化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

山西省大同市礦區(qū)同煤一中 閆涵超

一、化歸思想方法原理分析

1.化歸思想的內(nèi)涵

所謂化歸就是指在解決數(shù)學(xué)問題過程中的轉(zhuǎn)化與歸結(jié)思想，其目的是將原本未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，從而實(shí)現(xiàn)由難到易，盡可能將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題進(jìn)行求解，最終達(dá)到降低解題難度，提高解題效率的目的。因此從本質(zhì)上來說，化歸思想就是將原本復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)變?yōu)槲覀兪煜そ鉀Q思路的簡單問題上，在這一過程中，需要我們重視起復(fù)雜問題到簡單問題轉(zhuǎn)化之間的聯(lián)系，只有在把握聯(lián)系的基礎(chǔ)上，才能夠?qū)崿F(xiàn)合理正確的轉(zhuǎn)化。因此，歸納起來，在高中數(shù)學(xué)函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，對(duì)于化歸思想的應(yīng)用，其核心就是“求變”，通過將原問題進(jìn)行不斷的變化與轉(zhuǎn)化，尋找將問題盡可能轉(zhuǎn)化的途徑，從而降低解題的難度，提高解題的效率。

2.化歸的模式

在高中數(shù)學(xué)函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)用化歸思想來解決問題有著基本的模式，總結(jié)起來如下：先尋找原問題與已知問題的聯(lián)系，然后再將原先的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)有成熟解決方法的問題，從而通過對(duì)這一已知問題的求解來得到原問題的答案。

3.化歸思想應(yīng)用的基本原則

（1）等價(jià)性原則

在進(jìn)行化歸思想應(yīng)用的過程中，必須要保證代數(shù)性質(zhì)能夠與幾何性質(zhì)實(shí)現(xiàn)等價(jià)，這是避免解題失誤的重要基礎(chǔ)。但需要注意的是，由于圖形往往具備一定的局限性，往往很難對(duì)代數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行完全的表現(xiàn)，因此在數(shù)形結(jié)合的過程中，圖形的性質(zhì)只是一種較為淺顯的說明作用。

（2）雙向性原則

在進(jìn)行化歸思想應(yīng)用的過程中，一方面需要對(duì)抽象的代數(shù)關(guān)系進(jìn)行探討，另一方面也需要對(duì)直觀的幾何圖形關(guān)系進(jìn)行分析。在這一類的數(shù)學(xué)解題中，必須要立足于代數(shù)與圖形的結(jié)合才能夠保證解題效率，要注意兩者之間是相輔相成的關(guān)系。

（3）簡單性原則

在高中數(shù)學(xué)的解題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法往往會(huì)有多種解題方法，需要我們?cè)趯?shí)際情況中根據(jù)具體的題目來選擇合適的方法，要保證解題方法簡單。應(yīng)用化歸思想的根本目的就是為了讓求解更加簡單，因此化歸思想應(yīng)用的方向就是使得問題變得簡單。

二、化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中的作用

數(shù)學(xué)思維的形成從本質(zhì)上來看，就是我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，對(duì)于數(shù)學(xué)的相關(guān)規(guī)律、概念有了自己的理解與認(rèn)知。而化歸思想作為高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中的一種重要思想，同樣是我們對(duì)于高中數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與歸納。在實(shí)際情況中，思維活動(dòng)是影響人認(rèn)知活動(dòng)的重要因素，思維活動(dòng)的狀態(tài)與內(nèi)容體現(xiàn)了一個(gè)人對(duì)于事物本質(zhì)規(guī)律的理解。在此認(rèn)知基礎(chǔ)上，我們就很容易認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思維中的化歸思想對(duì)于高中數(shù)學(xué)解題的重要意義。首先，化歸思想能夠有效提高學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與應(yīng)用過程中的觀察能力，而無論是對(duì)于數(shù)學(xué)相關(guān)規(guī)律與概念的觀察，還是對(duì)于高中數(shù)學(xué)習(xí)題解題方法的觀察，都是十分重要的內(nèi)容，是我們自身真正掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ)。只有建立對(duì)于問題的仔細(xì)觀察，才有可能利用化歸思想尋找問題之間的聯(lián)系，最終實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化。其次，化歸思想能夠幫助我們實(shí)現(xiàn)對(duì)于觀察的總結(jié)，對(duì)于數(shù)學(xué)規(guī)律的觀察只是我們學(xué)習(xí)的第一步，更需要我們?cè)谶@一過程中能夠?qū)⒂^察到的知識(shí)與得到的想法總結(jié)起來，這要求我們具備化歸思想，能夠?qū)τ^察到的結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié)。只有這樣，才能夠使得我們?cè)谇蠼鈫栴}的過程中更加有效率、有質(zhì)量，化歸思想的應(yīng)用基礎(chǔ)就在于我們對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解程度，積累越多，那么應(yīng)用也就越熟練。最后，化歸思想還能夠提高我們對(duì)于數(shù)學(xué)規(guī)律與方法的應(yīng)用水平，在完成對(duì)于規(guī)律與方法的總結(jié)后，就需要我們能夠真正利用這些知識(shí)。高中數(shù)學(xué)解題的過程就是我們應(yīng)用相關(guān)知識(shí)的過程，因此需要我們利用化歸思想來加深對(duì)于數(shù)學(xué)規(guī)律的理解，從而更好地實(shí)現(xiàn)應(yīng)用。

三、高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中化歸思想的運(yùn)用

1.將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題

化歸思想在高中函數(shù)中的應(yīng)用可以實(shí)現(xiàn)題型內(nèi)在聯(lián)系的適當(dāng)轉(zhuǎn)化，對(duì)復(fù)雜的問題進(jìn)行簡化，解題難度也會(huì)隨之降低。在函數(shù)解題過程中，可以利用圖像對(duì)題目信息進(jìn)行表示，將抽象的概念轉(zhuǎn)化為具體的圖形，在數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)上充分發(fā)揮化歸思想的效果。將函數(shù)題目中的數(shù)字與文字轉(zhuǎn)化圖像顯示，可以更加清楚地了解參數(shù)、變量之間的關(guān)系，提高解題的效率。在運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解題的過程中，我們很清楚題目考查的知識(shí)點(diǎn)，但是由于條件不足，實(shí)際解題可能并不會(huì)那么順利。通過化歸思想的應(yīng)用，我們可以在對(duì)題干內(nèi)容進(jìn)行準(zhǔn)確分析的基礎(chǔ)上，變換提問的形式或者是解題方向，將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，并依照相應(yīng)的解題思路對(duì)問題進(jìn)行逐步解答，在確保解題步驟條理化的同時(shí)，自己的解題能力也會(huì)逐漸提高。例如在進(jìn)行三角函數(shù)相關(guān)問題的解答時(shí)，可以先將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或者是其他的簡單函數(shù)問題，在此基礎(chǔ)上更容易明確變量之間的關(guān)系，通過變量構(gòu)圖的方式可以更加清晰地了解函數(shù)的特征，降低解題難度。

2.合理運(yùn)用反向思維

在函數(shù)學(xué)習(xí)的過程中會(huì)面臨這樣一個(gè)問題，通過自己的方法，我們可以直接得到問題的答案，但是無法寫出具體的計(jì)算步驟，而一些解答型的函數(shù)題目解題思路占得分的比重很大，步驟的缺失在影響得分的同時(shí)，也不利于自己掌握解題方法，理解同類型不同形式的函數(shù)問題。在實(shí)際解題過程中可以利用化歸思想解決解題思路不明的情況，我們可以將題干的答案作為題目的已知條件，利用反向思維對(duì)正面的問題進(jìn)行反向思考，從而實(shí)現(xiàn)反向運(yùn)算，明確解題步驟。例如在解答f（x）=ax+1這類問題的時(shí)候，需要先確定區(qū)間并在此基礎(chǔ)上求出a的具體取值范圍。在遇到該類問題時(shí)，一般會(huì)先根據(jù)題目中變量的設(shè)定對(duì)區(qū)間問題進(jìn)行分析，反向思維就是對(duì)解題思路進(jìn)行逆轉(zhuǎn)，結(jié)合到具體的問題中就是將區(qū)間視作題目的已知條件，根據(jù)區(qū)間對(duì)變量進(jìn)行設(shè)定。逆向思維解題過程易于被理解，與高中生現(xiàn)階段的邏輯思維也更為符合，可以避免解題過程中出現(xiàn)邏輯誤區(qū)，在一些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題的解決中，我們?nèi)菀妆贿壿嬚`區(qū)引導(dǎo)導(dǎo)致差錯(cuò)的出現(xiàn)，逆向思維的應(yīng)用可以有效避免類似情況的出現(xiàn)。

3.函數(shù)圖像化的應(yīng)用

在學(xué)習(xí)高中函數(shù)知識(shí)時(shí)，老師會(huì)引導(dǎo)我們用圖像解決問題，在實(shí)際的解題過程中，也需要將題目具體的內(nèi)容進(jìn)行函數(shù)關(guān)系的表達(dá)，為了提高草圖繪制的效率和質(zhì)量，可以先用表達(dá)式對(duì)函數(shù)的屬性進(jìn)行分析。通過函數(shù)圖像的合理運(yùn)用，可以更加清楚地了解變量之間的關(guān)系，從而使復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系具體化，將抽象的題目轉(zhuǎn)化為具體的形象?；瘹w思想的應(yīng)用具體表現(xiàn)為圖像與函數(shù)方程的結(jié)合，在此基礎(chǔ)之上可以更加準(zhǔn)確地理解題目的內(nèi)涵，確保條件分析和數(shù)量關(guān)系構(gòu)建的正確性。高中函數(shù)學(xué)習(xí)除了數(shù)字關(guān)系、數(shù)量表達(dá)式之外，還需要學(xué)習(xí)與具體函數(shù)知識(shí)相關(guān)的函數(shù)圖象，例如正切函數(shù)、余弦函數(shù)以及正弦函數(shù)等三角函數(shù)。當(dāng)需要應(yīng)用這些知識(shí)解決具體的函數(shù)問題時(shí)，就可以充分利用化歸思想實(shí)現(xiàn)數(shù)形之間的轉(zhuǎn)換。

首先是數(shù)與形的轉(zhuǎn)化。具體應(yīng)用如下：

例1 在函數(shù)=中，假如有|f（x）|≥ax，則a的取值范圍為（）

A.（- ∞，0] B.（- ∞，1] C.[-2，1] D.[-2，0]

解析：拿到這個(gè)問題，首先需要對(duì)題設(shè)條件進(jìn)行分析，如果單純利用數(shù)字計(jì)算來解決該問題，難度較大且需要大量的時(shí)間。這是一道選擇題，在考試中為了節(jié)約時(shí)間，就需要應(yīng)用化歸思想的數(shù)形轉(zhuǎn)換方法。首先要畫出函數(shù)f（x）的圖像，根據(jù)題設(shè)條件可以得知該函數(shù)的圖像由兩部分組成，因而可以對(duì)f（x）圖像的x軸以下的部分進(jìn)行軸對(duì)稱作圖，從而得到該函數(shù)完整的圖像，由此可以得知|f（x）|≥ax是恒成立的。結(jié)合圖像分析后可以知道a的取值為非正數(shù)，然后再根據(jù)a的取值對(duì)函數(shù)進(jìn)行分區(qū)間分析。當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)|f（x）|的圖像也必然是在直線y=ax的圖像之上的，而兩個(gè)函數(shù)的圖像之間存在相切的關(guān)系，這時(shí)可以得到a=-2，最后結(jié)合圖像和分析計(jì)算結(jié)果得出，a的取值范圍是[-2，0]。因而該題的答案為D。

其次是題根的轉(zhuǎn)化。題根轉(zhuǎn)化在高中函數(shù)，尤其是復(fù)合函數(shù)的解題中十分常用，通過題根的轉(zhuǎn)化，可以對(duì)題目進(jìn)行簡化，從而實(shí)現(xiàn)問題的解決。具體應(yīng)用如下：

例2 實(shí)數(shù)k滿足方程x4-2kx2+k2+2k-3=0具有實(shí)數(shù)根的條件，試求k的取值范圍。

解析：先對(duì)該方程進(jìn)行觀察可以發(fā)現(xiàn)，這是比較常見的二次函數(shù)問題，因而該方程的根也一定是二次函數(shù)。在對(duì)題目分析的基礎(chǔ)上，解答之前要先對(duì)題設(shè)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將該方程視作x的四次方程，是k的二次方程，然后將原方程x4-2kx2+k2+2k-3=0轉(zhuǎn)化為k2+2（1-x2）k+x4-3=0（k∈R）。要保證此方程有根，就必須要讓?duì)?[2（1-x2）]2-4（x4-3）≥0，由此便可以得到-2≤x≤2，所以k的取值范圍是[-2，2]。

高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是我們高中生學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容，而對(duì)于數(shù)學(xué)函數(shù)的學(xué)習(xí)，往往是很多同學(xué)的薄弱環(huán)節(jié)，特別是對(duì)于各種數(shù)學(xué)函數(shù)題目的求解，很多同學(xué)往往摸不著頭腦。而利用化歸思想就能夠有效提高我們對(duì)于復(fù)雜函數(shù)問題的求解效率與質(zhì)量，通過利用化歸思想，能夠?qū)⒃疚粗膯栴}轉(zhuǎn)化為已知的問題，從而實(shí)現(xiàn)由難到易，盡可能將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題進(jìn)行求解，最終達(dá)到降低解題難度，提高解題效率的目的。而在這一過程中，需要我們注意化歸思想應(yīng)用的基本原則，遵循基本的等價(jià)性原則、雙向性原則與簡單性原則，同時(shí)在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中注意對(duì)于數(shù)學(xué)函數(shù)原理的積累，從而提高化歸思想的應(yīng)用水平。

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