基于GPS偽距觀測值的三種隨機(jī)模型比較

何維卿，劉 昶

（1. 安徽省地質(zhì)礦產(chǎn)勘查局327地質(zhì)隊(duì)，安徽·合肥 230011；2. 合肥市測繪設(shè)計(jì)研究院，安徽·合肥 230000）

基于偽距和載波相位觀測值所確定的函數(shù)模型確定后，通過不同方法確定隨機(jī)模型可以提高待定點(diǎn)的定位精度。其中具有代表性的模型有等權(quán)模型、基于高度角的隨機(jī)模型和基于信噪比的隨機(jī)模型[1-3]。但是基于偽距觀測值的隨機(jī)模型研究還沒有涉及[4]。本文基于衛(wèi)星高度角、信噪比與GPS觀測值質(zhì)量之間的關(guān)系，具體探討關(guān)于利用衛(wèi)星高度角和信噪比信息所建立隨機(jī)模型，并以偽距觀測條件下的單點(diǎn)絕對定位與相對定位模式來探討基于衛(wèi)星高度角的隨機(jī)模型與基于信噪比的隨機(jī)模型。針對在GPS不同定位模式下所確定的隨機(jī)模型對點(diǎn)位精度的影響，采用了從理論研究和具體案例數(shù)據(jù)處理的試驗(yàn)過程。

1 基于偽距觀測值的三種隨機(jī)模型

1.1 等權(quán)隨機(jī)模型

等權(quán)隨機(jī)模型將所有觀測量的精度視為相同，即其先驗(yàn)中誤差均相同[1]。由于假設(shè)了每個(gè)測站對于每顆衛(wèi)星的觀測值是獨(dú)立的、等精度的觀測量。設(shè)偽距觀測量為ρ′，其單位權(quán)方差為σ2，E為單位矩陣，則非差單點(diǎn)絕對定位觀測值的方差協(xié)方差陣為Dρ′=σ2·E，為了計(jì)算簡便，我們假設(shè)單位權(quán)方差為1，則可知：

在偽距觀測條件下相對定位一般采用的是雙差觀測值模型，基于偽距的觀測方程為：

則單差觀測方程為：

簡化計(jì)算方程右式后兩項(xiàng)在偽距觀測條件下可忽略不計(jì)，所以令單差觀測方程系數(shù)為R：

則其單差觀測值的方差—協(xié)方差陣為：

同理由雙差觀測方程：

令：

設(shè)J為雙差觀測值系數(shù)：

如果一個(gè)歷元內(nèi)，兩個(gè)測站同時(shí)觀測了n顆衛(wèi)星時(shí)，雙差觀測量的方差—協(xié)方差陣記為：

雙差觀測權(quán)陣表示為：

1.2 基于高度角隨機(jī)模型

即該模型假設(shè)觀測值精度與衛(wèi)星高度角之間的相關(guān)關(guān)系可用某種函數(shù)表示?，F(xiàn)在比較成熟的基于高度角隨機(jī)模型有：指數(shù)函數(shù)模型和三角函數(shù)模型等[4]。其中的正弦函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)模型是最近似觀測值精度的兩種隨機(jī)模型。本文采用正弦函數(shù)與指數(shù)函數(shù)聯(lián)合確定隨機(jī)模型：

（1）在單點(diǎn)非差定位的條件下：設(shè)在測站A觀測衛(wèi)星K的高度角記為 ，根據(jù)該觀測值方差可表示為：

σ為觀測值在歷元某t時(shí)的觀測值的中誤差，σ0為觀測值在接收機(jī)天頂方向的中誤差，兩者的單位均記為米。a為放大因子，εs(t)表示衛(wèi)星s在歷元t時(shí)刻的高度角大小，ε0為參考的高度角，兩者的單位記為度。

單個(gè)測站的衛(wèi)星觀測值的方差陣表示為：

此式即為單點(diǎn)絕對定位中不同衛(wèi)星的觀測值方差陣，所以權(quán)陣表示為：

（2）雙差相對定位的模式下：兩個(gè)測站A、B衛(wèi)星觀測量的協(xié)方差陣為Dρ'，由前面可知單差虛擬觀測值的協(xié)方差陣： ，則單差觀測量的方差陣表示為：

同理雙差虛擬觀測值方差陣： ，則雙差觀測量協(xié)方差陣可表示為：

則虛擬觀測值權(quán)矩陣P為：

1.3 基于信噪比的隨機(jī)模型

信噪比(SNR)指的是接收機(jī)接收到衛(wèi)星的載波信號強(qiáng)度與信號噪聲強(qiáng)度的比值，常用載噪功率密度比值(C/N0)表示，Ward利用這一性質(zhì)[1]，建立了利用信噪比計(jì)算得到觀測值方差的函數(shù)模型：

式中：Bn表示載波相位跟蹤環(huán)的寬度值，T表示一體化檢波的時(shí)間，其大小約為導(dǎo)航數(shù)據(jù)的位長，因?yàn)橛^測值噪聲的能量量級非常小，可以對其進(jìn)一步簡化得到：

此即為SIGMA-ε模型[2,4]，Cn值的大小主要取決于接收機(jī)的跟蹤通道得到的相位跟蹤環(huán)寬度值大小，這里主要采用F.K.Brunner等通過大量試驗(yàn)求得的相對于L1載波的C1值大小為1.61×104mm2來進(jìn)行下面的試驗(yàn)分析。由誤差傳播定律得到某一歷元雙差偽距觀測值的方差—協(xié)方差關(guān)系式，其觀測值權(quán)陣由 模型確定。

在單點(diǎn)非差絕對定位的條件下單個(gè)測站的衛(wèi)星觀測值的方差陣表示為：

2 算例與分析

2.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集

選取兩個(gè)測站點(diǎn)A和B架設(shè)儀器進(jìn)行觀測，其中測站A和B的近似坐標(biāo)如表1所示，測站點(diǎn)A使用的是LEICA GRX1200GGPRO 6.00接收機(jī)，其天線型號為LEIAX1202G，數(shù)據(jù)采樣間隔為1S。測站點(diǎn)B采用的是LEICA GRX1200GGPRO 6.00 接收機(jī)，其天線型號為LEIAX1202G，采樣間隔為1S，測站間相距約為2km。

為比較三種隨機(jī)模型對GPS基線向量解算精度的影響大小，在某地區(qū)內(nèi)選取一條基線，所測得坐標(biāo)在WGS-84坐標(biāo)系下。其中，點(diǎn)1處架設(shè)的是TRIMBLE NETRS，接收機(jī)天線型號為TRM41249.00，采樣間隔為1S，共觀測了150分鐘；點(diǎn)2與點(diǎn)1為同步觀測，其觀測時(shí)段相同，點(diǎn)2處的接收機(jī)為TRIMBLE NETRS，接收機(jī)天線型號為TRM41249.00，采樣間隔同樣為1S，具體數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 測站近似坐標(biāo)Table 1 The approximate coordinates

2.2 數(shù)據(jù)處理結(jié)果

（1）單點(diǎn)定位模式下

由單點(diǎn)定位模式下的三種模型比較分析（表2、圖1～圖3），可以得出：基于高度角的隨機(jī)模型和基于信噪比的隨機(jī)模型比等權(quán)隨機(jī)模型定位精度高。所以，在非差單點(diǎn)模式下，可選擇高度角隨機(jī)模型和信噪比隨機(jī)模型。

在非差單點(diǎn)定位條件下采用高度角隨機(jī)模型和信噪比隨機(jī)模型并不是對所有的坐標(biāo)分量精度都能提高，這就需要根據(jù)具體情況選擇適合的隨機(jī)模型進(jìn)行定位。

表2 測站中誤差Table 2 The middle error

圖1 測站A等權(quán)模型殘差序列Fig.1 The residual error sequence of equal weight model of station A

圖2 測站A高度角模型殘差序列Fig.2 The residual error sequence of altitude angle model

圖3 測站A信噪比模型殘差序列Fig.3 The residual error sequence of signal-to-noise ratio model at station A

（2）相對定位模式下

由圖表分析可得（表3、圖4），在偽距相對定位條件下，高度角隨機(jī)模型和信噪比隨機(jī)模型對長基線有略微，這種影響可以忽略不計(jì)，而等權(quán)模型影響較大，對于短基線的解算，通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果可看出基本上不存在影響。

表3 基線1-2中誤差Table 3 The error of base line 1-2

圖4 不同模型基線Z方向殘差Fig.4 The residual in baseline Z of different models

3 結(jié)語

本文以基于偽距觀測值的觀測方程研究比較了等權(quán)隨機(jī)模型、基于高度角的隨機(jī)模型和基于信噪比的隨機(jī)模型。

基于偽距的非差單點(diǎn)定位數(shù)據(jù)處理中，基于高度角的隨機(jī)模型和基于信噪比的隨機(jī)模型比等權(quán)隨機(jī)模型定位精度高；在非差單點(diǎn)定位條件下采用高度角隨機(jī)模型和信噪比隨機(jī)模型并不是對所有的坐標(biāo)分量精度都能提高；在偽距相對定位條件下，高度角隨機(jī)模型和信噪比隨機(jī)模型對長基線有略微，這種影響可以忽略不計(jì)，對于短基線的解算，通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果可看出基本上不存在影響，實(shí)驗(yàn)證明了采用雙差相對定位等權(quán)模型可以完全滿足定位精度的需要。

今后研究實(shí)驗(yàn)工作，將增加更多實(shí)驗(yàn)組進(jìn)行實(shí)驗(yàn)論證和比較。