巧用數(shù)學(xué)模型，引發(fā)深度思考

江蘇省淮安市實(shí)驗(yàn)小學(xué) 萬春紅

數(shù)學(xué)知識之間存在各種結(jié)構(gòu)性的關(guān)系。教學(xué)實(shí)踐表明，將數(shù)學(xué)知識由點(diǎn)串成線，形成知識網(wǎng)絡(luò)，能讓學(xué)生更清晰、深刻地感知數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。模型思想作為《課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》修訂新增的核心概念之一，揭示的就是數(shù)學(xué)對象內(nèi)在的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，它直接指向數(shù)學(xué)本質(zhì)，抓住了數(shù)學(xué)最核心的部分。數(shù)學(xué)課堂中，重視建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，能引領(lǐng)學(xué)生的思維向縱深發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生對知識進(jìn)行追本溯源的深度思考與探究。

一、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的意義

建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，有助于學(xué)生知識結(jié)構(gòu)化：學(xué)生的學(xué)習(xí)活動不是簡單地聽取和吸收教師授予的知識，而是通過已有的知識和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行探究、碰撞，把握知識再加工的建構(gòu)過程，從而把新知納入自己的知識體系中。數(shù)學(xué)模型能將學(xué)生散落的知識點(diǎn)穿珠成串，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生深入理解知識本質(zhì)。建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，有助于學(xué)生思維走向深刻，同時(shí)，有助于學(xué)生探索能力的提升。

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的實(shí)踐與探索

數(shù)學(xué)模型突出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的形式化表達(dá)，注重對學(xué)生簡約化的理性思維訓(xùn)練。數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷建模的過程，發(fā)揮模型思想在學(xué)生思維發(fā)展中的作用，下面簡述自己在教學(xué)中的實(shí)踐與探索。

1．在情境中初步感知數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)源于生活，用于生活，很多不同的生活原型中包含相同的數(shù)學(xué)模型，教學(xué)中，教師要善于尋找生活中與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有關(guān)的素材，及時(shí)引入課堂，將學(xué)習(xí)內(nèi)容通過生活情境的方式展示給學(xué)生，激活學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，讓他們感受其中隱含的數(shù)學(xué)問題，促使學(xué)生將生活問題抽象成數(shù)學(xué)問題，感知數(shù)學(xué)模型的存在。

如在教學(xué)《認(rèn)識11～20各數(shù)》時(shí)，教師從教室里常用的“評比欄”引入，老師每表揚(yáng)一次小朋友，就會在“評比欄”內(nèi)為他貼一個(gè)“笑臉”。當(dāng)學(xué)生得到的“笑臉”個(gè)數(shù)太多，格子不夠用時(shí)，怎么辦呢？學(xué)生思考交流后，教師出示辦法：當(dāng)“笑臉”個(gè)數(shù)滿十個(gè)，就把它們換成一顆“大拇指”。接著，數(shù)一數(shù)幾個(gè)小朋友分別得到幾顆“笑臉”。數(shù)的時(shí)候，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)貼“大拇指”的格子數(shù)起來很方便。這個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)初步讓學(xué)生感知10個(gè)一可以換成1個(gè)十。

接著，教師向?qū)W生介紹古人的石子計(jì)數(shù)法：數(shù)一個(gè)物體，就在地上放一塊小石子，當(dāng)數(shù)量太多，小石子不夠用時(shí)，人們就用一個(gè)大石頭代替10個(gè)小石子，再一次讓學(xué)生感受到10個(gè)一換成1個(gè)十源于生活的需要。

兩次替換后，教師提出活動要求：“數(shù)出11根小棒，怎樣擺能一眼看出是11根？”學(xué)生有了前兩次替換的經(jīng)驗(yàn)，可能會很快想到可以把10根小棒換成一根大的。怎樣換呢？十根全部合到一起就可以了。學(xué)生可以初步感知：隨著數(shù)的數(shù)量逐漸變多，一一對應(yīng)的計(jì)數(shù)方法過于煩瑣，因此，一個(gè)新的比“一”大的計(jì)數(shù)單位產(chǎn)生了，它表示“10個(gè)一”。這個(gè)教學(xué)過程呈現(xiàn)了概念逐漸發(fā)展、抽象的過程，學(xué)生的腦海里產(chǎn)生初步的模型：1個(gè)十可以替換10個(gè)一。

2．在數(shù)學(xué)活動中建立數(shù)學(xué)模型

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)教學(xué)要由重視“結(jié)果性”轉(zhuǎn)變?yōu)椤敖Y(jié)果性與過程性并重”。課堂教學(xué)中，教師要努力讓學(xué)生親歷知識的發(fā)生、發(fā)展過程，從而建構(gòu)新的知識體系。

例如，在教學(xué)“認(rèn)識長方形和正方形”時(shí)，探究長方形特征時(shí)，教師提出“長方形對邊相等怎么驗(yàn)證？你有什么好的建議？”

師：請大家拿出課前準(zhǔn)備好的工具，動手驗(yàn)證一下。

生1：我是用測量的方法，先量出長方形的一條邊，再量出它的對邊，然后比較，發(fā)現(xiàn)長度相同。

生2：我是用折的方法，把長方形左右對折，兩條邊完全重合，說明長方形左右兩邊長度相等。把長方形上下對折，發(fā)現(xiàn)長方形上下兩條邊長度也相等。

師：我們通過量或折發(fā)現(xiàn)長方形對邊相等，那么長方形的角有什么特征呢？是不是四個(gè)角都是直角呢？你能驗(yàn)證一下嗎？

本課中，學(xué)生借助長方形紙和尺子，自主探索驗(yàn)證了長方形對邊相等，并把驗(yàn)證長度的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ綉?yīng)用到驗(yàn)證角度，讓被動接受轉(zhuǎn)化為主動建構(gòu)，經(jīng)歷了自主探索、驗(yàn)證猜想的過程，構(gòu)建了數(shù)學(xué)模型。

3．在交流碰撞中完善數(shù)學(xué)模型

合作交流是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提倡的有意義的學(xué)習(xí)方式之一。在數(shù)學(xué)活動中，學(xué)生會以已有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)來建構(gòu)對知識的理解，通過合作交流，傾聽別人的看法、教師的點(diǎn)撥，和自己的經(jīng)驗(yàn)、理解進(jìn)行碰撞、交互，從而完善自己的知識體系。

例如，在教學(xué)《認(rèn)識11～20各數(shù)》時(shí)，學(xué)生認(rèn)識了10個(gè)一是1個(gè)十，初步感知先擺一捆，再擺1根，能一眼看出是11根。教師讓學(xué)生快速拿出12根小棒，鞏固“一個(gè)十”的模型，了解12里有1個(gè)十和2個(gè)一。

師：你還想擺出十幾呢？

師：告訴你的同桌，你是怎樣擺的？

匯報(bào)交流：

生1：我擺了13根，擺一捆，再擺3根。

生2：我擺了15根，一捆加5根。

生3：我擺了18根，先擺1捆，再擺8根。

……

學(xué)生列舉自己的擺法，師板書并追問：我們擺的這些數(shù)有什么相同的地方？同桌交流后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)十幾就是一捆加幾根，“十幾”的模型已經(jīng)清晰可見。估一估、數(shù)一數(shù)環(huán)節(jié)，數(shù)草莓時(shí)，學(xué)生估計(jì)可能有十幾個(gè)。師：怎樣能一眼看出是十幾個(gè)呢?擺小棒的方法在這里可以用嗎？通過教師點(diǎn)撥，學(xué)生很快想到數(shù)到10個(gè)的時(shí)候可以圈起來，這樣方便看出是十幾。

學(xué)生在交流展示、教師追問、點(diǎn)撥中，自己的經(jīng)驗(yàn)理解與他人的經(jīng)驗(yàn)相互融合，數(shù)的概念模型也得到了補(bǔ)充和完善。

模型思想的滲透是一個(gè)長期的過程，學(xué)生的知識模型是在一次次的數(shù)學(xué)活動中建立與發(fā)展，并不斷修正，完善。在教學(xué)活動中，要讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程，并有意識地引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)經(jīng)歷從模糊到清晰的過程，引發(fā)學(xué)生深度思考,從而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。