基于均值控制圖的設(shè)備預(yù)防維修預(yù)警決策模型研究*

趙永強

(西安郵電大學(xué) 現(xiàn)代郵政學(xué)院，西安 710061)

0 引言

從文獻綜述看，很多學(xué)者在研究預(yù)防維修和控制圖的集成模型時，對設(shè)備的預(yù)防維修均考慮在過程失控后進行維修，此時的設(shè)備已經(jīng)出現(xiàn)較嚴(yán)重的問題，會使維修難度增加，也會導(dǎo)致生產(chǎn)出的產(chǎn)品質(zhì)量水平下降。因此，需要考慮在控制圖中設(shè)定警戒區(qū)域，當(dāng)控制圖點落入此區(qū)域時，就對設(shè)備進行預(yù)防維修，這樣就能夠保證設(shè)備依然處于正常狀態(tài)時就進行預(yù)防維修，進而保證生產(chǎn)的有效性和可靠性。基于此，本文將控制圖與設(shè)備維修決策相結(jié)合，在控制圖報警時就考慮執(zhí)行設(shè)備預(yù)防維修，對降低生產(chǎn)成本、提高設(shè)備的可靠性及產(chǎn)品質(zhì)量有重要的現(xiàn)實意義。

1 模型構(gòu)建的理論基礎(chǔ)

2 模型構(gòu)建

2.1 模型的研究假設(shè)

研究的基本假設(shè)如下：

(1)控制圖所監(jiān)測到的異常為單一系統(tǒng)因素造成的平均值偏移；

(2)產(chǎn)品的質(zhì)量特性服從正態(tài)分布N(μ,σ2)；

(3)過程開始時是處于受控狀態(tài)，當(dāng)系統(tǒng)因素發(fā)生后，過程的平均值由μ偏移至μ±δσ，且上下偏移的概率相等；

(4)生產(chǎn)過程發(fā)生異常的時間服從指數(shù)分布，其失效率參數(shù)為λ0；

(5)生產(chǎn)過程執(zhí)行預(yù)防維修動作后，失效率可由λ0改善為λ，λ=r×λ0，0

(7)當(dāng)抽樣結(jié)果樣本落在警戒區(qū)域(-k,-w)∪(k,w)時，則執(zhí)行預(yù)防維修動作。

(8)由于預(yù)防維修無法將生產(chǎn)過程由異常狀態(tài)恢復(fù)到受控狀態(tài)，因此假設(shè)預(yù)防維修的成本小于生產(chǎn)過程異常后修復(fù)的成本。

(9)假設(shè)生產(chǎn)過程為連續(xù)性生產(chǎn)，即控制圖監(jiān)測到系統(tǒng)因素并開始尋找與修復(fù)生產(chǎn)過程時，生產(chǎn)不停止。

2.2 模型的構(gòu)建

2.2.1 控制圖的控制周期時間分析

(1)生產(chǎn)過程在受控狀態(tài)的時間

假設(shè)Pw為生產(chǎn)過程在受控狀態(tài)，抽樣結(jié)果在警戒界限(-w,w)之內(nèi)的概率，Φ(x)為正態(tài)分布的累計概率分布函數(shù)，w為警戒界限系數(shù)則，則Pw為：

Pw=Φ(w)-Φ(-w)

(1)

假設(shè)Pr為生產(chǎn)過程處于受控狀態(tài)且抽樣結(jié)果在警戒界限與控制界限之間(-k,-w)∪(k,w)的概率，即生產(chǎn)過程需進行預(yù)防維修活動的概率，k為控制圖界限系數(shù)，則有：

Pr=2[Φ(k)-Φ(w)]

(2)

令h0為受控狀態(tài)下每次抽樣的期望間隔時間，即抽樣時間間隔與預(yù)防維修時間的期望值之和；h為抽樣時間間隔；Z為預(yù)防維修執(zhí)行時間，則：

h0=h×Pw+(h+Z)×Pr

(3)

由于生產(chǎn)過程發(fā)生異常的概率服從指數(shù)分布，因此生產(chǎn)過程在受控狀態(tài)下的發(fā)生概率，即尚未發(fā)生異常的概率將隨時間而遞減，由上述每次抽樣的期望間隔時間來看，其每次抽樣間隔過后生產(chǎn)過程的存活率分別為e-λh0,e-2λh0,e-3λh0,……,因此生產(chǎn)過程在受控狀態(tài)到異常發(fā)生后首次抽樣以前所經(jīng)過的時間為受控狀態(tài)的每次抽樣間隔期望時間與每次抽樣間隔過后生產(chǎn)過程的發(fā)生概率的乘積總和。令λ為系統(tǒng)在執(zhí)行預(yù)防維修后的指數(shù)分布的失效率，即：

t0=h0e-λh0+h0e-2λh0+h0e-3λh0+...

(4)

令τ為異常發(fā)生前最后一次抽樣到異常發(fā)生的時間，假設(shè)異常發(fā)生在第j次抽樣之后，則：

(5)

因此，控制內(nèi)的時間T1為：

T1=(h0e-λh0+h0e-2λh0+h0e-3λh0+...)-(h0-τ)

(6)

(2)異常發(fā)生后至控制圖監(jiān)測出異常的時間

(7)

(8)

令h1為當(dāng)異常發(fā)生后每次抽樣的期望間隔時間，即抽樣時間間隔與預(yù)防維修時間的期望值之和，則：

(9)

(10)

(11)

因此，異常發(fā)生后至控制圖監(jiān)測出異常的時間為T2：

(12)

(3)抽樣、檢驗并解釋其結(jié)果的時間

令抽樣、檢驗并解釋其結(jié)果的時間為T3；e為單位產(chǎn)品的抽樣與檢驗時間；n為抽樣樣本大小，則有：

T3=e×n

(13)

(4)令D為異常發(fā)生后過程的修復(fù)時間，尋找異常來源及修復(fù)過程的時間T4為：

T4=D

(14)

由上述4個時間函數(shù)相加即可求得過程的總周期時間，即控制圖的總周期時間模式為:

E(T)=T1+T2+T3+T4

(15)

2.2.2 控制圖的成本模式分析

在本研究的連續(xù)性生產(chǎn)的假設(shè)模式中，生產(chǎn)過程每周期的成本可分為抽樣成本、假警報成本、尋找異常因素與修復(fù)生產(chǎn)過程的成本、預(yù)防維修成本、社會損失成本等5個部分，分別說明如下：

(1)抽樣成本

假設(shè)每次抽樣的固定成本為a，單位成本為b，則生產(chǎn)過程每單次抽樣的成本為a+b×n。生產(chǎn)過程在控制內(nèi)的總時間為T1，而h0為控制內(nèi)的每次抽樣之間的期望間隔時間，則控制內(nèi)的抽樣次數(shù)為T1/h0。同理，生產(chǎn)過程從異常狀態(tài)直到開始修復(fù)前的時間為T2+T3，每次抽樣間的期望間隔時間為h1，因此控制外的抽樣次數(shù)為(T2+T3)/h1。而抽樣總次數(shù)為T1/h0+(T2+T3)/h1。因此抽樣的總成本為C1：

(16)

(2)假警報成本

α為第一類錯誤的發(fā)生概率，即過程在受控狀態(tài)時抽樣結(jié)果樣本在控制界限外的概率，則α=2Φ(-k)，假警報的期望發(fā)生次數(shù)NOF為假警報的概率乘以控制內(nèi)的抽樣次數(shù)，Y為每次假警報的成本，即：

NOF=α×(T1/h0)

(17)

則假警報的額外成本C2為 ：

C2=Y×NOF

(18)

(3)尋找與修復(fù)異常成本

令V為異常發(fā)生后尋找異常來源與修復(fù)過程的成本，則尋找異常來源及修復(fù)生產(chǎn)過程的成本C3=V。

(4)預(yù)防維修成本

受控狀態(tài)內(nèi)執(zhí)行預(yù)防維修的次數(shù)為Pr×(T1/h0)，異常狀態(tài)下執(zhí)行預(yù)防維修的次數(shù)為Pr×ARL1，因此受控狀態(tài)與異常狀態(tài)的預(yù)防維修總次數(shù)為Pr×(T1/h0)+Pr×ARL1。Cpm為每次執(zhí)行預(yù)防維修的成本，則預(yù)防維修的總成本C4為：

C4=Cpm×[Pr×(T1/h0)+Pr×ARL1]

(19)

(5)社會損失成本

社會損失成本分為兩部分，分別為受控狀態(tài)的社會損失成本與異常狀態(tài)的社會損失成本。

當(dāng)生產(chǎn)過程在受控狀態(tài)時，若M為異常狀態(tài)單位時間的損失，dv為生產(chǎn)過程平均值與目標(biāo)值間差距，Δ為產(chǎn)品的規(guī)格公差，T1為生產(chǎn)過程在受控狀態(tài)的時間，u為生產(chǎn)過程單位時間產(chǎn)量，則此時的產(chǎn)品出廠所造成的社會損失成本為：

(20)

當(dāng)生產(chǎn)過程處于異常狀態(tài)時，其平均值偏移了δσ，T2、T3、T4均為生產(chǎn)過程在異常狀態(tài)的時間，則此時的產(chǎn)品出廠所造成的社會損失成本為：

(21)

2.2.3 控制圖的單位時間成本

上述6個成本函數(shù)相加，即可求得生產(chǎn)過程每周期的總成本模式，即控制圖的總周期成本為：

E(C)=C1+C2+C3+C4+C5+C6

(22)

故控制圖的單位時間成本為：

(23)

2.3 參數(shù)分析

本研究利用Matlab軟件求出最低損失成本及最優(yōu)設(shè)計參數(shù)，算法的設(shè)計步驟說明如下：

(1)找出可能的抽樣樣本大小n作為起始值，并以加減數(shù)個單位的n作為其搜尋范圍；

(2)以搜尋、比較、取代的方法找出在此范圍內(nèi)所有n的個別最優(yōu)單位時間成本及與其對應(yīng)的h、k；

(3)將此范圍內(nèi)所有n的個別最優(yōu)單位時間成本作比較、取代，以找出最優(yōu)單位時間成本值；

(4)若此最優(yōu)單位時間成本值的n不位于搜尋范圍的端點時，則此時的n、h、k值即為本研究的最優(yōu)n*、h*、k*。

3 算例分析

現(xiàn)假設(shè)所有參數(shù)數(shù)據(jù)分別為：λ0=0.05、r=0.8、Z=0.1、e=0.2、D=1、a=2、b=0.5、Y=500、M=900、V=1100、Cpm=200、δ=0.5、σ=2、Δ=8、dv=1、u=100。將上述參數(shù)代入本研究的模型中，初步運行結(jié)果如表1所示。

表1 n、h、k與 E(TC)的運行結(jié)果

在表1中，當(dāng)抽樣樣本數(shù)n為14時，其單位時間成本E(TC)的值為3281.70，為最低。此時n*=14、h*=0.594、k*=1.899，為最優(yōu)的控制圖設(shè)計參數(shù)。在n*=14、h*=0.594、k*=1.899三個參數(shù)值不變的條件下，令r=1、Z=1、Cpm=0，此時的控制圖模型不考慮設(shè)備預(yù)防維修，通過計算得出E(TC)的值為3523.44，比考慮預(yù)防維修的數(shù)值增加，說明在警戒區(qū)執(zhí)行預(yù)防維修的控制圖經(jīng)濟性模型相對于不考慮預(yù)防維修的模型更為經(jīng)濟。通過數(shù)據(jù)比對可知，結(jié)合控制圖經(jīng)濟性模型設(shè)備維修預(yù)警決策模型是可行的，經(jīng)濟性最好且設(shè)備的可靠性更好，這對提高產(chǎn)品質(zhì)量、降低質(zhì)量成本及提高設(shè)備可靠性十分有利。

為探討各參數(shù)資料對于n、h、k以及E(TC)的影響程度，將各項參數(shù)資料δ、M、λ0、Y、r，Δ、Z，dv、e、Cpm、Z、r分別導(dǎo)入。整個模型分為5個等級進行敏感性分析，其結(jié)果如表2所示。

表2 參數(shù)的敏感性分析

具體參數(shù)分析如下：

(1)當(dāng)M值增加時，將使單位時間成本E(TC)增加，抽樣間隔h增加，控制圖界限寬度減少；

(2)當(dāng)δ值增加時將使單位時間成本E(TC)增加，抽樣間隔h增加，控制圖界限寬度k減少；

(3)當(dāng)λ0值增加時將使單位時間成本E(TC)增加，樣本數(shù)n減少，抽樣間隔h增加，控制圖界限寬度k減少；

(4)當(dāng)e值增加時將使單位時間成本E(TC)增加，樣本數(shù)n減少，抽樣間隔h增加，控制圖界限寬度k減少；

(5)當(dāng)Y值增加時將使單位時間成本E(TC)增加，抽樣間隔h增加，控制圖界限寬度k減少；

(6)當(dāng)Δ值增加時將使單位時間成本E(TC)減少，樣本數(shù)n增加，抽樣間隔h增加Δ控制圖界限寬度k增加；

(7)當(dāng)dv值增加時將使單位時間成本E(TC)增加，樣本數(shù)n增加，抽樣間隔h減少控制圖界限寬度k減少；

(8)當(dāng)Cpm值增加時將使單位時間成本E(TC)增加，抽樣間隔h增加，控制圖界限寬度k減少；

(9)當(dāng)r值增加時將使單位時間成本E(TC)增加，抽樣間隔h增加，控制圖界限寬度k減少。

4 結(jié)論