泊松分布的幾點(diǎn)說明

河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部 趙曉艷

在介紹泊松分布之前，我們先介紹二項(xiàng)分布。泊松分布符合二項(xiàng)分布前提條件，是在二項(xiàng)分布基礎(chǔ)上的一種特殊分布。

一、二項(xiàng)分布

二項(xiàng)分布適合的類型：二項(xiàng)分布適用伯努利概型，即隨機(jī)事件A只有兩種結(jié)果，要么發(fā)生，要么不發(fā)生。如果我們假設(shè)事件A發(fā)生的概率為p，那么不發(fā)生的概率就是1-p。生活中比較典型的例子，比如投籃球、扔一枚硬幣、彩票中獎(jiǎng)、射擊目標(biāo)等，這些例子都是比較典型的伯努利概型。比如射擊，對(duì)于一個(gè)人來說，在某段時(shí)間內(nèi)射擊水平穩(wěn)定，每射擊一次，命中的概率為p，未命中的概率就是1-p。又比如一個(gè)人在某段時(shí)間內(nèi)投籃球命中率也是固定的，假設(shè)命中率是百分之六十，那么未命中的概率就是百分之四十。下面我們給出伯努利概率的具體定義。

n重伯努利試驗(yàn)：獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次伯努利試驗(yàn)，這一獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)序列為n重伯努利試驗(yàn)。

伯努利定理：假設(shè)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，在一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為p，在n重伯努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生K次概率為

下面介紹伯努利概型前提下的幾種分布。兩點(diǎn)分布：當(dāng)隨機(jī)變量X取值只有兩個(gè)，假設(shè)為對(duì)應(yīng)的概率為其中，如果則隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，記為用式子表示為則依此公式可列出隨機(jī)變量X的分布，也可以用表格，表格更加簡單明了，學(xué)生更容易理解運(yùn)用。有一種特殊情況，如果這時(shí)，隨機(jī)變量X的分布稱為0-1分布，容易看出，0-1分布是二項(xiàng)分布的一種特殊情況，它符合二項(xiàng)分布的所有特征，包括前提條件等?，F(xiàn)實(shí)生活中，比如投籃球、射擊等，就是非常典型的兩點(diǎn)分布，也是0-1分布。比如射擊，我們可以把命中記為未命中記為如果命中概率為百分之七十，那么未命中概率就是百分之三十，如果看作0-1分布的話，令即可。下面我們來介紹二項(xiàng)分布，此試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次，假設(shè)事件A發(fā)生的概率為p，記隨機(jī)變量X為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，當(dāng)隨機(jī)變量X所有可能取值為0、1….n，則隨機(jī)變量X的分布用式子可以表示為：若隨機(jī)變量X分布列為此形式，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為np的二項(xiàng)分布，記為當(dāng)然，也可用表格形式表示。此分布稱為二項(xiàng)分布，因其表達(dá)式和中學(xué)里的二項(xiàng)式定理展開式非常類似，因此叫作二項(xiàng)分布。當(dāng)二項(xiàng)分布中隨機(jī)變量X取值只有兩個(gè)時(shí)，二項(xiàng)分布即為兩點(diǎn)分布。由此我們可得：兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布的特例，而0-1分布又是兩點(diǎn)分布的特例。

二、泊松分布

二項(xiàng)分布中當(dāng)n非常大，但是同時(shí)事件A發(fā)生的概率p又非常小時(shí)，此時(shí)用二項(xiàng)分布中求概率公式已經(jīng)很難求出其值，例如，因?yàn)閚很大，p很小時(shí)，導(dǎo)致展開式非常難計(jì)算，有時(shí)候必須借助計(jì)算機(jī)才可以計(jì)算最終結(jié)果，這時(shí)候我們引入泊松分布，泊松分布在離散型分布中具有非常重要的意義，例如在一個(gè)醫(yī)院中，每個(gè)病人來看病都是隨機(jī)并獨(dú)立的概率，則該醫(yī)院一天（或者其他特定時(shí)間段，如一小時(shí)、一周等等）接納的病人總數(shù)可以看作是一個(gè)服從poisson分布的隨機(jī)變量。但是為什么可以這樣處理呢？最好的解釋方法是從poisson的兩種不同定義上著手。Poisson分布的第一個(gè)定義泊松分布：假設(shè)隨機(jī)變量X的分布為：，其中則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為 的泊松分布，記為這個(gè)定義就是我們平時(shí)考試或者理論工作時(shí)用的poisson隨機(jī)變量的定義。

泊松定理：在n重伯努利試驗(yàn)中，事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p，我們?nèi)t對(duì)任意確定非負(fù)整數(shù)k，有注意Poisson還有一個(gè)知名度比較小的第二個(gè)定義，或者說是Poisson Process定義：假定一個(gè)事件在一段時(shí)間內(nèi)隨機(jī)發(fā)生，且符合以下條件：（1）將該時(shí)間段無限分隔成若干個(gè)小的時(shí)間段，在這個(gè)接近于零的小時(shí)間段里，該事件發(fā)生一次的概率與這個(gè)極小時(shí)間段的長度成正比。 （2）在每一個(gè)極小時(shí)間段內(nèi)，該事件發(fā)生兩次及以上的概率恒等于零。（3）該事件在不同的小時(shí)間段里，發(fā)生與否相互獨(dú)立。 則該事件稱為poisson process。這個(gè)第二定義就更加利于大家理解了，回到醫(yī)院的例子之中，如果我們把一天分成24個(gè)小時(shí)，或者24×60分鐘，或者24×3600秒。時(shí)間分得越短，這個(gè)時(shí)間段里來病人的概率就越?。ū热玑t(yī)院在正午12點(diǎn)到正午12點(diǎn)又一毫秒之間來病人的概率是不是很接近于零？）。條件一符合，如果我們把時(shí)間分得很細(xì)很細(xì)，條件二也符合。條件三的要求比較苛刻，應(yīng)用到實(shí)際例子中就是說病人們來醫(yī)院的概率必須是相互獨(dú)立的，如果不是，則不能看作是poisson分布。問題是為什么現(xiàn)實(shí)生活中的情況（如醫(yī)院例子）會(huì)服從poisson分布的第一定義?現(xiàn)在有了第二定義作為橋梁，應(yīng)該就很容易理解了?，F(xiàn)實(shí)生活中的例子中如果事件相互獨(dú)立，那么它就是符合poisson分布的第二定義的。而從poisson第二定義到poisson第一定義之間是有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明的。因?yàn)椴此煞植荚趯?shí)際生活應(yīng)用中有廣泛的現(xiàn)實(shí)背景和意義，比較典型的例子有在某一個(gè)紅綠燈路口發(fā)生交通事故的件數(shù)、一個(gè)紗線廠紗線在某一段時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)的斷頭數(shù)、某縣年齡在100歲以上居民人口數(shù)、火山在某時(shí)間段內(nèi)噴發(fā)次數(shù)等等，這些例子都有一個(gè)共同特征，那就是這些事件都是稀有事件，發(fā)生次數(shù)服從或者近似服從泊松分布。所謂稀有事件，即為每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率非常小，如洪水、火山噴發(fā)、地震、工廠出現(xiàn)次品乃至銀行印鈔機(jī)印出錯(cuò)鈔都屬于此事件，這種情況一般都是n很大，p很小，這時(shí)候雖然試驗(yàn)都符合伯努利概型，也可以用二項(xiàng)分布概率公式求出，但是出現(xiàn)一個(gè)很難解決的問題：大部分概率利用此公式計(jì)算起來都非常困難，這時(shí)候二項(xiàng)分布可以近似為泊松分布，利用泊松分布概率分布表，即可求出概率。

接下來我們看一個(gè)例子：設(shè)某保險(xiǎn)公司的某人壽險(xiǎn)種有2000人投保，每個(gè)人在一年內(nèi)死亡的概率為0.002，且每個(gè)人在一年內(nèi)是否死亡相互獨(dú)立，試求在未來一年這2000人中死亡人數(shù)不超過8人的概率。此問題屬于伯努利概型，符合二項(xiàng)分布，且從題中可以看出，n=2000，p=0.002，我們先用二項(xiàng)分布解決這個(gè)問題：如果利用二項(xiàng)分布公式計(jì)算，需要計(jì)算8個(gè)式子，況且每一個(gè)式子都需要計(jì)算機(jī)才能計(jì)算出結(jié)果，但同時(shí)我們發(fā)現(xiàn)此案例中，n很大，p很小，np=4，符合泊松分布，因此我們轉(zhuǎn)換思路，利用泊松分布計(jì)算。我們假設(shè)2000個(gè)投保人在一年內(nèi)死亡人數(shù)為X，則2000個(gè)投保人在一年內(nèi)死亡人數(shù)不超過8人的概率為：由此可得2000個(gè)投保人在一年內(nèi)死亡人數(shù)不超過8人概率為0.9781，非常接近百分之百，由此結(jié)果我們可以看出，雖然投保人達(dá)到2000人，但是因?yàn)楦怕史浅Ｐ?，最后得到一年?nèi)死亡人數(shù)不超過8人幾乎是絕對(duì)的，由此保險(xiǎn)公司可制定出適宜的政策，從而獲得最大收益。

本文主要講了泊松分布的幾點(diǎn)重要的說明。首先介紹0-1分布和兩點(diǎn)分布，給出了具體形式和適用前提條件，然后引出二項(xiàng)分布，通過分析我們得出0-1分布是兩點(diǎn)分布的特例，兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布的特例，進(jìn)而我們又通過二項(xiàng)分布引出泊松分布，給出了泊松分布的背景和研究意義，又得出二項(xiàng)分布可視為泊松分布的條件，并且給出在此條件下為何二項(xiàng)分布可視為泊松分布。同時(shí)我們又給出讀者典型案例，說明泊松分布在計(jì)算中的重要性，最后給出本文小結(jié)。

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