基于小波分析的淮河干流上游年徑流量周期分析研究

沈 丹戴 歡王敬磊

（1.蚌埠市機電排灌管理站 蚌埠 233000 2.河海大學水文水資源學院 南京 210098 3.安徽淮河水資源科技有限公司 蚌埠 233000）

1 引言

淮河發(fā)源于河南省桐柏山，自西向東流經(jīng)鄂、豫、皖、蘇四省，主流在三江營入長江，全長約1000km，總落差200m。從河源到洪河口為上游，流域面積3.06萬km2，河長360km，多年平均徑流量為92.48億m3（1956～2010年平均值，下同），徑流量年內(nèi)分配不均，年際變化較大。王家壩水文站是淮河干流上游重要的控制站，其1956～2010年徑流量過程線見圖1。

河川徑流序列是一個具有多時間尺度特征的復雜過程，徑流的變化規(guī)律和豐枯變化趨勢在不同的時間尺度下是不相同的，即多時間尺度。所謂多時間尺度變化，其含義就是指研究系統(tǒng)的變化并不存在一種真正傳統(tǒng)意義上的周期性，即沒有非常明顯或者嚴格的交替循環(huán)過程，但是又存在時而以這種周期變化，時而以另一種周期變化，而且在相同的一個時段內(nèi)，研究系統(tǒng)又同時包括各種時間尺度上的周期變化的現(xiàn)象，即這種肉眼無法觀察或從直觀數(shù)據(jù)中無法得到的多時間尺度的周期性和多層次時間尺度結(jié)構(gòu)。所以在刻畫徑流序列中，水文要素的多時間尺度分析是無法避免的。而小波分析的優(yōu)勢就是在時域和頻域上均具有良好的局部化特征和多分辨功能，對于多時間尺度的徑流序列，不僅可以對其進行局部化分析，還可以分析其內(nèi)部精細的結(jié)構(gòu)特征，得到其在不同時間尺度下的周期性和演變情況。

2 小波分析

2.1 小波函數(shù)

小波函數(shù)指的是具有震蕩特性，在有限的區(qū)域內(nèi)能夠迅速衰減到0的一類函數(shù)（t）：

小波函數(shù)的類型在小波分析中有重要的指導作用，在水文時間序列中采用復值Morlet小波：

其中要求ω≥5為常數(shù)，即取ω=6。復值小波變換比實數(shù)形式的小波變換更適應水文序列。它的實部和虛部位相相差π/2，由此可以減少由于實數(shù)小波變換所造成對模的改變。

2.2 小波變換

式中：Wf（a,b）稱小波變換系數(shù)。而在實際工作中，時間序列常常是離散的，如f（kΔt）（k=1,2,…,N；Δt為取樣時間間隔），則上式的離散形式為：

從上式知，小波變換公式中同時含有參數(shù)a與b，則表明該公式會同時反映出時域參數(shù)b和對應頻域參數(shù)a的變化過程。

Wf（a,b）隨頻域a和時域b變化，就可以作出時域b為橫坐標頻域、a為縱坐標的Wf（a,b）的二維等值線圖，稱為小波變換系數(shù)等值線圖。不同時間尺度下的小波變換系數(shù)的特征值可以反映研究對象在對應的時間尺度下的變化特征：正的小波變換系數(shù)對應偏多期，負的則相反，正負小波系數(shù)的轉(zhuǎn)折零點則對應突點；小波系數(shù)模的絕對值越大，表明該時間尺度變化越顯著。通過以上研究，可以分析水文序列多時間尺度演變特性和突變特征。

2.3 小波方差

將所有與時間尺度a有關的小波系數(shù)進行積分，就可以得到其小波方差，其公式為：

在一定尺度下，小波方差Var（a）數(shù)值則表示該時間尺度周期波動的能量大小。小波方差隨時間尺度a變化的過程稱為小波方差圖。小波方差圖能夠反映出水文時間序列中所包含的不同周期波動及它們的能量大小。因此，通過小波方差圖可以簡單直觀地確定出一個水文時間序列中存在多少個周期，有幾個起主導作用的主要周期。

3 淮河干流上游年徑流序列的小波分析

用上述小波分析的方法，對延伸后標準化的年徑流量序列進行Morlet小波變換，用Matlab繪制出小波系數(shù)實部、模的等值線圖和小波方差圖。

圖1 王家壩1956～2010年徑流量過程線圖

圖2 王家壩站1956～2010年徑流量序列Morlet小波變換的模時頻分布圖

圖3 王家壩站1956～2010年徑流量序列小波變化實部等值線圖

圖4 王家壩站1956～2010年徑流量序列小波系數(shù)方差圖

圖5 王家壩站年徑流變化11a、25a、6a、3a時間尺度的小波系數(shù)實部過程線圖

3.1 年徑流序列小波變化模時頻變化分析

從圖2中可以看出，研究地區(qū)不同時段各時間尺度的震動能量密度時頻強弱分布。在25a左右的時間尺度上其能量密度比較強，在時域上分布也比較明顯，主要發(fā)生在1985～2010年之間，震動中心在2005年左右；在10～15a的時間尺度上，出現(xiàn)了兩個震動中心，一個是全局最強震動能量密度，發(fā)生在1956～1970年，震動中心在1956年，說明該時間尺度上變化周期最明顯。另一個在發(fā)生在1983～1996年，震動中心在1990年左右；在5a左右的時間尺度上，也出現(xiàn)震動能量密度較強的中心，發(fā)生在1957年左右；在1～5a的時間尺度上，震動能量較強信號發(fā)生在1998～2006年，震動中心發(fā)生在2003年左右。

3.2 年徑流序列小波變化實部時頻變化分析

圖3是研究區(qū)域1956～2010年徑流量序列小波系數(shù)實部的時頻分布圖。圖中清晰地顯示了研究區(qū)域徑流量序列不同時間尺度變化、突變點分布及位相結(jié)構(gòu)。在時間尺度a相同的情況下，正的小波系數(shù)與豐水期相對應；負的小波系數(shù)與枯水期相對應；小波系數(shù)為零與突變點相對應。可以看出該年徑流量序列存在著 0～3a、4～8a、9～15a、16～32a左右的四類時間尺度的變化規(guī)律。其中9～15a和16～32a左右的豐枯交替變化最為明顯。對于16～32a的時間尺度來說，年徑流經(jīng)歷了枯→豐→枯→豐→枯→豐→枯7個交替變化。具體枯水年時段為：1956～1965年、1975～1982年、1991～1999年、2007～2010年，且2010年其實部等值線未閉合，說明在2010年以后可能還會存在一段枯水期。豐水年時段為：1966～1974年、1983～1990年、2000～2006年。

而對于9～15a的時間尺度來說其年徑流序列經(jīng)歷了豐→枯→豐→枯→豐→枯→豐→枯→豐→枯→豐→枯→豐→枯→豐→枯16個交替變化。枯水年時段具體表現(xiàn)為：1958～1962年、1967～1968年、1972～1974年、1979～1981年、1986～1989年、1994～1996年、2001～2004年、2008～2010 年。豐水年時段為：1956～1957 年、1963～1966年、1669～1971年、1975～1978 年、1982～1985年、1990～1993年、1997～2000年、2005～2007年。

對于4～8a的時間尺度，周期變化顯示較弱，豐枯周期變化竟有13次之多，位相結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定。由此得知該時間尺度下年徑流變化有明顯的突變特征。同時，對于3a左右的時間尺度，豐枯周期變化更是達到了14次，可知在3a左右的時間尺度下，其年徑流突變性較強，周期性較弱。

3.3 年徑流序列小波變化方差分析

圖4為王家壩站1956～2010年徑流量序列小波系數(shù)方差圖。小波方差圖能夠反映年徑流時間序列的波動幅度隨時間尺度a的分布情況，可以用來辨識時間序列中各種尺度的擾動強弱和周期變化特征。由此可以確定年徑流變化的主要周期。由圖可知：小波方差出現(xiàn)4個較為明顯的峰值，依次為3a、6a、11a和25a的時間尺度。其中，11a的時間尺度對應著最大峰值，所以11a左右的時間尺度對應的周期變化最強烈，是其年徑流變化的第一主周期。25a左右的時間尺度對應著第二峰值，是其年徑流變化的第二主周期；6a左右的時間尺度對應著第三峰值，是其年徑流變化的第三主周期；而3a左右的時間尺度對應著最小的峰值，是其年徑流變化的第四主周期，相對于前三個主周期第四主周期的周期變化較弱。

繪制第一、第二、第三和第四主周期所對應的小波變換系數(shù)實部過程線，如圖5所示。

將年徑流序列小波變化方差分析與年徑流序列小波變化實部時頻變化分析結(jié)合，可以看出：在王家壩站年徑流變化的四個主周期和實部分析中，四類時間尺度的變化規(guī)律相對應，并且四個主周期分別是是其時間尺度中心。

4 結(jié)論

通過Morlet小波分析法對王家壩站1956～2010年共計55年的年徑流序列進行小波變化，結(jié)果表明：王家壩站存在 0～3a、4～8a、9～15a、16～32a 左右的四類時間尺度的變化規(guī)律，其時間尺度中心分別對應為3a、6a、11a、25a。根據(jù)小波方差圖可知，11a的時間尺度為年徑流變化的第一主周期，25年的時間尺度為其第二主周期，6a的時間尺度為其第三主周期，3a的時間尺度為其第四主周期