解析高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題的解題方法及技巧

江蘇省海門實(shí)驗(yàn)學(xué)校 陸春東

數(shù)列是高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中需要掌握的重要知識(shí)，數(shù)列與方程、函數(shù)、不等式之間有著緊密聯(lián)系，數(shù)列題型復(fù)雜多變，學(xué)生在解題中極易產(chǎn)生困擾。高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)格外關(guān)注數(shù)列教學(xué)，尤其是有關(guān)數(shù)列試題的解題方法和技巧，更要進(jìn)行專門訓(xùn)練，幫助學(xué)生掌握和數(shù)列相關(guān)的解題方法及技巧，使其能夠準(zhǔn)確、快速地解決數(shù)列問題，提升學(xué)習(xí)自信。

一、牢固掌握基礎(chǔ)數(shù)列公式，運(yùn)用公式原理解答試題

在高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)體系中，包括等差數(shù)列和等比數(shù)列兩大類型，考查數(shù)列概念的試題較為普遍，主要體現(xiàn)在求和公式與通項(xiàng)公式兩個(gè)方面，只需要求學(xué)生反復(fù)朗讀、背誦和記憶即可，他們就能夠很好地理解和掌握數(shù)列公式，在面對(duì)此類試題時(shí)，可以在短時(shí)間內(nèi)求出正確答案。同時(shí)，合理利用求和公式和通項(xiàng)公式，是理解基礎(chǔ)數(shù)列知識(shí)和分析典型數(shù)列試題的基本體現(xiàn)，通過分析和解決試題，可以幫助學(xué)生有效掌握有關(guān)數(shù)列公式的規(guī)律。

比如，教師設(shè)置試題：已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1=1，a1，a3，a9成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn。解析：根據(jù)題意可得該等差數(shù)列的公差d≠0，因?yàn)閍1=1，a1，a3，a9成等比數(shù)列，得出（1+2d）2=（1+8d），解出d=0（舍去）或d=1，所以{an}的通項(xiàng)公式an=1+（n-1）×1=n。根據(jù){an}的通項(xiàng)公式可得，根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式能夠得出：在解答完題目之后，教師需帶領(lǐng)學(xué)生回顧解題思路，總結(jié)和歸納該類題型的解題技巧。

在上述案例中，教師通過設(shè)置基礎(chǔ)性數(shù)列試題，要求學(xué)生對(duì)基本的等比數(shù)列公式和等差數(shù)列公式熟練掌握和透徹理解，學(xué)會(huì)科學(xué)、恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用公式思考和解析試題。扎實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能是開展深入學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和前提，無論在哪個(gè)環(huán)節(jié)，我們都需要開展深入而有效的基礎(chǔ)訓(xùn)練和學(xué)法指導(dǎo)，不積跬步無以至千里。

二、靈活運(yùn)用數(shù)列性質(zhì)解題，實(shí)現(xiàn)解答試題的高效性

在近年來的高考數(shù)學(xué)數(shù)列試題中，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列基本性質(zhì)的題目有很多，雖然部分題型解答起來較為容易，只需套入相應(yīng)的公式即可，不過有的試題難度較大，考查學(xué)生的邏輯思維能力，這就要求他們?cè)趯W(xué)習(xí)中既形成基本的數(shù)列素養(yǎng)，還要能夠?qū)菰锓ξ兜闹R(shí)進(jìn)行靈活運(yùn)用，不斷拓展有關(guān)數(shù)列方面的知識(shí)，不斷豐富學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備。所以，高中數(shù)學(xué)教師需引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)列性質(zhì)解題，解答試題時(shí)表現(xiàn)得更加高效。

例如：在等比數(shù)列{an}中，an＞0(n∈N＊），公比q∈（0，1），且 a1a5+2a3a5+a2a8=25，a3與 a5的等比中項(xiàng)是 2。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。（2）設(shè)bn=log2an，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和是當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，n的值是什么？解析：因?yàn)閯t，由題意可知an＞0，所以可得a3+a5=5，又因?yàn)閍3與a5的等比中項(xiàng)是2，所以a3a5=4。而 q∈（0，1），則由此解得則a1=16，故數(shù)列由bn=log2an及an=25-n可得bn=5-n,bn+1-bn=-1,故數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為4，公差為-1的等差數(shù)列。則當(dāng)n≤8時(shí)，當(dāng)n=9時(shí)，=0；當(dāng)n＞9時(shí)，故當(dāng)n=8或9時(shí)，的值最大。

如此，該試題主要考查數(shù)列的基本性質(zhì)，特別是等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)，學(xué)生可以采用配方法和函數(shù)的單調(diào)性來求數(shù)列的最值，從而高效解答試題。題目是無限的，而方法是有限的，教師要通過科學(xué)引導(dǎo)來啟發(fā)學(xué)生開展針對(duì)性的專題訓(xùn)練，讓學(xué)生在訓(xùn)練中提升專題復(fù)習(xí)的效果，達(dá)成由此及彼、舉一反三的效果。

三、采用通用數(shù)列解題技巧，幫助學(xué)生快速求解試題

隨著對(duì)高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)的深入學(xué)習(xí)，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)最普遍和形式最多的試題是對(duì)通用解題方法和技巧的考查，這就需要重點(diǎn)訓(xùn)練采用通用解題方法技巧處理試題，使其能夠快速求解試題。由于高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題的性質(zhì)比較獨(dú)特，學(xué)生在解題過程中的思維模式應(yīng)當(dāng)始終保持活躍，把特殊的數(shù)列進(jìn)行合理拆分或合并，真正找到解題的突破點(diǎn)，之后根據(jù)題意靈活采用錯(cuò)位相減法、分組求和法、疊乘法、倒數(shù)法、倒序相加法等。

例如：在數(shù)列{an}中，a=1，且點(diǎn)（an，an+1）（n∈N＊）在函數(shù)f（x）=x+2的圖像上。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。（2）在數(shù)列{an}中抽取出第2，4，6，8……2n項(xiàng)，形成新的數(shù)列{bn}，那么數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn分別是什么？解析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)（an，an+1）在函數(shù)f（x）=x+2的圖像上，所以an+1=an+2，即an+1-an=2，故數(shù)列{an}是一個(gè)等差數(shù)列，其中首項(xiàng)a1=1，公差d=2，則an=1+（n-1）×2=2n-1。（2）根據(jù)題意可得 bn=a2n=4n-1，Sn=b1+b2+b3+…+bn=n（2n+1）。

上述案例，學(xué)生把數(shù)列中的每一項(xiàng)分成多項(xiàng)，再將數(shù)列的項(xiàng)進(jìn)行重新組合，使其轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列，之后采用等差數(shù)列或等比數(shù)列求和公式進(jìn)行求解，快速求出答案。在此，我們可以發(fā)現(xiàn)方法的重要性和必要性，在這個(gè)環(huán)節(jié)，我們教師需要啟發(fā)學(xué)生對(duì)方法與思想進(jìn)行積累與對(duì)比，在有效的、針對(duì)性的訓(xùn)練中提升學(xué)生對(duì)方法與思想的領(lǐng)悟深度，并逐漸轉(zhuǎn)化為學(xué)生自身的素養(yǎng)。

在高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題解題實(shí)踐中，教師需要根據(jù)學(xué)生在解題中遇到的實(shí)際情況或困惑進(jìn)行深入解析，幫助他們不斷完善和優(yōu)化解題方法及技巧，使其牢固掌握基礎(chǔ)數(shù)列公式，靈活運(yùn)用數(shù)列性質(zhì)，指導(dǎo)學(xué)生掌握多個(gè)通用的解題方法及技巧，全力提高他們的數(shù)列解題水平。