幾何直觀：直抵?jǐn)?shù)學(xué)本質(zhì)

江蘇南通市通州區(qū)興仁小學(xué) 邱小東

培育學(xué)生數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”是當(dāng)下小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重。作為核心素養(yǎng)的重要組成，“幾何直觀”能力更是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要表征。所謂“直觀”，《中國大百科全書》解釋為：對客觀事物直接接觸而獲得的感性認(rèn)識；《辭?！罚ǖ?版）中的解釋是：感性認(rèn)識，其特點(diǎn)是生動性、具體性和直接性。所謂 “幾何直觀”，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的解釋是：利用圖形描述和分析問題。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以借助“幾何直觀”，引導(dǎo)學(xué)生描述、分析、解決問題。將抽象的數(shù)學(xué)變得形象、具體，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)感知，增進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)想象力、創(chuàng)造力，進(jìn)而培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、讀圖：讓學(xué)生運(yùn)用“幾何直觀”抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)

傳統(tǒng)的哲學(xué)觀認(rèn)為：人的認(rèn)識是從感性認(rèn)識逐漸上升發(fā)展為理性認(rèn)識的過程?，F(xiàn)象學(xué)哲學(xué)認(rèn)為：直觀有時能直接洞察本質(zhì)、把握本質(zhì)、抓住本質(zhì)，這就是一種“本質(zhì)直觀”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過“讀圖”，也能讓學(xué)生運(yùn)用“幾何直觀”直接抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)。這里的“圖”，不僅包括幾何圖形，而且包括實(shí)物圖、示意圖、線段圖，甚至包括韋恩圖、集合圖等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將“圖”與“式”、“圖”與“文”、“圖”與“數(shù)”等結(jié)合起來，發(fā)展學(xué)生的空間想象力、直觀洞察力以及運(yùn)用圖形語言思考問題的能力等。

例如，教學(xué)《分?jǐn)?shù)的意義》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊）時，筆者讓學(xué)生運(yùn)用“涂色”“對折”等方法表示分?jǐn)?shù)。通過畫、折，學(xué)生創(chuàng)造出了異常豐富的作品。這些作品概括起來主要有兩大類：其中第一類是圖形的形狀不同，有圓形、長方形、正方形、平行四邊形、菱形等，但都平均分成了4份，表示了其中的一份；第二類是大小不同，盡管都是用長方形、正方形來對折、涂色，但長方形的大小、正方形的大小卻不同。通過這樣的不同圖形的展示，教師可以引導(dǎo)學(xué)生反思：為什么這些圖形形狀不同、大小不同，但卻都可以用分?jǐn)?shù)來表示呢？學(xué)生發(fā)現(xiàn)，盡管形狀不同、大小不同，但由于都是將整個圖形平均分成4份，表示了其中的一份，因而都可以運(yùn)用來表示。在這個過程中，學(xué)生經(jīng)歷了一個直觀操作的過程，因而能夠深入地讀圖，在不同形狀、不同大小的圖形表征中讀出共同的本質(zhì)屬性，建構(gòu)起“分?jǐn)?shù)的意義”的數(shù)學(xué)模型。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，枯燥的、抽象的概念講解往往使學(xué)生生厭，而借助幾何直觀，可以讓學(xué)生形成對知識的本質(zhì)認(rèn)識。這種認(rèn)識不是黑格爾意義上地從現(xiàn)象到本質(zhì)，而是胡塞爾現(xiàn)象學(xué)意義上的“直觀即本質(zhì)”“現(xiàn)象即本質(zhì)”。相比較而言，學(xué)生這種對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)直觀的感受、體驗(yàn)比本質(zhì)推理、本質(zhì)抽象更深刻、更持久。

二、析圖：讓學(xué)生運(yùn)用“幾何直觀”理解數(shù)學(xué)本質(zhì)

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微。”在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以給學(xué)生提供直觀材料，引領(lǐng)學(xué)生對直觀材料進(jìn)行直觀分析，從而凸顯數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)意義。在研究數(shù)學(xué)問題時，借助“幾何直觀”能讓學(xué)生理解問題情境中的數(shù)學(xué)信息，讓復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得簡潔，讓抽象的數(shù)學(xué)概念變得形象，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)解決問題的思路。析圖，就是要引領(lǐng)學(xué)生在數(shù)與形之間穿行，引導(dǎo)學(xué)生借助圖形，對抽象的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析、探究、推導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生將直觀圖形語言與抽象數(shù)學(xué)語言結(jié)合起來。

例如，教學(xué)《反比例的意義》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級下冊）后，筆者出示了“正比例圖像”和“反比例圖像”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行讀解。首先，學(xué)生從整體上直觀地看到，正比例圖像是一條經(jīng)過原點(diǎn)的直線，反比例圖像是一條曲線。接著，筆者指出一些點(diǎn)，學(xué)生通過對圖像上的點(diǎn)的解讀，明晰了在平面直角坐標(biāo)系中，圖像上的“點(diǎn)”具有雙重意義，即這些點(diǎn)既刻畫橫軸的意義，也刻畫縱軸的意義。例如，在路程一定的“反比例圖像”上，學(xué)生通過圖像能夠迅速判定行駛速度所對應(yīng)的時間，也能夠判定行駛時間所對應(yīng)的速度，學(xué)生通過對不同的點(diǎn)的刻畫發(fā)現(xiàn)，路程一定的情況下，速度越大則需要的時間越少，速度越小則需要的時間越多，這正是成反比例的量所表征的感性意義。有了對正反比例意義圖像的感性認(rèn)識，學(xué)生在解決稍復(fù)雜的問題時，不僅能夠依據(jù)正反比例的意義對判別式進(jìn)行判斷，而且能夠繪制出圖像進(jìn)行具體的說明。例如，在判定“正方形的面積與邊長是否成正比例”時，學(xué)生在繪制圖像后驚異地發(fā)現(xiàn)，正方形的面積與邊長之間的圖像是一條類似于拋物體的線（拋物線）。這樣的基于對圖像進(jìn)行解讀的能力，能夠深化學(xué)生對知識的理解，為學(xué)生進(jìn)入初中進(jìn)一步學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)等奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

“幾何直觀”不僅是一種方法，還是一種思想。借助幾何直觀對問題展開具體分析，能夠讓復(fù)雜的問題變得簡單，讓枯燥的問題變得形象、生動，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)感受、體驗(yàn)變得更加深刻。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要依據(jù)學(xué)生年齡特點(diǎn)，以教材內(nèi)容為依托，構(gòu)筑從直觀到抽象的橋梁。讓學(xué)生借助“形”來思考、分析問題，形成解決問題的策略。

三、畫圖：讓學(xué)生運(yùn)用“幾何直觀”觸摸數(shù)學(xué)本質(zhì)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生解讀現(xiàn)成的示意圖，而且要引導(dǎo)學(xué)生用自己的雙手畫圖。通過畫圖，學(xué)生能夠運(yùn)用“幾何直觀”觸摸到數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。數(shù)學(xué)是抽象的，但是借助畫圖，學(xué)生就能將抽象的數(shù)學(xué)化為形象，將理性的數(shù)學(xué)變得感性。同時，通過畫圖，學(xué)生能夠?qū)⒆晕覂?nèi)隱的數(shù)學(xué)思維表征出來、外化出來。

例如，在教學(xué)《解決問題的策略》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊）時，對于這樣的例題筆者首先讓學(xué)生自主探究，積淀學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。有的學(xué)生運(yùn)用通分的方法，將公分母設(shè)定為16；有學(xué)生將例題化成小數(shù)進(jìn)行計(jì)算；還有學(xué)生從題目的前兩項(xiàng)、前三項(xiàng)的計(jì)算入手，探究這道題的規(guī)律。在學(xué)生自主探究的基礎(chǔ)上，筆者將例題“放大”，出示了這樣的習(xí)題這時通分、化成小數(shù)的方法已經(jīng)顯得捉襟見肘。在學(xué)生期待著更好的方法后，筆者畫出了一張正方形圖，表示單位“1”，讓學(xué)生用自己的筆表示分?jǐn)?shù)等。通過對圖的分析，學(xué)生理解“為什么，“為什么等等。在直觀圖形啟示下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)分母分別是1個2、2個2、3個2……，所以在直觀圖上可以依次將圖形剩下的部分平均分成2份，最后問題的本質(zhì)就是要求陰影部分，因而可以用單位“1”減去空白部分。據(jù)此，學(xué)生得出了數(shù)形結(jié)合的計(jì)算方法。 在這個過程中，學(xué)生體驗(yàn)到直觀圖形的作用、精妙。

瑞士著名教育心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為：“智慧自動作發(fā)端”。學(xué)生在畫圖的過程中，能夠調(diào)動自我的多種感官，將問題的本質(zhì)、特征等表征出來，從而獲得一種整體性、結(jié)構(gòu)性、動態(tài)性的認(rèn)知。借助這種對問題意義的深度認(rèn)知，學(xué)生能夠有效地解決問題，積淀數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，從而有效地培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

“一圖抵百語”從“圖導(dǎo)”走向“圖構(gòu)”，學(xué)生的幾何直觀意識、幾何直觀能力、幾何直觀素養(yǎng)等都獲得了有效的發(fā)展和提升。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分發(fā)揮“圖形”的功能，積累學(xué)生豐富的幾何直觀表象，讓學(xué)生能夠主動地借助幾何直觀圖來描述問題、分析問題和解決問題，進(jìn)而感知、理解、觸摸到數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。通過幾何直觀，積淀學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。?