基于lp范數(shù)正則化的混合噪聲去除模型

范黎楊，張笑欽，嚴玉芳，劉倩倩

(溫州大學數(shù)理與電子信息工程學院，浙江溫州 325035)

在圖像采集和傳輸?shù)倪^程中，或多或少的都會引入一些噪聲.因此在圖像處理過程中，去噪是一個基本問題，用于從帶噪聲的觀測數(shù)據(jù)中恢復原始圖像，并盡可能地保留圖像的邊緣、紋理等信息和整體規(guī)模.在圖像去噪中，主要有兩種常見的噪聲，分別為加性高斯白噪聲和脈沖噪聲.加性高斯白噪聲主要由電子相機傳感器和電路的熱運動產(chǎn)生①Li R, Zhang Y J.A hybrid filter for the cancellation of mixed Gaussian noise and impulse noise [C]// ICICS, IEEE,Singapore, 2003: 508-512.；脈沖噪聲在相機傳感器的故障像素、硬件有錯誤的內(nèi)存位置或傳輸過程中的比特誤差處產(chǎn)生[1].

目前有很多去除加性高斯白噪聲的模型和方法，如三維塊匹配算法（BM3D）[2]，線性子空間分割算法（LSSC）②Mairal J, Bach F, Ponce J, et al.Non-local sparse models for image restoration [C]// ICCV, IEEE, Japan, 2009:2272-2279.，加權(quán)核范數(shù)最小化模型（WNNM）③Gu S, Zhang L, Zuo W, et al.Weighted nuclear norm minimization with application to image denoising [C]//CVPR, IEEE, America, 2014: 2862-2869.等.這些方法對于單像素的異常值非常敏感，因此在去除脈沖噪聲時效果較差.而在實際應用中，我們遇到的常常是由加性高斯白噪聲和脈沖噪聲引起的混合噪聲，由于這兩種噪聲不同的特性，所以混合噪聲的分布通常不具有參數(shù)化模型，且其邊際分布相比于拉普拉斯分布有明顯的空白，使得去除混合噪聲變得十分困難.在過去十幾年里，研究者們提出了一些去除混合噪聲的方法.如Abreu等人[3]提出基于中值信號依賴秩序列平均濾波，既可以用于去除脈沖噪聲也可用于去除混合噪聲.Lin等人[4]參考中位數(shù)判斷當前像素是否是噪聲像素，提出基于檢測和變換的雙邊濾波改進方法，通過變換去除加性高斯白噪聲和去除脈沖噪聲來去除混合噪聲.Schulte等人[5]提出模糊脈沖噪聲檢測和減少方法（FIDRM濾波），包含脈沖噪聲檢測和噪聲去除兩步.該方法可以有效的去除椒鹽脈沖噪聲，但由于隨機脈沖噪聲不會產(chǎn)生較大的梯度值，在去除時性能不是很好.Cai等人[6]提出了一種改進的兩相法用于恢復被混合噪聲破壞的圖像，并證明了該方法的有效性[7].Xiao等人[8]提出l1-l0最小化方法，該方法雖然去噪效果非常好，但其計算復雜度相當高.Rodríguez等人①Rodríguez P, Rojas R, Wohlberg B.Mixed Gaussian-impulse noise image restoration via total variation [C]// ICASSP,IEEE, Japan, 2012: 1077-1080.給出一個包含全變分正則化項和分別約束脈沖噪聲和加性高斯白噪聲的l2，l1范數(shù)數(shù)據(jù)保真項的模型，該模型去除混合噪聲的結(jié)果非常好，但需要更好的計算性能.Huang等人[9]提出一種基于全變分（Total Variation）先驗的去噪模型以除去脈沖噪聲和高斯噪聲.Li等人[10]通過最小化一個包括依賴數(shù)據(jù)保真項和類似于l1范數(shù)的幾何框架系數(shù)正則化項的函數(shù)，處理被混合噪聲污染的圖像.盡管上述混合噪聲去噪模型和方法取得了一定的效果，但仍存在著一些不足，主要表現(xiàn)在：首先，現(xiàn)存的大多數(shù)混合噪聲去除方法都基于脈沖噪聲檢測和加性高斯白噪聲移除，分階段的去除混合噪聲；其次，在測量噪聲的存在下，這些算法的凸松弛恢復性能大大降低，容易導致模型偏離原始最小化模型.

本文提出了一種基于lp范數(shù)正則化的混合噪聲去除模型（A Hybrid Noise Removal Model Based onlpNorm Regularization，即HNRM）.首先構(gòu)造一個基于lp范數(shù)正則化的低秩-稀疏模型框架，同時引入權(quán)重來對加性高斯白噪聲和脈沖噪聲進行不同的約束處理，然后利用交替方向乘子法（ADMM 算法）[11]求解該優(yōu)化模型，并將其應用于觀測圖像的混合噪聲去除中，檢測去除加性高斯白噪聲和脈沖噪聲的效果，取得了原始圖像更好的近似.

1 基于lp范數(shù)的低秩-稀疏模型

1.1 低秩-稀疏模型的提出

其中xi,j表示矩陣X的第i行第j列的元素；表示矩陣X的第i個奇異值；表示對應于每一個iσ的權(quán)重，（1）式中，當p=0時表示秩函數(shù)，即當p=1時表示l1范數(shù)，即式中，當p=1時表示加權(quán)核范數(shù)，即所以，矩陣X的lpp范數(shù)和加權(quán)Schatten-p范數(shù)的p次方可以分別表示為：

其中W是對角線元素為ωi的對角陣；Δ是對角線元素為iσ的對角陣.

當ω,p同時為1，p1為0時，即為l1-l0范數(shù)混合噪聲去除模型.

1.2 模型的求解過程

運用ADMM算法[11]求解基于lp范數(shù)正則化的低秩-稀疏模型（5），其算法基本迭代步驟為：

要解決（7）式，首先考慮一個與之相似的標量問題：

當0＜p＜1時，引入兩個閾值參數(shù)：

則（8）式存在一個非平凡解：

假設矩陣M的奇異值分解為其中表示由矩陣M的奇異值構(gòu)成的對角陣，U,V分別表示兩個正交矩陣.假定所有的奇異值都按降序排列，則（11）式存在最優(yōu)解表示由矩陣X的奇異值構(gòu)成的對角陣，每一個iδ可由下式[13]解得：

類似于lp范數(shù)最小化模型，對于給定的參數(shù)p,ωi，存在一個特定的閾值：

由上述迭代過程，可以得出該方法的算法過程，如下所示：

算法1：HNRM算法.

輸入：觀測矩陣Y，參數(shù)p,p1；

循環(huán)迭代：當目標函數(shù)達到收斂條件時，結(jié)束迭代.

第一步：計算權(quán)重參數(shù)ω、閾值參數(shù)

第二步：由（10）式（15）式，計算矩陣X奇異值的最優(yōu)解δ*和E的最優(yōu)解e*；

2 算法模型的應用

圖像去噪既是許多計算機視覺應用的預處理步驟，也是眾多評估圖像模型的一個測試床.為驗證本文提出模型的有效性，將其應用到圖像去噪中，從帶有混合噪聲的觀測圖像中恢復原始圖像.本文的去噪過程基于圖像塊的非局部自相似性和自然圖像的低秩稀疏性先驗知識，以保證混合噪聲去除性能.非局部自相似性是指對于一個自然圖像可以用非局部相似塊來恢復選定的塊.非局部自相似性在很多圖像去噪算法，如 BM3D[2]，LSSC，WNNM，WSNM[13]中的得到運用并取得了良好的去噪效果.類似的，我們將本文提出的模型應用于由自然圖像的非局部相似塊構(gòu)成的矩陣上來實現(xiàn)混合噪聲去除.

2.1 混合噪聲

本文用X表示原始圖像，xi,j表示原始圖像X在(i,j)處的像素值；Y表示原始圖像X帶有混合噪聲的觀測圖像，yi,j∈Y.對于帶有混合噪聲的圖像，Y的每一個噪聲像素值可以表示為是獨立同分布，且服從均值為0，方差為σ2的高斯分布的噪聲，ei,j∈E表示離散型的脈沖噪聲.脈沖噪聲主要有椒鹽脈沖噪聲和隨機脈沖噪聲兩種.本文主要考慮的是由加性高斯白噪聲和隨機脈沖噪聲形成的混合噪聲.

2.2 基于lp范數(shù)正則化的混合噪聲去除模型的應用

對于給定圖像y的一個局部塊yi，首先運用自適應中值濾波，過濾掉一些脈沖噪聲，在沒有脈沖噪聲的影響下，運用塊匹配方法（Block Matching Method）獲得yi的非局部相似塊然后將其向量化并堆疊形成矩陣Yi，即矩陣Yi的每一列由構(gòu)成，則帶有混合噪聲的圖像可以表示為矩陣形式：其中Xi表示原始圖像的矩陣塊，表示混合噪聲的矩陣塊.假定觀測圖像y是低秩-稀疏的，我們可以運用本文提出的基于lp范數(shù)的低秩-稀疏模型，從矩陣Yi中估計得出原始矩陣Xi，相應的基于lp范數(shù)正則化的混合噪聲去除模型為：

其中n表示Yi中相似塊的個數(shù).ε表示一個非常小的常數(shù)，以避免被除數(shù)等于由于矩陣未知，無法直接得出所以可以用下式預估

為避免恢復后的圖像被重復去噪，將迭代正則化算式（19）引入算法中，在去噪后的圖像上增加過濾的殘差，以便獲得更清晰的去噪圖像.

其中k表示迭代次數(shù)，α表示放縮參數(shù).

3 實驗結(jié)果及分析

進行實驗來驗證本文提出的HNRM方法，并與幾種比較先進的去噪算法（TV算法[9]，IFASDA算法[10]，Cai[6]和Xiao[8]等人提出的算法）進行比較.所有去噪結(jié)果由源代碼或原作者提供的可執(zhí)行文件生成，保留原始文件中的參數(shù)設置.

3.1 參數(shù)設置

根據(jù)經(jīng)驗值選取不同噪聲水平的噪聲方差σn、塊大小patch size、迭代次數(shù)k的對應關(guān)系，如表1所示.

表1 幾種參數(shù)的對應關(guān)系Table 1 Corresponding Relationship with Several Parameters

參數(shù)p,p1分別取{0.1,0.3,0.5,0.7,0.9,1.0}做測試，設置算法收斂的停止準則為

3.2 實驗結(jié)果及分析

對于一些廣泛使用的測試圖像，用 HNRM 方法和幾種較先進的混合圖像去噪方法進行實驗對比.在實驗中，添加均值為 0、標準差為σ的加性高斯白噪聲和噪聲水平變化率為γ的隨機脈沖噪聲到測試圖像以生成混合噪聲觀測圖像.取標準差σ=10的高斯噪聲和噪聲水平變化率γ分別為10%、20%和30%的隨機脈沖噪聲.在2個測試圖像Boat、Barbara上進行多次試驗，并與TV[9]算法、IFASDA[10]算法做對比，三種方法在測試圖像上去噪效果的峰值信噪比（PSNR）結(jié)果見表2.

表2 HNRM、TV、IFASDA三種方法的PSNR結(jié)果對比Table 2 Comparison of PSNR Results with HNRM, TV and IFASDA Methods

由表2可以看出，與目前比較先進的TV算法、IFASDA算法相比，我們提出的HNRM方法在去除混合噪聲時PSNR更高，去噪效果更好，特別是對于Barbara測試圖像，我們的算法比效果較好的IFASDA[10]算法的PSNR結(jié)果高達將近3.71 dB.

由于篇幅限制，我們僅顯示本文提出的HNRM算法、Cai[6]和Xiao[8]等人提出的算法對測試圖像Barbara在9個噪音水平的去噪結(jié)果進行比較，其中高斯噪聲標準差σn分別為5、10和15，隨機脈沖噪聲水平變化率γ分別為 10%、20%和 30%.三種去噪方法的峰值信噪比（PSNR）結(jié)果見表3.

由表3可以看出，我們提出的HNRM方法相對于 Cai[6]、 Xiao[8]等人提出的算法，在去除混合噪聲時PSNR高出很多，去噪效果更好.

在廣泛使用的4張測試圖像Barbara、Lena、Boat、Hill上評估HNRM方法，與TV[9]算法、IFASDA[10]算法作比較，去噪后的圖像結(jié)果如圖1所示，括號內(nèi)為不同去噪方法的峰值信噪比.取高斯噪聲方差第一、二組圖隨機脈沖噪聲水平變化率取γ=30%，第三、四組圖取

由圖1可以看出，我們提出的算法在去除混合噪聲時，峰值信噪比更高，最多超過IFSADA[10]算法2.13 dB，去噪后的圖像更清晰，去噪效果相對較好.

表3 Cai、Xiao、 HNRM三種方法的PSNR結(jié)果對比Table 3 Comparison of PSNR Results of Cai,Xiao and HNRM Methods

圖1 4張測試圖像Barbara、Lena、Boat、Hill上的混合噪聲去噪效果對比圖Fig 1 Comparison Diagram of De-noise Effect with Mixed Noise for Four Test Figure: Barbara, Lena, Boat and Hill

4 小 結(jié)

本文提出一種新的基于lp范數(shù)正則化的混合噪聲去除模型，首先構(gòu)造一個基于lp范數(shù)正則化的低秩-稀疏模型，并在該模型中引入權(quán)重，以便同時對加性高斯白噪聲和脈沖噪聲進行不同的處理，然后運用ADMM算法求解該模型，最后利用圖像信息的低秩稀疏性和非局部相似性，將模型推廣應用于觀測圖像的混合噪聲去除中，以達到同時去除混合噪聲的目的.多次實驗結(jié)果顯示該算法模型的去噪效果明顯好于其他幾種較先進的混合噪聲去除方法，且本文提出的 HNRM方法魯棒性更強，應用前景廣泛.