軸承滾子尺寸誤差與徑向跳動(dòng)的Copula建模與分析

魏建波，薛玉君,,，余永健，李濟(jì)順，龐碧濤

(1. 河南科技大學(xué) a.機(jī)電工程學(xué)院；b.河南省機(jī)械設(shè)計(jì)及傳動(dòng)系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 洛陽(yáng) 471003；2. 航空精密軸承國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 洛陽(yáng) 471039)

0 引言

滾動(dòng)軸承作為機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)中的一種重要基礎(chǔ)零部件，其旋轉(zhuǎn)精度是影響整個(gè)軸系運(yùn)轉(zhuǎn)的重要因素。軸承零件的加工精度是影響滾動(dòng)軸承旋轉(zhuǎn)精度的重要因素，因此軸承零件的尺寸誤差對(duì)軸承的旋轉(zhuǎn)精度有著重要影響。

近年來(lái)眾多學(xué)者在軸承旋轉(zhuǎn)精度方面進(jìn)行了深入研究：宋飛和史文祥[1-2]在已知圓柱滾子軸承套圈滾道誤差的條件下，通過(guò)仿真得到其徑向跳動(dòng)變化曲線(xiàn)，并分析了外圈徑向跳動(dòng)與外圈滾道圓度誤差諧波階數(shù)、諧波系數(shù)的關(guān)系。史文祥[3]運(yùn)用編程仿真和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法預(yù)測(cè)圓柱滾子軸承的旋轉(zhuǎn)精度。在外圈僅存在圓度誤差、軸承零件為剛性等假設(shè)條件下運(yùn)用C++編程實(shí)現(xiàn)其預(yù)測(cè)仿真算法。建立了圓柱滾子軸承外圈徑向跳動(dòng)的統(tǒng)計(jì)學(xué)模型，分析了圓度誤差的分布特征與其諧波的分布特征。武全有[4]建立載荷約束下滾子直徑尺寸誤差與軸承運(yùn)動(dòng)精度關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，對(duì)圓柱滾子軸承的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行數(shù)值仿真，研究載荷約束下滾子尺寸誤差對(duì)軸承運(yùn)動(dòng)精度的影響，得到了以下結(jié)論：隨著軸承徑向載荷的增大，內(nèi)圈徑向跳動(dòng)量呈逐漸減小的趨勢(shì)，且逐漸趨于平緩；多個(gè)滾子存在誤差時(shí)，內(nèi)圈徑向跳動(dòng)量大小與滾子的排布方式有關(guān)。留劍等[5]建立角接觸球軸承旋轉(zhuǎn)精度的五自由度擬靜力學(xué)模型，分析了軸承元件接觸面波紋度對(duì)球軸承運(yùn)動(dòng)精度的影響規(guī)律。吳柏華等[6]和李傳順等[7]從深溝球軸承內(nèi)部幾何關(guān)系入手，考慮了滾動(dòng)體的直徑誤差、內(nèi)外圈滾道的圓度誤差等，著重分析了滾動(dòng)體的直徑誤差以及內(nèi)外圈滾道圓度誤差對(duì)深溝球軸承非重復(fù)性跳動(dòng)的影響規(guī)律。宋飛[8]和王寶坤[9]在考慮軸承內(nèi)圈轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，討論了滾子直徑誤差對(duì)軸承徑向跳動(dòng)的影響。另外，李傳順等[10]研究了多方面因素對(duì)深溝球軸承旋轉(zhuǎn)精度的影響。武全有等[11-12]根據(jù)軸承元件間的幾何運(yùn)動(dòng)關(guān)系及載荷接觸變形關(guān)系，建立了載荷和軸承元件幾何尺寸誤差共同作用下軸承的回轉(zhuǎn)精度幾何模型，分析了在載荷和幾何約束共同作用下軸承運(yùn)動(dòng)精度的變化規(guī)律。紀(jì)鵬[13]對(duì)在載荷條件下滾子直徑誤差對(duì)軸承性能的影響進(jìn)行了分析。馬方波[14]根據(jù)Houpert推導(dǎo)的計(jì)算公式，建立了滾子、滾道點(diǎn)接觸法向載荷和軸心軌跡的計(jì)算模型，理論驗(yàn)證了單個(gè)滾子存在直徑誤差與多個(gè)滾子存在直徑誤差對(duì)球面滾子軸心軌跡的影響。崔伶俐[15]等對(duì)滾動(dòng)軸承外圈故障的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了定量地分析，建立了滾動(dòng)軸承非線(xiàn)性振動(dòng)的故障性評(píng)估模型，給出了振動(dòng)響應(yīng)與誤差尺寸的對(duì)應(yīng)關(guān)系，獲取了不同故障級(jí)別下的響應(yīng)特征。Guanci Chen等[16-17]將圓柱滾子軸承作為研究對(duì)象，考慮了滾動(dòng)體直徑對(duì)軸承載荷分布的影響，并對(duì)軸承滾道圓度和滾動(dòng)體大小對(duì)軸承運(yùn)行情況進(jìn)行研究。Copula函數(shù)能夠有效地描述特征變量間的相互關(guān)系，因此被廣泛應(yīng)用于水文、金融等各項(xiàng)領(lǐng)域中。但是，目前大多數(shù)針對(duì)滾子尺寸誤差與徑向跳動(dòng)的相關(guān)結(jié)構(gòu)描述的研究中，利用Copula函數(shù)作為研究模型，還少見(jiàn)報(bào)道。

為此，本文以圓柱滾子軸承為研究對(duì)象，針對(duì)滾子尺寸誤差及軸承徑跳動(dòng)的相關(guān)性分析問(wèn)題，提出了建立軸承滾子尺寸誤差和軸承徑向跳動(dòng)二維Copula函數(shù)模型的方法及模型合理性的驗(yàn)證方法?；诮⒌腃opula函數(shù)模型對(duì)兩者的相關(guān)性進(jìn)行了分析。為系統(tǒng)分析滾子尺寸誤差與軸承徑向跳動(dòng)的相關(guān)性提供了有效手段。

1 特征變量的統(tǒng)計(jì)分析

1.1 特征變量的獲取

在本文中，以圓柱滾子軸承的滾子直徑尺寸誤差和軸承的徑向跳動(dòng)為特征變量。由大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析得到滾子尺寸誤差的分布符合正態(tài)分布，故可給定滾子尺寸誤差的特征參數(shù)由正態(tài)隨機(jī)數(shù)生成滾子尺寸誤差數(shù)據(jù)。根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)：大于30個(gè)數(shù)據(jù)樣本即具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，所以本文在0.001～0.1mm之間產(chǎn)生兩組長(zhǎng)度為40的正態(tài)隨機(jī)數(shù)作為滾子尺寸誤差數(shù)據(jù)并分別標(biāo)定為1號(hào)、2號(hào)滾子。以滾子直徑尺寸誤差作為輸入變量，代入軸承徑向跳動(dòng)的計(jì)算方法，獲得每種滾子尺寸誤差組合下的軸承徑向跳動(dòng)數(shù)據(jù)。各特征變量的特征參數(shù)如表1所示。

表1 特征變量的邊緣分布參數(shù)

1.2 特征變量的邊緣分布函數(shù)與檢驗(yàn)

要建立以軸承滾子尺寸誤差和軸承徑向跳動(dòng)為特征變量的二維Copula聯(lián)合分布函數(shù)，首先要確定特征變量各自的邊緣分布函數(shù)。根據(jù)上文可知滾子的尺寸誤差是正態(tài)隨機(jī)數(shù)，而其對(duì)應(yīng)的軸承徑向跳動(dòng)的分布還不確定，在此假定軸承徑向跳動(dòng)也是符合正態(tài)分布的，然后運(yùn)用Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)法(以下簡(jiǎn)稱(chēng)K-S檢驗(yàn)法)來(lái)驗(yàn)證假設(shè)分布的合理性。K-S檢驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

表2 Kolmogorov-Smirnov單樣本檢驗(yàn)中D的值

Kolmogorov-Smirnov單樣本檢驗(yàn)中D的判斷依據(jù)是當(dāng)D的值大于D(n，α)，則拒絕原假設(shè)，反之則接受。在置信水平為α=0.05時(shí)，三個(gè)特征變量的D值均小于D(40,0.05)=0.215[18]。且伴隨概率P也均大于0.05，所以不能拒絕原假設(shè)，故三個(gè)特征變量的數(shù)據(jù)均符合正態(tài)分布。

根據(jù)K-S檢驗(yàn)分析可知，軸承1號(hào)、2號(hào)滾子的直徑尺寸誤差和軸承徑向跳動(dòng)的數(shù)據(jù)分布是符合正態(tài)分布的。

2 Copula函數(shù)參數(shù)估計(jì)與模型優(yōu)選

要選擇最合適的Copula函數(shù)，首先要確定不同Copula函數(shù)的建模參數(shù)，本文用半?yún)?shù)估計(jì)法分別估計(jì)高斯Copula、t-Copula函數(shù)、Gumbel-Copula函數(shù)、Clayton-Copula函數(shù)、Frank-Copula函數(shù)等5種Copula函數(shù)的建模參數(shù)值。

根據(jù)計(jì)算得到的Copula函數(shù)建模參數(shù)可以分別建立相應(yīng)滾子誤差和軸承徑向跳動(dòng)的函數(shù)模型。本文選擇均方根誤差法[16]分別對(duì)5種函數(shù)模型進(jìn)行擬合優(yōu)度評(píng)價(jià)。結(jié)果如表3所示。

表31號(hào)滾子直徑誤差w1與軸承徑向跳動(dòng)s各建模模型的擬合優(yōu)度評(píng)價(jià)

均方根誤差高斯Copulat-CopulaGumbelClaytonFrankRMES0.02980.02390.02340.03520.0271

表42號(hào)滾子直徑誤差w2與軸承徑向跳動(dòng)s各建模模型的擬合優(yōu)度評(píng)價(jià)

均方根誤差高斯Copulat-CopulaGumbelClaytonFrankRMES0.03220.03500.02800.04170.0321

依據(jù)Copula模型選擇方法均方根誤差法的原則，誤差值越小的模型為優(yōu)選的模型。據(jù)此擬合優(yōu)度的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，綜合上述兩個(gè)均方根誤差表3、表4的結(jié)果可知，1號(hào)和2號(hào)滾子直徑誤差與軸承徑向跳動(dòng)的Copula函數(shù)模型中都是Gumbel-Copula函數(shù)對(duì)應(yīng)的均方根誤差最小，所以選用Gumbel-Copula函數(shù)來(lái)描述特征變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)。

3 Copula函數(shù)模型建立與驗(yàn)證

3.1 二維Copula函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)模型建立

根據(jù)Sklar定理可知，要建立二維聯(lián)合Copula函數(shù)分布模型，要知道連接特征變量的連接函數(shù)和各自的邊緣分布。根據(jù)之前的分析結(jié)果可知，滾子直徑誤差和軸承徑向跳動(dòng)的連接函數(shù)為Gumbel-Copula函數(shù)，二元Gumbel-Copula函數(shù)的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)公式為：

分布函數(shù)：

(1)

式中，u(w),v(s)分別為滾子直徑尺寸誤差w與軸承徑向跳動(dòng)s的邊緣分布,θ為Gumbel-Copula函數(shù)的建模參數(shù)。

為簡(jiǎn)化方程形式，令W=(-lnu(w))θ+(-lnv(s))θ，則概率密度函數(shù)：

(2)

3.2 模型的合理性驗(yàn)證

滾子直徑誤差與軸承徑向跳動(dòng)的所建立的聯(lián)合分布模型是否合理，通過(guò)比較特征變量數(shù)據(jù)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)累積概率值和理論累積概率值的一致性來(lái)驗(yàn)證。理論累積概率值可以經(jīng)過(guò)建立的模型函數(shù)求解，經(jīng)驗(yàn)累積概率值由下式計(jì)算得到：

(3)

其中，N為隨即變量的樣本總數(shù)，nmk為樣本值(xm,yk)出現(xiàn)的頻數(shù)。

根據(jù)計(jì)算的結(jié)果繪制以理論累計(jì)概率Fthe為橫坐標(biāo)，經(jīng)驗(yàn)累積概率值Femp為縱坐標(biāo)的散點(diǎn)圖。從圖1和圖2中可以看到各個(gè)相關(guān)變量所對(duì)應(yīng)的理論值和經(jīng)驗(yàn)值基本都在一條直線(xiàn)上，并且兩者的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)R分別為0.982和0.981，說(shuō)明滾子尺寸誤差和軸承徑向跳動(dòng)的聯(lián)合分布函數(shù)模型與實(shí)際情況的擬合效果良好。

圖1 1號(hào)滾子尺寸誤差下Copula函數(shù)模型驗(yàn)證

圖2 2號(hào)滾子尺寸誤差下Copula函數(shù)模型驗(yàn)證

上述情況已經(jīng)討論了兩個(gè)相鄰滾子存在尺寸誤差時(shí)，軸承滾子的尺寸誤差數(shù)據(jù)與軸承徑向跳動(dòng)的Copula函數(shù)建模問(wèn)題，另外兩種分布情況：①兩個(gè)存在尺寸誤差的滾子相間排布，即1號(hào)滾子尺寸誤差保持不變，3號(hào)滾子尺寸誤差和上述2號(hào)滾子尺寸誤差一致。②當(dāng)所有滾子存在相同尺寸誤差w1時(shí)。

根據(jù)上文同樣的建模步驟和方法分別求出對(duì)應(yīng)的徑向跳動(dòng)值，然后進(jìn)行Copula函數(shù)模型建立。

4 特征變量間的相關(guān)性分析

Copula函數(shù)在描述特征變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)較傳統(tǒng)的分析手段有著明顯的優(yōu)點(diǎn)，能夠輕松便捷地解決傳統(tǒng)分析方法中的遇到的難題。本節(jié)將會(huì)針對(duì)圓柱滾子軸承滾子直徑尺寸誤差和軸承徑向跳動(dòng)之間的非線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系進(jìn)行分析和討論。

相關(guān)系數(shù)是度量隨機(jī)變量之間相依性的常用指標(biāo)。分別采用Pearson線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)γn、Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρn和Kendall系數(shù)τ來(lái)表征，秩相關(guān)系數(shù)反應(yīng)的是變量間的單調(diào)相依性，其在非線(xiàn)性單調(diào)變換下保持不變，具有良好的統(tǒng)計(jì)特性。對(duì)于本文選取基于樣本數(shù)據(jù)的Kendall系數(shù)τ、基于構(gòu)建的Copula函數(shù)的Kendall系數(shù)和Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρn和來(lái)表征變量間的相關(guān)性。

表5 1,2號(hào)滾子存在誤差時(shí)特征變量間的秩相關(guān)系數(shù)τ

表6 1,3號(hào)滾子存在誤差時(shí)特征變量間的秩相關(guān)系數(shù)τ

由表1可知，兩滾子尺寸誤差的均值基本相等，方差第二個(gè)滾子較小。結(jié)合表5、表6分析可知：滾子直徑尺寸誤差與軸承徑向跳動(dòng)是顯著相關(guān)的。當(dāng)兩個(gè)存在誤差的滾子相鄰排布時(shí)，滾子的直徑尺寸誤差與軸承徑向跳動(dòng)的秩相關(guān)系數(shù)差別較大，分別為0.5117和0.6373。說(shuō)明其對(duì)軸承徑向跳動(dòng)的影響是略有不同的，方差較小的滾子誤差數(shù)據(jù)分布較為集中，其與軸承徑向跳動(dòng)相關(guān)系數(shù)較大。當(dāng)兩個(gè)存在誤差的滾子間隔一個(gè)無(wú)誤差的滾子排布時(shí)，兩個(gè)存在誤差的滾子的直徑尺寸誤差與軸承徑向跳動(dòng)的秩相關(guān)系數(shù)有微小差別，但整體上相差不大，分別為0.5774和0.5618。說(shuō)明其對(duì)軸承徑向跳動(dòng)的影響是大致相同的，兩者對(duì)軸承徑向跳動(dòng)的貢獻(xiàn)是相同的，地位是對(duì)稱(chēng)的。

所有滾子存在同一尺寸誤差時(shí)，特征變量尺寸誤差與軸承徑向跳動(dòng)的秩相關(guān)系數(shù)如表7所示。

表7 所有滾子存在相同誤差時(shí)特征變量間的秩相關(guān)系數(shù)τ

根據(jù)表7可知，當(dāng)各個(gè)滾子尺寸誤差均為w1時(shí)，軸承徑向跳動(dòng)的量值明顯減小。但滾子尺寸誤差與軸承徑向跳動(dòng)的秩相關(guān)系數(shù)為0.8700，與相鄰兩個(gè)滾子存在直徑尺寸誤差時(shí)相比，秩相關(guān)系數(shù)的值顯著增大。綜上所述可以得出：滾子尺寸誤差的一致性對(duì)軸承徑向跳動(dòng)具有顯著影響。

綜合分析誤差滾子不同排布下滾子尺寸誤差與軸承徑向跳動(dòng)的相關(guān)系數(shù)可得：滾子誤差的排布方式和尺寸誤差數(shù)據(jù)的邊緣分布數(shù)字特征是綜合影響滾子直徑尺寸誤差與軸承徑向跳動(dòng)的秩相關(guān)系數(shù)的因素。

5 結(jié)論

通過(guò)統(tǒng)計(jì)學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)及仿真和理論驗(yàn)證相結(jié)合的方法，建立了滾子尺寸誤差及軸承徑向跳動(dòng)的Copula函數(shù)模型，對(duì)圓柱滾子軸承滾子尺寸誤差及軸承徑向跳動(dòng)的相依性進(jìn)行了系統(tǒng)的分析。得出以下結(jié)論：

(1)基于本文的數(shù)據(jù)，對(duì)于圓柱滾子軸承，相鄰兩個(gè)滾子存在尺寸誤差時(shí)，經(jīng)過(guò)模型合理性驗(yàn)證得到：滾子尺寸誤差數(shù)據(jù)與軸承徑向跳動(dòng)的最優(yōu)Copula函數(shù)模型為Gumbel-Copula函數(shù)。

(2)滾子直徑尺寸誤差與軸承徑向跳動(dòng)是顯著相關(guān)的。且兩個(gè)滾子存在誤差時(shí)，滾子尺寸誤差分布方差越小即集中，滾子的直徑尺寸誤差與軸承徑向跳動(dòng)的秩相關(guān)系數(shù)越大。所有滾子存在相同誤差時(shí)，兩者的相關(guān)系數(shù)較兩個(gè)滾子存在尺寸誤差時(shí)顯著增大。綜合得出滾子誤差的排布方式和尺寸誤差數(shù)據(jù)的邊緣分布數(shù)字特征是綜合影響滾子直徑尺寸誤差與軸承徑向跳動(dòng)的秩相關(guān)系數(shù)的因素。

(3)通過(guò)對(duì)比分析不同排布方式下的模型可得：滾子誤差的不同排布方式會(huì)影響優(yōu)選的Copula函數(shù)。誤差滾子數(shù)量相同、排布方式不同時(shí)，滾子尺寸誤差與軸承徑向跳動(dòng)的優(yōu)選Copula函數(shù)相同。當(dāng)所有滾子存在相同尺寸誤差時(shí)，優(yōu)選的Copula函數(shù)為t-Copula函數(shù)。該方法能正確分析軸承徑向跳動(dòng)與滾子尺寸誤差的相關(guān)性，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。