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    且行且思且運(yùn)算

    2018-12-03 02:00:16漆光宗
    新高考·高一數(shù)學(xué) 2018年8期
    關(guān)鍵詞:式子斜率本題

    漆光宗

    解析幾何的核心是坐標(biāo)法,這種方法運(yùn)算過(guò)程往往比較繁雜,對(duì)運(yùn)算能力要求較高,下面通過(guò)具體的例子,我們就如何減輕解析幾何運(yùn)算負(fù)擔(dān)的方法、思路與技巧加以探討,以幫助同學(xué)們提高運(yùn)算能力,

    一、且審且調(diào)整——巧選變量繁亦簡(jiǎn).

    本題要求△ABC面積的最大值,自然會(huì)想到三角形的形狀是變化的,很容易注意到由于k的變化導(dǎo)致了三角形的形狀變化,從而三角形的面積在變化,k-旦確定,三角形的形狀就確定了,其面積也就確定了,因此變量k的值決定了三角形的面積.同學(xué)們一般都會(huì)首先想到先用k表示出S,然后再求其最值.

    這一方法,容易人手,但運(yùn)算卻相當(dāng)繁雜.從剛才的解析中,我們明白了一點(diǎn):為了表示△ABC的面積,應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)淖兞浚兞康倪x擇取決于影響確定圖形的因素,剛才的解法是直接選用題設(shè)中的變量k,但函數(shù)解析式較為復(fù)雜,導(dǎo)致最值不易求出.能否考慮另?yè)Q變量以簡(jiǎn)化解題呢?如果改用弦心距為自變量,很明顯,由于設(shè)出的變量即為高,而底(弦長(zhǎng))又極易用高表示,因此運(yùn)算量會(huì)相對(duì)較小.

    可見(jiàn),變量的選取不同往往會(huì)導(dǎo)致解題過(guò)程難易有別、運(yùn)算繁簡(jiǎn)各異.恰當(dāng)選取變量,往往會(huì)讓解題變得更為容易.

    二、且數(shù)且圖形——幾何性質(zhì)助解題

    在解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí),如果能夠借助于圓的幾何性質(zhì),或者畫(huà)出圖形,充分利用圖形發(fā)掘幾何特征,往往會(huì)簡(jiǎn)化思路,簡(jiǎn)便運(yùn)算.

    思路二 注意到直徑所對(duì)的圓周角為直角這一圓的幾何性質(zhì),可知直線PM與直線QM互相垂直,其斜率互為負(fù)倒數(shù),因此只需設(shè)一個(gè)變量k,運(yùn)算將變得簡(jiǎn)單明了.因此可以對(duì)以上方法做如下優(yōu)化:

    設(shè)直線PM的斜率為k,則直線QM的斜率為-1/k.

    三、且算且思考——想清“算理”運(yùn)算簡(jiǎn)

    在一些復(fù)雜的運(yùn)算過(guò)程中,時(shí)刻需要以想代算,琢磨透每一個(gè)“算理”,一般不要把中間式子盲目地化簡(jiǎn)到底,而是需要在運(yùn)算的過(guò)程中,不人為破壞“規(guī)律”,保持好式子結(jié)構(gòu)的“特征”,以便于約分、通分、相消等,否則,往往會(huì)破壞結(jié)構(gòu)規(guī)律,導(dǎo)致運(yùn)算量增大,甚至算不下去.且算且思考,才能真正達(dá)到簡(jiǎn)算、巧算的目的.

    例3 已知圓C x2+y2=9與x軸的交點(diǎn)分別為A,B.點(diǎn)P為定直線x=4上一動(dòng)點(diǎn)(除去與x軸的交點(diǎn)),設(shè)AP與圓C交于點(diǎn)M,BP與圓C交于點(diǎn)N,問(wèn)直線MN是否恒過(guò)一定點(diǎn),若是求出定點(diǎn)坐標(biāo),

    解 A(-3,0),B(3,0),設(shè)P(4,t),則直線AP的方程為y=t/7(x+3).

    因?yàn)閗MH=kNH,所以M,N,H三點(diǎn)共線,即直線MN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)H(9/4,o).

    綜上,無(wú)論t為何值,直線MN必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)H(9/4,o).

    本題中求x1和x2就沒(méi)有直接去解方程,而注意到已經(jīng)知道方程的一個(gè)解(點(diǎn)A或B的橫坐標(biāo)),只需利用兩根之積求得另一根.在本題的整個(gè)運(yùn)算的過(guò)程中,并沒(méi)有把中間的任何一個(gè)式子化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn),而是保留好t2+1,t2-1,t2+49,t2-49這些整體結(jié)構(gòu),在中間過(guò)程中,一些數(shù)字和式子的乘積也都沒(méi)有乘出來(lái),反而有利于通分和約分,使運(yùn)算得以順利進(jìn)行.

    同學(xué)們,在解決解析幾何問(wèn)題時(shí),既要重視思路方法,還要注意變量的選取,運(yùn)算技巧,以及圖形特征和幾何性質(zhì)的運(yùn)用,既要有整體和求簡(jiǎn)意識(shí),又要養(yǎng)成以想代算,注重“算理”,保持中間式子的結(jié)構(gòu)特征、數(shù)學(xué)規(guī)律不破壞的習(xí)慣.各種策略是相互依存的,在具體解題的過(guò)程中往往需要綜合考慮、穿插運(yùn)用、相互補(bǔ)充,才能真正達(dá)到變難為易、化繁為簡(jiǎn)的效果.

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