非學(xué)不可的代數(shù)法

方常春

困惑：有了數(shù)形結(jié)合的利器，我就可以偷懶了嗎？

當(dāng)我們在求解直線與圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題時，利用代數(shù)法求解，往往使得我們的運算量大大增加，運算的難度也猶如重重險山，不可逾越，

這時，大部分老師都會告訴你，其實從幾何的角度去思考，利用圓心到直線的距離來分析問題更加簡單易行，這是聰明人的選擇！

但是不知道同學(xué)們有沒有過類似的困惑，課本的例題為什么非要向我們展示代數(shù)法呢？課本就不嫌麻煩？

針對這些疑問，我想談?wù)勎业目捶ǎ?/p>

代數(shù)法的真意：提升運算能力、強化模式解題、增強學(xué)習(xí)信心——有道理嗎？

我們學(xué)習(xí)解析幾何，才剛上手，最重要的當(dāng)然是熟悉這種新知識的運用，悟通其化幾何為代數(shù)的神奇能力.而幾何問題代數(shù)化，就是其最根本的特征，有數(shù)學(xué)家說，幾何的根本出路是幾何問題代數(shù)化，在不久的將來，我們學(xué)習(xí)圓錐曲線后，你會發(fā)現(xiàn)今天學(xué)習(xí)的幾何法有時不靈驗了，而代數(shù)法卻能大行其道.這正是解析幾何的魅力所在.

如果今天就因為代數(shù)法計算繁復(fù)而棄之不用，那么我們的根基就不會牢靠.到了某一階段你會發(fā)現(xiàn)，代數(shù)法天天在你面前晃悠，你想避都避不開，而且，你失去了平常心，懷揣著一種擔(dān)心運算不過關(guān)的心態(tài)，數(shù)學(xué)怎么能學(xué)得好？小聰明還是大智慧，由你來選擇.

所以，我們在面對直線與圓的位置關(guān)系的問題時，要有清醒的認(rèn)識——利用平面幾何的知識簡化我們的運算是可行的，對解題方法的多樣性培養(yǎng)很有幫助，但是，基礎(chǔ)不可放松！所以，如果有可能，還是需要同學(xué)們在空閑時間，多了解一些代數(shù)法，做題時多思考一些方法，并加以比較優(yōu)化，相互印證，比如，哪種方法更簡捷，哪種方法更具一般性，適應(yīng)范圍更廣？

繁復(fù)的運算是我們最大的敵人之一，狹路相逢勇者勝！不要老想著逃避，關(guān)鍵時刻，拼的就是勇氣與信念，就是細(xì)心和耐心！

遇到難關(guān)：堅定自己的信念，一舉攻破！

下面，我們熟悉一下利用代數(shù)法處理直線與圓位置關(guān)系的問題的一般步驟：

通過聯(lián)立直線與圓的方程，根據(jù)解的個數(shù)來研究，若有兩組不同的實數(shù)解，即△>O，則相交;若有兩組相同的實數(shù)解，即△=0，則相切;若無實數(shù)解，即△

聯(lián)立方程組，整理出關(guān)于x的一元二次方程最為關(guān)鍵，一旦出錯，將前功盡棄！因為后面的一切運算都是建立在這一方程的基礎(chǔ)之上的，之后我們就將面臨最為繁復(fù)的運算，這也是難關(guān)所在！考驗的無非是我們的細(xì)心程度.

我們就以下面一題為例，并以代數(shù)法求解，

分析 斜率的存在與否要考慮全面，不可遺漏.

【記住這一系列變換，它很重要，也很實用】

將③式代人，解得k=3/4.【說得簡單，但恰恰是最困難的一步，最為考驗?zāi)愕倪\算能力】

代人②可知△>O成立，此時直線的方程為3x-4y+20=0.

當(dāng)k不存在時也滿足題意，此時直線方程為x=0.所以所求直線的方程為x=0或3x-4y+20=0.

當(dāng)然，此題如果利用幾何性質(zhì)解題，就簡單得多了，請你自己試著做一做，但你想過沒有，如果不是圓，換成拋物線，或其他曲線，這個方法還有效嗎？

例如，已知直線y=x+b與拋物線y=x²相交于A，B兩點，若AB=4，求b的值.就不得不用上述的代數(shù)法了.

所以不要認(rèn)為代數(shù)法很沒用、太繁瑣，也不要因為你現(xiàn)在能快速解一兩道題就沾沾自喜，要時刻牢記，你是在學(xué)習(xí)一種全新的數(shù)學(xué)知識和普遍的方法.要懂得打基礎(chǔ)的重要性，慢慢來，磨刀不誤砍柴工，總會有化拙為巧，化腐朽為神奇的一天！