層間位移約束下高層框架-支撐結(jié)構(gòu)的單步優(yōu)化法

孫飛飛， 馬志東， 賈瑞梓

(1.同濟大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點實驗室，上海 200092；2.同濟大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092)

為保證高層建筑結(jié)構(gòu)具有必要的剛度，現(xiàn)行國家標準《高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》[1]和《高層民用建筑鋼結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》[2]均對高層建筑層間位移角限值做出規(guī)定.合理地控制結(jié)構(gòu)側(cè)移以保證結(jié)構(gòu)的安全性和正常使用，也是結(jié)構(gòu)設(shè)計達到經(jīng)濟、合理的重要因素[3].

為了解決層間位移約束下高層建筑結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問題，多種基于數(shù)學(xué)優(yōu)化算法的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法被提出.Chan等[4-5]將準則法應(yīng)用于水平側(cè)移約束下鋼和混凝土框架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計中，通過一系列簡化假定，利用虛功原理推導(dǎo)準則法迭代公式，并將該方法用于香港某高層建筑結(jié)構(gòu)的初步設(shè)計中，取得良好效果.李志強[6]根據(jù)最優(yōu)化準則Kuhn-Tucker條件推導(dǎo)出型鋼混凝土結(jié)構(gòu)框架柱混凝土截面尺寸的迭代公式，將其與層次分析遺傳算法相結(jié)合，建立了層次分析優(yōu)化準則遺傳算法(OC-GA).白代春[7]采用離散變量分步優(yōu)化的規(guī)劃法對鋼筋混凝土框架進行優(yōu)化，并設(shè)計了一個平面框架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計程序，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)自動分析及優(yōu)化.此外，SAP2000有限元分析軟件具有鋼結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的輔助功能.實際工程體量大、優(yōu)化問題復(fù)雜，而工程師往往需要手動對結(jié)構(gòu)進行調(diào)整，上述各方法尚不能提供一個快捷的調(diào)整建議，實用的成熟度還不夠，因此本文旨在提出一種單步、高效的優(yōu)化方法.

本文首先考察高層建筑規(guī)則結(jié)構(gòu)的變形機制，根據(jù)結(jié)構(gòu)變形規(guī)律將層間位移約束下的高層建筑規(guī)則結(jié)構(gòu)多約束優(yōu)化問題等效轉(zhuǎn)化為單約束優(yōu)化問題.在此基礎(chǔ)上，提出基于結(jié)構(gòu)整體轉(zhuǎn)動比虛應(yīng)變能的單步優(yōu)化法，擬通過簡單的優(yōu)化過程為工程師提供高效實用的設(shè)計建議.

1 高層建筑規(guī)則結(jié)構(gòu)的層間位移機制

為了簡化高層建筑規(guī)則結(jié)構(gòu)層間位移約束下的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，首先需要理解層間位移約束下高層建筑規(guī)則結(jié)構(gòu)的變形機制.

1.1 算例的結(jié)構(gòu)信息

算例為圖1中60層7跨的高層框架-支撐結(jié)構(gòu).結(jié)構(gòu)劃分為240個構(gòu)件組，每組構(gòu)件的截面相同，分組方式為：每兩層相對稱的柱為一組，共120組；每一層的支撐為一組，共60組；每一層的梁為一組，共60組.不考慮豎向荷載作用，風(fēng)荷載簡化為分布荷載施加于樓層.位移約束條件為層間位移角，限值為1/400.

圖1 框架支撐結(jié)構(gòu)算例Fig.1 Example of braced-frame structure

1.2 各樓層對目標樓層層間位移角的貢獻規(guī)律

取整十層樓層為例，由虛功原理計算各樓層對層間位移角的貢獻，如下所示：

(1)

式中：θt為目標層的層間位移角(t=10,20,…,60)；θt,j為j層對t層層間位移角的貢獻(j=1,2,…,60).

將各樓層對整十層層間位移角的貢獻分離開，如圖2所示.

由圖2可知，除接近頂部的樓層，各樓層對本層層間位移角的貢獻最為突出，對上下相鄰約10層范圍內(nèi)的貢獻也較大并向外遞減.這是由樓層的局部變形協(xié)調(diào)和傳力關(guān)系所致，這種局部效應(yīng)類似于彈性力學(xué)中的圣維南原理，本文稱這段區(qū)域為圣維南區(qū)域.10層以外，上部貢獻值較小且平緩，下部貢獻曲線基本一致，理解為由下部樓層剛體轉(zhuǎn)動所致.因此，60層的層間位移角分離曲線中，除上部10層的貢獻由受力和變形協(xié)調(diào)決定外，下部50層的貢獻值即為樓層整體轉(zhuǎn)動量.

圖2 第j層對第t層層間位移角的貢獻Fig.2 Contribution of jth floor to the inter- story drift of tth floor

1.3 某一樓層對各層層間位移角的貢獻規(guī)律

相似地，可以計算出某一樓層對結(jié)構(gòu)各層層間位移角的貢獻.圖3為整十層對結(jié)構(gòu)各層層間位移角貢獻曲線.由圖3可知，各樓層對本層層間位移角的貢獻最大，對上下相鄰約10層范圍內(nèi)樓層的層間位移角貢獻也較大且向外遞減.這同樣是由于局部變形協(xié)調(diào)和傳力關(guān)系所致.上下10層范圍以外，該樓層對下部的貢獻非常小，對上部的貢獻趨于一致.

圖3 整十層對層間位移角的貢獻Fig.3 Contribution of each 10th floor to inter-story drift

1.4 整體轉(zhuǎn)動對層間位移角的貢獻規(guī)律

將層間位移角θt分離成由目標樓層剛體轉(zhuǎn)動引起的層間位移角θ1、本層受力層間位移角θ2、由剪力滯后引起的附加層間位移角θ33個部分之和，如下所示：

θt=θ1+θ2+θ3

(2)

圖4為結(jié)構(gòu)的層間位移角分離曲線.由圖4可見：在結(jié)構(gòu)底部本層受力和局部變形協(xié)調(diào)的貢獻很大，整體轉(zhuǎn)動的貢獻不明顯；在結(jié)構(gòu)中上部，本層受力和局部變形協(xié)調(diào)的貢獻較小并向上逐漸減小，結(jié)構(gòu)的整體轉(zhuǎn)動在層間位移角中占主要部分.

圖4 層間位移角分離曲線Fig.4 Separation curve of inter-story drift

1.5 不同構(gòu)件對結(jié)構(gòu)頂部轉(zhuǎn)動的貢獻規(guī)律

將構(gòu)件對樓層整體轉(zhuǎn)動的貢獻分離，可以明確各類構(gòu)件的效率，確定層間位移約束下結(jié)構(gòu)優(yōu)化的主動變量.各類構(gòu)件對樓層整體轉(zhuǎn)動的貢獻可以通過在結(jié)構(gòu)頂部加單位彎矩虛荷載計算得到.分別計算柱、梁、支撐對樓層整體轉(zhuǎn)動的貢獻，如圖5所示.

圖5 層間位移角按構(gòu)件分離曲線Fig.5 Separation curve of inter-story drift by elements

由圖5可見，樓層整體轉(zhuǎn)動以柱的貢獻為主，梁和支撐的貢獻非常小.

1.6 高層建筑規(guī)則結(jié)構(gòu)的變形機制

綜上分析，在高層建筑規(guī)則結(jié)構(gòu)下部，本層的受力位移對層間位移角的貢獻最為突出.最大層間位移角往往出現(xiàn)在結(jié)構(gòu)的中上部，在這些部位，層間位移角以結(jié)構(gòu)的整體轉(zhuǎn)動為主.

2 單步優(yōu)化法的建立

基于第1.6節(jié)結(jié)構(gòu)層間位移機制，將層間位移約束下的高層建筑規(guī)則結(jié)構(gòu)優(yōu)化的多約束問題轉(zhuǎn)化為單約束問題，在此基礎(chǔ)上利用虛功準則法，建立結(jié)構(gòu)單步優(yōu)化的基本方法.

2.1 層間位移約束下結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題

典型的層間位移約束下高層建筑規(guī)則結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題包括優(yōu)化目標和約束條件下的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，如下所示：

(3)

2.2 基本假定

假定1忽略構(gòu)件的剪切變形對位移的貢獻量.由虛功原理可知，結(jié)構(gòu)位移為各構(gòu)件對位移的貢獻量之和.構(gòu)件對位移的貢獻主要由彎曲和軸向分量組成，計算中忽略構(gòu)件的剪切貢獻分量，如下所示：

(4)

(5)

式中：δi為構(gòu)件i對位移的貢獻；fi、mi分別為構(gòu)件i在虛荷載下的軸力、彎矩；Fi、Mi分別為構(gòu)件i在實際荷載下的軸力、彎矩；Ei為構(gòu)件i的材料彈性模量；Ii為構(gòu)件i的慣性矩.

假定2內(nèi)力暫時不變.由式(5)可知，構(gòu)件的位移貢獻量與構(gòu)件面積、慣性矩成反比.假設(shè)構(gòu)件截面變化前后內(nèi)力不變，則構(gòu)件截面改變后，新的位移貢獻量與構(gòu)件面積、慣性矩的變化率成比例，如下所示：

(6)

2.3 虛功準則法

(7)

(8)

優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化為與設(shè)計變量之間的直接關(guān)系，如下所示：

(9)

(10)

根據(jù)式(10)，對于主動變量，可得

(11)

式中：分子表示構(gòu)件k對層間位移角θ的貢獻量，也是構(gòu)件k的虛應(yīng)變能；分母中LkAk表示構(gòu)件k的體積；γk表示構(gòu)件k的比虛應(yīng)變能.因此，式(11)可以理解為最輕結(jié)構(gòu)中，相應(yīng)于主動變量的構(gòu)件中單位體積的虛功即構(gòu)件的比虛應(yīng)變能γk相等.

2.4 單步優(yōu)化法的提出

基于層間位移約束的單步優(yōu)化法的提出是為了給工程師提供快速實用的優(yōu)化建議，但假如簡單地以結(jié)構(gòu)最大層間位移角作為優(yōu)化的主要約束進行單步優(yōu)化，那么僅本層及相鄰層構(gòu)件的尺寸將被加強，得到結(jié)構(gòu)局部過剛的不合理結(jié)果.因此，單步優(yōu)化法的有效約束與比虛應(yīng)變能的選擇將對優(yōu)化結(jié)果的合理性產(chǎn)生重要影響.

2.4.1約束條件的轉(zhuǎn)換

為了避免結(jié)構(gòu)局部過剛的問題，本節(jié)提出層間位移約束下結(jié)構(gòu)優(yōu)化的設(shè)計思想：如果結(jié)構(gòu)整體轉(zhuǎn)動的比虛應(yīng)變能均勻并且最大層間位移角滿足約束條件，相應(yīng)結(jié)構(gòu)對于層間位移約束問題是一個較優(yōu)解.由第1節(jié)可知，將層間位移約束下高層建筑規(guī)則結(jié)構(gòu)的優(yōu)化轉(zhuǎn)化為針對結(jié)構(gòu)整體轉(zhuǎn)動的優(yōu)化，即通過結(jié)構(gòu)頂部整體轉(zhuǎn)動的減小來滿足結(jié)構(gòu)所需的位移角減小量，從而排除局部虛功突出的影響，保證優(yōu)化結(jié)果的合理性.

2.4.2單步優(yōu)化問題

基于以上分析，優(yōu)化問題即可轉(zhuǎn)化為可執(zhí)行的形式，如下所示：

(12)

式中：θrtop為結(jié)構(gòu)頂部的整體轉(zhuǎn)動量; [θrtop]為結(jié)構(gòu)頂部的整體轉(zhuǎn)動量限值.

在將層間位移約束下高層建筑規(guī)則結(jié)構(gòu)的優(yōu)化約束條件進行轉(zhuǎn)換之后，就需要解決[θrtop]的取值問題，以確定結(jié)構(gòu)所需的位移角減小量.

為此，考察結(jié)構(gòu)頂部整體轉(zhuǎn)動所需的減小量θd，其值可由結(jié)構(gòu)最大層間位移角所需的位移角減小量換算而來.具體來說，如圖6所示，假設(shè)結(jié)構(gòu)的最大層間位移角θmax出現(xiàn)在第n層，第n層所需的位移角減小量為(θmax-[θ])，根據(jù)下式換算出結(jié)構(gòu)頂部整體轉(zhuǎn)動所需的位移角減小量：

圖6 結(jié)構(gòu)整體轉(zhuǎn)動曲線Fig.6 Rigid body rotation curve of the structure

(13)

式中：θrmax,n為最大層間位移角樓層處結(jié)構(gòu)整體轉(zhuǎn)動量.θd確定，[θrtop]也就相應(yīng)確定，如下所示：

[θrtop]=θrtop-θd

(14)

由于僅考慮結(jié)構(gòu)的整體轉(zhuǎn)動減小量，故θd也是結(jié)構(gòu)頂部層間位移角的減少量，可得

[θrtop]=θtop-θd

(15)

式中：θtop為初始結(jié)構(gòu)頂層層間位移角.

2.4.3單步優(yōu)化過程

當優(yōu)化問題由式(9)轉(zhuǎn)化為式(12)之后，同理通過引入庫-塔克法則，優(yōu)化準則即轉(zhuǎn)換為結(jié)構(gòu)整體轉(zhuǎn)動比虛應(yīng)變能均勻.通過構(gòu)件初始比虛應(yīng)變能γi與目標比虛應(yīng)變能γg關(guān)系，確定與主動變量對應(yīng)的構(gòu)件修正系數(shù)βi，如下所示：

( 16 )

βi一旦確定，初始結(jié)構(gòu)的構(gòu)件尺寸需要被加強的程度也就確定，以此實現(xiàn)單步優(yōu)化，使結(jié)構(gòu)以較高的效率滿足層間位移約束條件.具體實現(xiàn)過程如下所示：

(1)確定初始結(jié)構(gòu)，構(gòu)件尺寸取滿足強度要求的最小截面.

(2)在結(jié)構(gòu)頂部加單位彎矩虛荷載.

(3)提取初始結(jié)構(gòu)的層間位移角曲線和整體轉(zhuǎn)動曲線，計算構(gòu)件比虛應(yīng)變能γi、結(jié)構(gòu)平均比虛應(yīng)變能γave.

(4)計算結(jié)構(gòu)頂部轉(zhuǎn)角的目標位移角減小量θd和結(jié)構(gòu)放大系數(shù)α(α的推導(dǎo)過程見第3.2節(jié))，確定結(jié)構(gòu)的目標比虛應(yīng)變能γg.

(6)根據(jù)構(gòu)件修正后面積，在構(gòu)件庫中選擇新截面.

(7)重新運行結(jié)構(gòu)分析，檢查強度和位移約束.

3 單步優(yōu)化法的關(guān)鍵算法

3.1 構(gòu)件修正系數(shù)βi的計算方法

構(gòu)件修正系數(shù)βi將結(jié)構(gòu)調(diào)整為比虛應(yīng)變能均勻的目標結(jié)構(gòu)，本節(jié)解決利用構(gòu)件比虛應(yīng)變能γi和目標比虛應(yīng)變能γg確定構(gòu)件修正系數(shù)βi的問題，并推導(dǎo)βi的計算公式.

由第2.2節(jié)提出的基本假定2，構(gòu)件i修正后的位移貢獻如下所示：

(17)

對于型鋼構(gòu)件，截面慣性矩I與面積A的關(guān)系由精確計算公式表示過于復(fù)雜.結(jié)構(gòu)設(shè)計中同一類構(gòu)件截面相似，可以采用線性回歸的方法確定I與A的簡單近似關(guān)系，以便簡化計算.美國鋼結(jié)構(gòu)規(guī)范(AISC)提供的型鋼截面中，W14系列(W14×22～W14×730)、W24系列(W24×55～W24×492)型鋼的慣性矩I與面積A的關(guān)系如圖7a所示，可見I與A分別成近似線性關(guān)系.圖7中，1 ft=0.305 8 m.用方程I=ηA進行擬合，W14系列擬合方程為

I=0.390 9A

(18)

W24系列擬合方程為

I=0.845 6A

(19)

a AISC型鋼截面

b GB型鋼截面圖7 AISC型鋼與GB型鋼截面I與A線性擬合Fig.7 Linear fitting of inertia and area of steel section in AISC and Chinese code

類似地，我國GB/T 11263—1998提供的型鋼中，HW系列(HW100×100～HW400×400)型鋼的慣性矩I與面積A的關(guān)系和擬合直線如圖7b所示.HW系列擬合方程為

I=1.094 0A

(20)

HN系列擬合方程為

I=0.379 4A

(21)

基于上述I與A的線性化回歸，有

(22)

(23)

修正后構(gòu)件的比虛應(yīng)變能

(24)

(25)

對于I與A成線性關(guān)系的構(gòu)件庫來說，無論構(gòu)件位移貢獻以軸向分量為主還是彎曲分量為主，修正系數(shù)βi的表達式是統(tǒng)一的.實際上，除了規(guī)格確定的型鋼構(gòu)件外，對其他自行設(shè)計的截面形式，選取構(gòu)件庫時，還可以按照I與A成線性關(guān)系的目標確定截面參數(shù)，或者對于一組構(gòu)件，通過回歸的方法建立I與A的其他關(guān)系，達到減少優(yōu)化變量、簡化計算的目的.

3.2 結(jié)構(gòu)放大系數(shù)α的計算方法

結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，相應(yīng)于主動變量的構(gòu)件根據(jù)整體轉(zhuǎn)動比虛應(yīng)變能均勻的原則被修正，使得結(jié)構(gòu)的層間位移角滿足約束限值.主動變量為初始比虛應(yīng)變能γi較大、對位移起控制作用的構(gòu)件，通過加強這些構(gòu)件以補償結(jié)構(gòu)剛度的不足.

結(jié)構(gòu)頂層初始層間位移角θtop表達式為

∑γiAiLi+∑γAL=θtop

(26)

相應(yīng)于主動變量構(gòu)件的目標比虛應(yīng)變能為γi，修正后的截面面積為βiAi，按照內(nèi)力暫時不變假定，設(shè)計后結(jié)構(gòu)位移角表達式為

(27)

式(26)減去式(27)，得

(28)

由式(28)可知，α為相應(yīng)于主動變量構(gòu)件的比虛應(yīng)變能、體積和結(jié)構(gòu)所需的位移角減小量θd的函數(shù).通過α控制結(jié)構(gòu)的放大程度，加強主動變量來補償結(jié)構(gòu)剛度不足.

4 算例分析

4.1 算例

采用單步優(yōu)化法對圖1中結(jié)構(gòu)進行層間位移約束下的優(yōu)化.樓層整體轉(zhuǎn)動以柱的貢獻為主，確定框架柱截面尺寸作為優(yōu)化設(shè)計的主動變量.滿足強度和穩(wěn)定性要求的初始結(jié)構(gòu)最大層間位移角為0.013 1，出現(xiàn)在第25層，故需對該結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化使其滿足層間位移約束.

4.2 單步優(yōu)化法的優(yōu)化結(jié)果

單步優(yōu)化法的截面結(jié)果如表1所示，位移角結(jié)果如圖8所示，最大層間位移角為0.003 81，出現(xiàn)在第26層，而25層的層間位移角為0.003 80.由優(yōu)化結(jié)果可見，最大層間位移角位置發(fā)生變化，與初始最大層間位移角的位置靠近，層間位移角最大的區(qū)域均接近位移角限值.樓層整體轉(zhuǎn)動曲線相比初始結(jié)構(gòu)更加趨于平緩，這是“結(jié)構(gòu)整體轉(zhuǎn)動的比虛應(yīng)變能均勻”的結(jié)果.

表1 構(gòu)件截面優(yōu)化結(jié)果Tab.1 Optimized cross-section of the elements

圖8 單步優(yōu)化法優(yōu)化結(jié)果Fig.8 Results of single-step optimization method

應(yīng)用實例表明,所提出的方法達到了預(yù)定的設(shè)計目標，穩(wěn)定承載力也滿足要求，結(jié)果合理，方法可行.

4.3 不同優(yōu)化方法優(yōu)化結(jié)果對比

SAP2000作為強大的結(jié)構(gòu)設(shè)計軟件，為用戶提供了以位移或者周期為目標的鋼結(jié)構(gòu)自動優(yōu)化功能.對于位移優(yōu)化，SAP2000軟件預(yù)測哪個構(gòu)件需要增加尺寸，以控制基于構(gòu)件內(nèi)單位體積能量的位移.單位體積能量更多的構(gòu)件比能量更少的構(gòu)件需要增加更大的比例尺寸.只要所考慮的強度允許，有些單位體積能量小的構(gòu)件是可以減小尺寸的[9].在SAP2000軟件“設(shè)計”菜單中，通過對“鋼框架設(shè)計”設(shè)置風(fēng)荷載工況下的側(cè)向位移目標.基于上述位移目標，SAP2000軟件可以提供對結(jié)構(gòu)的構(gòu)件截面自動校核與設(shè)計.

本文將單步優(yōu)化法的優(yōu)化結(jié)果與SAP2000軟件的優(yōu)化結(jié)果進行對比，結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果的總質(zhì)量分布如表2所示，結(jié)構(gòu)質(zhì)量分布如圖9所示.結(jié)果表明：結(jié)構(gòu)總質(zhì)量相近，質(zhì)量分布趨勢總體一致，證明了單步優(yōu)化法的有效性；相比于SAP2000軟件的優(yōu)化結(jié)果，采用單步優(yōu)化法用鋼量降低了約10%.

a 單步優(yōu)化法優(yōu)化結(jié)果b SAP2000軟件優(yōu)化結(jié)果

圖9 優(yōu)化結(jié)果質(zhì)量分布Fig.9 Mass distribution of optimized structures表2 優(yōu)化設(shè)計結(jié)果質(zhì)量對比Tab.2 Mass comparison of two optimization methods

單步優(yōu)化法與SAP2000軟件優(yōu)化后的樓層側(cè)移及層間位移角分布對比如圖10所示.雖然2種方法的結(jié)果都使層間位移角達到限值要求，2種方法優(yōu)化過程耗時也沒有顯著的區(qū)別，但是SAP2000軟件優(yōu)化結(jié)果對層間位移角限制得更嚴格，這對結(jié)構(gòu)效率以及經(jīng)濟性來說是不利的.單步優(yōu)化法優(yōu)化后，結(jié)構(gòu)的最大層間位移角更接近層間位移角限值.

5 結(jié)論

(1)通過將高層建筑規(guī)則結(jié)構(gòu)層間位移的多約束問題轉(zhuǎn)化為單約束問題實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的單步優(yōu)化.

a 樓層位移對比

b 層間位移角對比圖10 單步優(yōu)化法與SAP2000軟件優(yōu)化結(jié)果對比

Fig.10Comparisonofoptimizationresultsbetweensingle-stepoptimizationmethodandSAP2000software

(2)在高層建筑規(guī)則結(jié)構(gòu)中，最大層間位移角往往出現(xiàn)在結(jié)構(gòu)的中上部，而在這些部位，層間位移以結(jié)構(gòu)的整體轉(zhuǎn)動為主，這是實現(xiàn)結(jié)構(gòu)單步優(yōu)化的基礎(chǔ).

(3)基于虛功準則法的單步優(yōu)化法根據(jù)結(jié)構(gòu)整體轉(zhuǎn)動比虛應(yīng)變能調(diào)整構(gòu)件截面尺寸，使結(jié)構(gòu)整體轉(zhuǎn)動比虛應(yīng)變能趨于均勻分布并滿足層間位移約束，算法物理意義明確，易于掌握.

(4)將單步優(yōu)化法的優(yōu)化結(jié)果與SAP2000軟件的優(yōu)化結(jié)果進行對比，在都能達到位移限值優(yōu)化目標下，基于虛功的單步優(yōu)化法用鋼量降低約10%.