先利用無(wú)人機(jī)和目標(biāo)的幾何關(guān)系設(shè)計(jì)出合理的控制器,再利用Lyapunov穩(wěn)定性定理給出可行的控制器參數(shù),然后利用飽和控制和有限時(shí)間穩(wěn)定性使無(wú)人機(jī)在滿足約束條件的情況下快速實(shí)現(xiàn)跟蹤要求.

2.1 幾何模型

定義無(wú)人機(jī)與目標(biāo)間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型為

其中,vr∈R+表示無(wú)人機(jī)與目標(biāo)之間的相對(duì)速率,ψr∈[0,2π)表示相對(duì)航向,ωr∈R表示相對(duì)角速度.

如圖2所示,定義φ∈[0,2π)表示相對(duì)速度與視線之間的角度,即ψr=θ?φ?π;β(t)∈R2表示無(wú)人機(jī)到目標(biāo)的單位向量,的一個(gè)單位法向量,即

定理1.對(duì)給定的無(wú)人機(jī)速度要求,只需通過(guò)調(diào)節(jié)角度變量φ,即由相應(yīng)的無(wú)人機(jī)的控制速度輸入

其中,相對(duì)速率為

達(dá)到控制無(wú)人機(jī)機(jī)動(dòng)完成特定追蹤要求的目的.

注1.由無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)模型(1)可知,無(wú)人機(jī)速度νo與無(wú)人機(jī)飛行控制器的控制輸入量速率vo和角速度ωo存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,因此以無(wú)人機(jī)速度作為輸入變量u是合理的.

圖2 環(huán)航跟蹤相對(duì)幾何模型Fig.2 Guidance geometry for stando fftracking

證明.由模型(5)和模型(8)可得

n維空間中任意向量可以由n個(gè)互不相關(guān)向量表示,如圖2所示,相對(duì)速度可以表示為

由式(12)和式(4)可知,無(wú)人機(jī)速度表示為式(9)是合理的.在此情況下,求解式(11)可以得出相對(duì)速率為

根據(jù)假設(shè)1,基于相對(duì)速率vr∈R+考慮,對(duì)于給定的φ,vr可由式(10)得出.即由給定的角度變量φ,可得到符合無(wú)人機(jī)速度約束條件的相對(duì)速率vr的范圍.同時(shí)若無(wú)人機(jī)速率恒定為vo,可以得到唯一的相對(duì)速率vr.

2.2 Lyapunov漸近穩(wěn)定控制器

根據(jù)上述控制器設(shè)計(jì),進(jìn)一步考慮如何調(diào)節(jié)角度變量φ,保證控制器的穩(wěn)定性.

在無(wú)人機(jī)的速度為式(9)情況下,相對(duì)速度可以轉(zhuǎn)化為

此時(shí),在極坐標(biāo)下系統(tǒng)輸出(6)的導(dǎo)數(shù)為

定義距離輸出誤差為實(shí)際距離與期望距離的差ed=d?d0,顯然,ed∈(?d0,∞),且

其中,φ∈[0,π],即取無(wú)人機(jī)逆時(shí)針環(huán)航.

定理2.在假設(shè)1下,若無(wú)人機(jī)的速度輸入為

其中,Φ(0)=0,且滿足

對(duì)于給定的Φ(ed),vr可由式(10)得出,則系統(tǒng)輸出(6)在平衡點(diǎn)ed=0是漸近穩(wěn)定的,即無(wú)人機(jī)漸近收斂到以目標(biāo)為圓心,d0為半徑的期望航跡上.

證明.引入一個(gè)新的Lyapunov函數(shù)

是正定的,其導(dǎo)數(shù)為

根據(jù)LaSalle不變集原理[32],距離誤差ed收斂到不變集ed=0,=0,即d=d0.

定理1給出了考慮目標(biāo)速度的控制器結(jié)構(gòu),定理2給出了保證控制器穩(wěn)定的參數(shù)條件.因此由定理1和定理2可以設(shè)計(jì)出考慮目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)且保證無(wú)人機(jī)收斂到期望航跡的穩(wěn)定控制器.

例1.傳統(tǒng)的Lyapunov向量場(chǎng)引導(dǎo)法(LVFG)控制方案[10],無(wú)人機(jī)期望速度為

利用本文所提方法,考慮目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài),得到改進(jìn)的LVFG控制方法(ILVFG).控制器為式(18),其中,控制參數(shù)

且對(duì)于給定的無(wú)人機(jī)期望速率vo和控制參數(shù)Φ(ed),vr可由式(10)唯一確定.

由ed∈(?d0,∞),可得,因此

同時(shí)又因?yàn)?/p>

所以Φ(ed)符合條件(19),由定理2,無(wú)人機(jī)可漸近收斂到期望航跡,滿足跟蹤要求.

例2.文獻(xiàn)[17]提出切向量場(chǎng)結(jié)合Lyapunov向量場(chǎng)引導(dǎo)法(T+LVFG)的控制方案.無(wú)人機(jī)與目標(biāo)相對(duì)距離小于期望距離dd0時(shí),利用切向量場(chǎng)引導(dǎo)法(TVFG)設(shè)計(jì)飛行控制器,無(wú)人機(jī)期望速度為

利用本文方法,對(duì)文獻(xiàn)[17]的方法進(jìn)行改進(jìn)(IT+LVFG).控制器為式(18),其中,控制參數(shù)

當(dāng)ed<0時(shí),顯然0<Φ(ed)sgn(ed)<1;當(dāng)ed>0時(shí),Φ(ed)sgn(ed)>0,且

因此Φ(ed)滿足條件(19),無(wú)人機(jī)可收斂到期望航跡.

2.3 有限時(shí)間飽和控制器

漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)狀態(tài)隨著時(shí)間趨向于平衡點(diǎn),但不能保證在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到期望值.本節(jié)考慮如何針對(duì)控制器(18)設(shè)計(jì)適合的控制參數(shù)Φ(ed),使相對(duì)距離d在有限時(shí)間內(nèi)收斂到期望距離d0,即limt→T(d)d(t)=d0,其中0

由定理2可知,無(wú)人機(jī)速度輸入u中參數(shù)Φ(ed)受約束.在設(shè)計(jì)有限時(shí)間控制器時(shí)用到了不等式縮放[27],導(dǎo)致控制器中參量幅值偏大.若直接運(yùn)用非飽和有限時(shí)間控制器則無(wú)法滿足參數(shù)限制|Φ(ed)|≤1,因此結(jié)合飽和控制設(shè)計(jì)了參數(shù)受限下有限時(shí)間飽和控制器(Finite-time saturated controller,FTSC).

首先考慮非飽和下的有限時(shí)間穩(wěn)定控制器.

定理3.對(duì)系統(tǒng)

其中,ed∈R,vr∈[vo?vt,vo+vt],Φ(0)=0.若存在k∈R+和α=p/q,0

則系統(tǒng)(24)有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)ed=0.

證明.選取Lyapunov方程(20).根據(jù)ed∈R{0}的取值分兩種情況討論.

1)ed∈(0,∞)

2)ed∈(?∞,0)

綜上所述,若Φ(ed)滿足條件(25),則必然存在k'∈R+和α'∈(0,1),使得對(duì)任意ed∈R{0},k'Vα0+0.根據(jù)引理1,系統(tǒng)(24)在平衡點(diǎn)ed=0有限時(shí)間穩(wěn)定.

顯然,定理3中必然存在ed∈(?d0,∞){0},使得|Φ(ed)|>1.

利用有限時(shí)間穩(wěn)定性與飽和控制原理相結(jié)合,考慮控制參數(shù)受限情況下的有限時(shí)間穩(wěn)定控制器.設(shè)計(jì)控制器參數(shù),如圖3所示.

其中,κ為(0,1]的任意常數(shù),Φ'(ed)滿足條件(25),sat(·)是飽和函數(shù),定義為

定理4.若無(wú)人機(jī)輸入控制器(18)中參數(shù)Φ(ed)為式(26),則系統(tǒng)輸出(6)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)ed=0,即無(wú)人機(jī)在一定時(shí)間內(nèi)收斂到距離目標(biāo)d0的航跡上,實(shí)現(xiàn)環(huán)航跟蹤要求.

圖3 飽和約束下的有限時(shí)間穩(wěn)定控制參數(shù)Fig.3 Control parameters of finite-time stability subject to saturation

證明.由飽和函數(shù)特性,顯然式(26)中Φ(ed)符合對(duì)任意ed∈(?d0,∞),|Φ(ed)|≤1.

首先,證明控制器參數(shù)Φ(ed)在式(26)情況下的系統(tǒng)輸出穩(wěn)定性.

由式(18)可知,對(duì)任意輸出誤差ed>0,Φ'(ed)>0,由式(26),此時(shí)Φ(ed)>0;對(duì)任意ed<0,Φ(ed)<0;且ed=0時(shí)Φ(ed)=0.以Lyapunov函數(shù)(20)檢驗(yàn)其穩(wěn)定性,對(duì)任意ed∈(?d0,∞),≤0.因此,無(wú)人機(jī)輸入控制器(18)中參數(shù)Φ(ed)滿足條件(26),系統(tǒng)輸出(6)在平衡點(diǎn)ed=0穩(wěn)定.

然后,證明該系統(tǒng)有限時(shí)間收斂,分為兩部分.系統(tǒng)控制器(18)中參數(shù)為式(26)時(shí),對(duì)任意初始輸出誤差ed(t0)必然存在時(shí)刻t1,使得t>t1時(shí),ed(t)∈[ε1,ε2],即相對(duì)距離收斂到一個(gè)范圍內(nèi);在該范圍內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài)有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn),即必然存在時(shí)刻t1t2時(shí),ed(t)=0.其中,Φ'(ε1)= ?1,Φ'(ε2)=1,且對(duì)任意ed(t)∈[ε1,ε2],都有|Φ'(ed)|≤1.

1)證明對(duì)任意初始相對(duì)距離ed(t0),必然存在時(shí)刻t1>t0,使得ed(t1)∈[ε1,ε2].假設(shè)上述不成立,則存在兩種情況:對(duì)任意時(shí)刻t>t0,都滿足ed(t)>ε2;對(duì)任意時(shí)刻t>t0,ed(t)<ε1.

a)假設(shè)對(duì)任意時(shí)刻t>t0,ed(t)>ε2.

對(duì)任意距離誤差ed(t)>ε2,由不等式(19)和式(26),可以得出此時(shí)控制參數(shù)Φ(ed)=κ,輸出誤差導(dǎo)數(shù)滿足,則

因此,對(duì)任意距離ed(t0)>ε2,必然存在某一時(shí)刻t1>t0,使得ed(t1)<ε2.假設(shè)不成立.

b)假設(shè)對(duì)任意時(shí)刻t>t0,ed(t)≤ε1.

若ε1≥?d0,對(duì)任意距離ed(t)<ε1,由不等式(19)和式(26),可以得出控制參數(shù)Φ(ed)=?κ,輸出誤差導(dǎo)數(shù)滿足,則

因此,對(duì)任意距離ed(t0)<ε1,必然存在某一時(shí)刻t1>t0,使得ed(t1)≥ε1,假設(shè)不成立.若ε1t0,都有ed(t)>ε1,假設(shè)不成立.

因此,對(duì)任意初始輸出誤差ed(t0),必然存在時(shí)刻t1,使得ed(t1)∈[ε1,ε2].由系統(tǒng)穩(wěn)定性可知t>t1時(shí),ed(t)∈[ε1,ε2].

2)證明當(dāng)無(wú)人機(jī)與目標(biāo)相對(duì)距離在指定區(qū)域時(shí),必然會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn).即,若ed(t1)∈[ε1,ε2],必然存在某一時(shí)刻t2,其中,t1t2,都有ed(t)=0.

已知t>t1時(shí),ed(t)∈[ε1,ε2],根據(jù)式 (26),此時(shí) Φ(ed)= Φ'(ed). 因此,sgn(ed)Φ(ed)≥k|ed|α,即滿足非飽和約束下的有限時(shí)間控制器條件,由定理3,系統(tǒng)必然在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn).

上述部分證明了控制器(18)中參數(shù)Φ(ed)為式(26)時(shí),系統(tǒng)輸出(6)在平衡點(diǎn)ed=0穩(wěn)定且有限時(shí)間收斂,由定義1,對(duì)任意輸出誤差ed∈(?d0,∞),系統(tǒng)輸出在平衡點(diǎn)有限時(shí)間穩(wěn)定.

定理4給出了系統(tǒng)輸出(6)有限時(shí)間穩(wěn)定的參數(shù)條件.無(wú)人機(jī)在指定區(qū)域外(|Φ'(ed)|=1,|Φ(ed)|=κ≤1)時(shí),由飽和控制器控制其收斂到指定區(qū)域內(nèi)(|Φ'(ed)|<1,|Φ(ed)|<κ),而后化為非飽和有限時(shí)間控制器在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn).

注2.令T1表示飽和控制器控制無(wú)人機(jī)的收斂時(shí)間(可能為0),T2表示非飽和有限時(shí)間穩(wěn)定控制器的收斂時(shí)間.則T1,T2大小與初始距離d(等同于ed)和κ,k,α相關(guān).當(dāng)其他參數(shù)相同時(shí),隨著κ增大,時(shí)間T1和T2均減小,即收斂更快速;隨著k增大,ε1增大,ε2減小,即非飽和有限時(shí)間穩(wěn)定控制器控制范圍增大,因此,收斂時(shí)間T1增大,T2減小.

例3.利用定理4給出的控制器參數(shù)條件(26),提出符合要求的有限時(shí)間飽和控制器.控制器為式(18),其中控制參數(shù)

取k1,k2∈R+,κ∈(0,1],α=p/q,0

3 仿真結(jié)果及分析

通過(guò)與文獻(xiàn)[10]中Lyapunov向量場(chǎng)引導(dǎo)法(LVFG)控制方案(例1)和文獻(xiàn)[17]的切向量場(chǎng)結(jié)合Lyapunov向量場(chǎng)引導(dǎo)法(T+LVFG)控制方案(例2)進(jìn)行比較,說(shuō)明本文控制方法的優(yōu)越性.為確保仿真實(shí)驗(yàn)的公平性,實(shí)驗(yàn)中目標(biāo)的初始位置為原點(diǎn),運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的速度均為νt=(2,2cos(0.01πt)+1)m/s,即目標(biāo)軌跡相同;無(wú)人機(jī)航行速率保持恒定vo=10m/s,期望距離為d0=100m.

1)驗(yàn)證提出的控制方案的有效性.將LVFG、T+LVFG控制器方法與本文ILVFG、IT+LVFG(例1和例2中已給出具體的控制器)進(jìn)行比較,仿真結(jié)果如圖4.

圖4(a)為傳統(tǒng)的LVFG和本文的ILVFG控制方法下的目標(biāo)和無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)軌跡,圖4(b)則為T+LVFG和IT+LVFG控制器,圖4(c)為四種控制器下的無(wú)人機(jī)與目標(biāo)相對(duì)距離.由圖4(c)可以看出,已知目標(biāo)速度νt,使用不考慮目標(biāo)速度的LVFG和T+LVFG方法,相對(duì)距離會(huì)收斂到一定范圍內(nèi),即|limt→∞d(t)?d0|≤?,其中,?與γ=vt/vo∈(0,1)相關(guān),且T+LVFG控制器收斂速度快于LVFG控制器.而本文的ILVFG和IT+LVFG控制方法,相對(duì)距離會(huì)收斂期望距離,即limt→∞d(t)=d0.顯然,對(duì)于運(yùn)動(dòng)目標(biāo),ILVFG和IT+LVFG控制方法比傳統(tǒng)的LVFG和T+LVFG控制方法具有明顯優(yōu)越性.

2)驗(yàn)證提出的有限時(shí)間飽和控制器(FTSC)的快速響應(yīng)能力.FTSC(例3)、ILVFG 和IT+LVFG控制方法相比較.其中FTSC中參數(shù)為κ=1,k=0.1,k2=0.01,α=7/11.

注3.由于dd0和小于期望距離d(0)

對(duì)靜止目標(biāo),仿真結(jié)果如圖5和圖6所示.圖5和圖6分別針對(duì)d(0)>d0和d(0)d0時(shí),FTSC和IT+LVFG控制方案下的無(wú)人機(jī)收斂速度明顯快于ILVFG控制方案.圖6(a)～(c)為t=10s,t=50s,t=100s時(shí)IT+LVFG控制方案下的目標(biāo)和無(wú)人機(jī)軌跡,圖6(d)～(f)則為FTSC控制方案,圖6(g)為兩種情況下的相對(duì)距離對(duì)比.從圖6可以看出,d(0)

圖4 目標(biāo)速度對(duì)環(huán)航跟蹤誤差的影響Fig.4 The in fluences of the target velocity on the stando fftracking errors

圖5 d(0)>d0時(shí)靜止目標(biāo)環(huán)航跟蹤Fig.5 Stando fftracking a static target whend(0)>d0

圖7和圖8分別為d(0)>d0和d(0)

3)驗(yàn)證提出的FTSC控制方案不同參數(shù)取值對(duì)收斂時(shí)間的影響.將FTSC(例3)中不同參數(shù)κ相對(duì)比,仿真結(jié)果如圖9.其中,k1=0.1,k2=0.01,α=7/11.

圖9(a)～(d)分別為κ=1/4,κ=1/2,κ=3/4,κ=1時(shí)的目標(biāo)軌跡和無(wú)人機(jī)軌跡,圖9(e)為對(duì)應(yīng)的無(wú)人機(jī)與目標(biāo)相對(duì)距離.圖9表明,收斂速度隨κ增大而增大.

4 結(jié)論

本文主要研究單無(wú)人機(jī)對(duì)單目標(biāo)進(jìn)行環(huán)航跟蹤的問(wèn)題.1)根據(jù)無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)特性給出一種控制器,保證無(wú)人機(jī)能根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)調(diào)整自身運(yùn)動(dòng)狀態(tài),更穩(wěn)定地跟蹤目標(biāo).2)根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理給出漸近穩(wěn)定的控制器參數(shù)條件.3)考慮其參數(shù)特性,利用飽和控制結(jié)合有限時(shí)間控制,給出顯式的條件選擇控制器中的參數(shù),使無(wú)人機(jī)飛行軌跡快速收斂到期望航跡.基于環(huán)航跟蹤系統(tǒng)的廣闊應(yīng)用背景,下一步考慮與協(xié)同控制結(jié)合,運(yùn)用到多無(wú)人機(jī)協(xié)同跟蹤目標(biāo)中.

圖6 d(0)

圖7 d(0)>d0時(shí)機(jī)動(dòng)目標(biāo)環(huán)航跟蹤Fig.7 Stando fftracking a maneuvering target whend(0)>d0

圖8 d(0)

圖9 κ對(duì)無(wú)人機(jī)環(huán)航軌跡和收斂速度的影響Fig.9 The in fluences ofκon the trajectory of UAV and rate of convergence