高中解析幾何試題探究

安徽省馬鞍山市和縣第二中學(xué) 鮑書齋

解析幾何是高考數(shù)學(xué)科目中的重要內(nèi)容，其課程難度算是中等，例題樣式卻層出不窮，需要學(xué)生去反復(fù)練習(xí)和大量記憶。解析幾何大體內(nèi)容可以分為直線和圓、橢圓、雙曲線和拋物線，主要的考點(diǎn)集中在求曲線方程、直線與圓錐曲線的交點(diǎn)、曲線的最（極）值和探求曲線方程中幾何量極參數(shù)間的數(shù)量特征這幾個(gè)方面。本文根據(jù)筆者的教學(xué)實(shí)踐和與其他教師交流經(jīng)驗(yàn)，整合和梳理了高中解析幾何方面的問題和解題思路。

一、學(xué)生在高中解析幾何學(xué)習(xí)中所遇到的問題

首先是部分學(xué)生的代數(shù)運(yùn)算能力不足，解析幾何不可避免地要涉及一定的運(yùn)算，如果學(xué)生運(yùn)算能力不足，就會(huì)阻礙學(xué)生進(jìn)一步吸收解析幾何的知識(shí)。有些學(xué)生的運(yùn)算習(xí)慣不好，基本運(yùn)算能力偏弱；有些學(xué)生忽視運(yùn)算的幾何意義，一味靠代數(shù)運(yùn)算；還有些學(xué)生運(yùn)算時(shí)思路不靈活，喜歡單向運(yùn)算；另外一些學(xué)生沒有對(duì)如何引入?yún)?shù)進(jìn)行深入思考，導(dǎo)致解析幾何運(yùn)算走錯(cuò)方向。

其次是部分學(xué)生對(duì)平面幾何這一學(xué)科分支的基本思想理解有偏差，解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來研究幾何問題，而兩者之間的橋梁就是平面直角坐標(biāo)系，通過建立直角坐標(biāo)系，我們用坐標(biāo)

表示點(diǎn)，用方程 表示曲線，最后用方程研究曲線。但很多學(xué)生缺少用幾何眼光來觀察問題的能力，一味地將幾何問題代數(shù)化，從而陷入了復(fù)雜的運(yùn)算。有些問題不僅需要將幾何條件代數(shù)化，還要從幾何的角度去看轉(zhuǎn)化后的代數(shù)問題。

再次，解析幾何的本身特點(diǎn)讓其學(xué)習(xí)有一定的難度，第一，解析幾何具有代數(shù)和幾何兩方面的特征，這就讓學(xué)生很容易就顧此失彼；第二，解析幾何的思考方法具有一定的抽象性，學(xué)生很容易淹沒在具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容中，迷失解析幾何的意義；第三，解析幾何的解決途徑一般都比較多，選擇解決途徑本身就對(duì)學(xué)生有一定的難度。

最后，有些教師的專業(yè)知識(shí)不足，教學(xué)方法不當(dāng)，只知道使用各類習(xí)題“狂轟濫炸”，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)于解析幾何的深刻性難以理解。比如，我在教導(dǎo)學(xué)生“斜率的概念”時(shí)，就不會(huì)讓學(xué)生在獲得公式后直接開始練習(xí)，而是讓學(xué)生放下公式的束縛，發(fā)掘公式推導(dǎo)與證明方法，進(jìn)而去理解方法背后本質(zhì)的降維轉(zhuǎn)化的思想，這對(duì)于學(xué)習(xí)解析幾何之后的內(nèi)容大有裨益。

二、具體試題分析探究

1.直線及其方程

教師要從總體上把握兩個(gè)突破點(diǎn)：首先，明確基本的概念。在直線部分，最主要的概念就是直線的傾斜角和斜率；其次，是直線方程的不同形式，教師可以讓學(xué)生嘗試從不同的角度去歸類。

2.線性規(guī)劃

需要教師指導(dǎo)學(xué)生明白線性規(guī)劃方程組所表示的區(qū)域。原點(diǎn)法是應(yīng)用于線性規(guī)劃的一種很好的解題思路，如果滿足條件，那么區(qū)域包含原點(diǎn)；如果原點(diǎn)代入不滿足條件，那么代表的區(qū)域不包含原點(diǎn)。

3.圓及其方程

學(xué)生要熟記圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程分別代表的含義。對(duì)于圓部分的學(xué)習(xí)就是對(duì)于初中數(shù)學(xué)有關(guān)圓的部分的一次拓展，只有完成了對(duì)于以前知識(shí)的拓展，學(xué)生才能更加完整地掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)。

比如：“平行于直線2x+y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線方程是（ ）。”直線是二元對(duì)象，兩個(gè)獨(dú)立條件就可以確定它的方程，所求直線與直線2x+y+1=0平行，故在此條件下，所求直線就成了一元數(shù)學(xué)對(duì)象2x+y+c=0。在直線與圓x2+y2=5相切的條件下，所求直線中的c就可以確定，從而確定答案為2x+y+5=0或2x+y-5=0。

4.關(guān)于拋物線、橢圓、雙曲線

教師要讓學(xué)生明白焦點(diǎn)的來源、準(zhǔn)線方程以及相關(guān)的焦距、頂點(diǎn)、離心率、通徑的概念。點(diǎn)差法也是在橢圓的題目中經(jīng)常運(yùn)用的一種方法，盡管范圍不是很廣，但如果能用點(diǎn)差法做的題目，會(huì)比常規(guī)方法簡(jiǎn)單很多。該類題目大都涉及弦的中點(diǎn)，設(shè)橢圓上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，將兩點(diǎn)在橢圓上的方程相減，整理即可得到這兩點(diǎn)中點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)與這兩點(diǎn)連線的斜率的關(guān)系式，或者說得到兩點(diǎn)連線斜率和中點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率積。

比如：“已知拋物線y=ax2-1的焦點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則拋物線與兩坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為__________。”從拋物線y=ax2-1的焦點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)可得a=-，則其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，-1），（-2,0），（2,0），則以這三點(diǎn)圍成的三角形面積為

總之，解析幾何題目不僅需要學(xué)生付出耐心去學(xué)習(xí)，更需要教師在一旁耐心教導(dǎo)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)和主動(dòng)探究能力，還要鍛煉學(xué)生的運(yùn)算速度和準(zhǔn)確率，這樣雙方都進(jìn)行努力，一定能讓學(xué)生在解析幾何的學(xué)習(xí)中獲得突破。