一種基于MTLS優(yōu)化的非等間距多點(diǎn)灰色變形預(yù)測(cè)模型

甘祥前,任 超,劉林波,劉中流,楊 慶

(1. 桂林理工大學(xué)測(cè)繪地理信息學(xué)院，廣西 桂林 541004； 2. 廣西空間信息與測(cè)繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 桂林 541004)

變形預(yù)測(cè)常用的模型主要有傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)模型、時(shí)間序列分析、回歸分析和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等[1-4]。這些方法大多為單點(diǎn)建模與預(yù)測(cè)[5]，而事實(shí)上監(jiān)測(cè)工程建筑物的變形狀態(tài)都布設(shè)有大量的變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)，監(jiān)測(cè)點(diǎn)間是相互影響、彼此關(guān)聯(lián)的，單點(diǎn)的處理沒有利用監(jiān)測(cè)點(diǎn)間相互關(guān)系的信息，不足以反映變形體的整體變形趨勢(shì)和變形規(guī)律[6-9]。因此，在變形監(jiān)測(cè)分析與預(yù)報(bào)中，使用多點(diǎn)灰色預(yù)測(cè)模型更為合理。但在實(shí)際工程中可能存在非等間距觀測(cè)或某幾期缺測(cè)的實(shí)際狀況，對(duì)此，近年來不少學(xué)者對(duì)非等間距多點(diǎn)灰色變形預(yù)測(cè)模型進(jìn)行了研究，其中文獻(xiàn)[10]將單點(diǎn)變形分析擴(kuò)展到空間多點(diǎn)的整體變形分析，采用非等間距等距化處理的改進(jìn)方法，建立了非等間距多點(diǎn)變形預(yù)測(cè)模型；文獻(xiàn)[11]在GIS平臺(tái)下結(jié)合多變量非等間距灰色預(yù)測(cè)模型，開發(fā)了一套露天礦邊坡災(zāi)害預(yù)警系統(tǒng)；文獻(xiàn)[12]建立了多變量非等間距灰色模型并應(yīng)用于中國(guó)農(nóng)村青少年生長(zhǎng)水平預(yù)測(cè)。目前，這些方法大多為對(duì)非等間距多點(diǎn)灰色模型進(jìn)行等距化改進(jìn)或?qū)ζ浔尘爸岛蜌埐铐?xiàng)優(yōu)化。但是在傳統(tǒng)的非等間距多點(diǎn)灰色預(yù)測(cè)模型建模過程中，發(fā)展系數(shù)A和灰作用量B是在最小二乘(LS)約束準(zhǔn)則下求解的，而LS在求解參數(shù)過程中只是對(duì)預(yù)測(cè)值進(jìn)行改正，把已知的測(cè)量值當(dāng)作是不含誤差的，因此此時(shí)的LS估計(jì)就不再是無偏的[13]。為了解決這個(gè)問題，本文引入多元整體最小二乘法(MTLS)，MTLS是由整體最小二乘法(TLS)拓展得到的，是將TLS中的參數(shù)向量和觀測(cè)向量拓展為參數(shù)矩陣和觀測(cè)矩陣，在計(jì)算過程中同時(shí)顧及觀測(cè)值矩陣和系數(shù)矩陣存在的誤差。

1 非等間距多點(diǎn)灰色變形預(yù)測(cè)模型

1.1 模型的建立

相關(guān)聯(lián)的多個(gè)變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)的非等間距原始觀測(cè)序列為

(1)

時(shí)間間隔ΔTk=Tk-Tk-1，其中i=1,2,…,m，m為變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)數(shù)目，將多個(gè)變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)的觀測(cè)序列組成矩陣形式

X(0)(T)=[X(0)(T1)X(0)(T2)X(0)(T3)…

X(0)(Tj)…X(0)(Tn)]

(2)

對(duì)式(2)進(jìn)行累加生成X(1)(T)，然后建立n元一階常微分方程組，其矩陣形式為

(3)

利用積分生成變換原理對(duì)式(3)進(jìn)行整理得到響應(yīng)函數(shù)式

X(1)(Tk)=eA(Tk-T1)X(1)(T1)-A-1(I-eA(Tk-T1))B

(4)

最后還原式(4)得到非等間距多點(diǎn)預(yù)測(cè)模型

(5)

式中，k=1,2,…,m。

1.2 模型精度檢驗(yàn)

2 多元整體最小二乘及其解法

首先將該矩陣方程改寫

(6)

(7)

式中，eY=vec(EY)為列向量化后的觀測(cè)值的殘差向量；eB=vec(EB)為列向量化后的系數(shù)矩陣的殘差向量。

利用拉格朗日乘數(shù)法對(duì)MTLS進(jìn)行求解，以式(6)為條件，構(gòu)造拉格朗日目標(biāo)函數(shù)

eY-[Ir?(B-EB)]ξ}

(8)

式中，λ為拉格朗日乘常數(shù)；?為克羅內(nèi)克積算子。對(duì)式(8)求一階偏導(dǎo)，令其等于0，聯(lián)立方程求解，最后得到

通過迭代，求出最終解，具體迭代步驟如下：

3 實(shí)例分析與驗(yàn)證

本文試驗(yàn)數(shù)據(jù)來源于文獻(xiàn)[10]，選取的是某基坑北側(cè)邊坡上相互關(guān)聯(lián)的4個(gè)沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)A、B、C、D的觀測(cè)數(shù)據(jù)，并對(duì)其進(jìn)行了整體變形分析與建模。試驗(yàn)以該4個(gè)沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)的13期觀測(cè)數(shù)據(jù)作為樣本進(jìn)行模型的分析與驗(yàn)證。

3.1 建模數(shù)據(jù)為9和建模數(shù)據(jù)為10的模型預(yù)測(cè)效果比較

根據(jù)本文給出的建模理論，首先分別建立建模數(shù)據(jù)為9和10的非等間距多點(diǎn)灰色變形預(yù)測(cè)模型，然后對(duì)這兩種模型的預(yù)測(cè)效果進(jìn)行比較，分析兩種不同建模數(shù)據(jù)情況下對(duì)非等間距多點(diǎn)灰色模型預(yù)測(cè)精度的影響。

通過計(jì)算，得到兩種不同建模數(shù)據(jù)下的模型擬合及預(yù)測(cè)值、預(yù)測(cè)值平均相對(duì)誤差、擬合精度及殘差結(jié)果見表1和表2。

表1 建模數(shù)據(jù)為9的模型擬合及預(yù)測(cè)結(jié)果

表2 建模數(shù)據(jù)為10的模型擬合及預(yù)測(cè)結(jié)果

通過對(duì)表1，表2計(jì)算結(jié)果的對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，建模數(shù)據(jù)為9的模型擬合精度、預(yù)測(cè)精度、殘差均值都遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于建模數(shù)據(jù)為10的，說明把第10期觀測(cè)數(shù)據(jù)納入建模數(shù)據(jù)后，模型受到了較大的擾動(dòng)，即新增的建模數(shù)據(jù)中含有較大誤差，再加上模型的分析是整體性的，因此個(gè)別帶有誤差數(shù)據(jù)的引入有可能對(duì)模型的預(yù)測(cè)精度造成很大的影響。針對(duì)這個(gè)問題，下節(jié)給出MTLS優(yōu)化非等間距多點(diǎn)灰色預(yù)測(cè)模型的算法。

3.2 MTLS優(yōu)化的非等間距多點(diǎn)灰色變形預(yù)測(cè)模型算例

試驗(yàn)引入MTLS對(duì)建模數(shù)據(jù)為10的模型進(jìn)行優(yōu)化，建立MTLS優(yōu)化的非等間距多點(diǎn)灰色變形預(yù)測(cè)模型。

根據(jù)多元整體最小二乘理論，計(jì)算得到MTLS優(yōu)化模型的擬合及預(yù)測(cè)值、預(yù)測(cè)值平均相對(duì)誤差、擬合精度及殘差結(jié)果見表3。

表3 基于MTLS的非等間距多點(diǎn)灰色預(yù)測(cè)模型的擬合及預(yù)測(cè)結(jié)果

3.3 不同模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比與分析

對(duì)表1、表2和表3中的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，得出不同模型的預(yù)測(cè)結(jié)果精度對(duì)比見表4。

表4 不同模型的預(yù)測(cè)結(jié)果精度對(duì)比

為了更清晰地比較不同模型的預(yù)測(cè)效果，把實(shí)測(cè)值和預(yù)測(cè)值繪制成曲線，如圖1所示。

圖1 不同模型預(yù)測(cè)效果對(duì)比

由表4可知，對(duì)于擾動(dòng)性較大的非等間距多點(diǎn)灰色預(yù)測(cè)模型，經(jīng)MTLS優(yōu)化后模型擬合精度達(dá)到1.85，預(yù)測(cè)值平均相對(duì)誤差均值達(dá)到4.26%，相比優(yōu)化前，其模型精度得到了很大提高。通過與建模數(shù)據(jù)為9的模型對(duì)比，MTLS優(yōu)化后模型的擬合精度雖然低了些，但其預(yù)測(cè)精度更高。此外通過圖1也可以清晰地看出MTLS優(yōu)化模型的預(yù)測(cè)曲線較另外兩種模型更接近于實(shí)測(cè)曲線。說明多元整體最小二乘法對(duì)建模數(shù)據(jù)誤差起到了很好的抑制效果，并且提高了非等間距多點(diǎn)灰色預(yù)測(cè)模型的擬合及預(yù)測(cè)精度，基于該方法優(yōu)化的模型穩(wěn)定性更好。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文在傳統(tǒng)非等間距多點(diǎn)灰色預(yù)測(cè)模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合實(shí)際工程中多個(gè)相關(guān)聯(lián)沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)的變形觀測(cè)數(shù)據(jù)。首先分別在建模數(shù)據(jù)為9和10的情況下，建立非等間距多點(diǎn)灰色預(yù)測(cè)模型，通過對(duì)兩者預(yù)測(cè)效果的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)建模數(shù)據(jù)為10時(shí)，模型的擾動(dòng)性較大，建模數(shù)據(jù)存在較大誤差；然后針對(duì)這一缺陷，本文提出了用MTLS代替?zhèn)鹘y(tǒng)的LS對(duì)非等間距多點(diǎn)灰色預(yù)測(cè)模型中的發(fā)展系數(shù)A和灰作用量B進(jìn)行求解。最后通過實(shí)例分析驗(yàn)證，該方法可以有效地抑制建模數(shù)據(jù)誤差，提高非等間距多點(diǎn)灰色預(yù)測(cè)模型的擬合及預(yù)測(cè)精度，適合在變形預(yù)測(cè)中應(yīng)用。

雖然本文對(duì)改進(jìn)非等間距多點(diǎn)灰色預(yù)測(cè)模型的研究取得了一定的成果，但也存在不足之處。文中只與多點(diǎn)非等間距灰色預(yù)測(cè)模型作對(duì)比，而沒有與單點(diǎn)非等間距灰色模型比較，基于整體最小二乘優(yōu)化的單點(diǎn)非等間距灰色模型預(yù)測(cè)精度是否更好，本文并沒有給出證實(shí),這有待于進(jìn)一步研究。