一個不等式恒成立問題的求解與思考

沈良

不等關(guān)系與相等關(guān)系是客觀事物的基本數(shù)量關(guān)系，是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容，“數(shù)量、變量之間相等與不等關(guān)系”的研究成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要課題，不等式是一種數(shù)學(xué)表示形式，描述若干個量之間的不等關(guān)系，等式刻畫的是若干個量之間的相等關(guān)系，不等式作為刻畫不等關(guān)系的重要代表，如同方程是刻畫相等關(guān)系的重要代表一樣，是數(shù)學(xué)的重要研究對象，也因此，不等式恒成立條件下求參數(shù)取值范圍成為數(shù)學(xué)考查中的一類經(jīng)典問題。

不等式恒成立問題歷來是高考的熱點和重點，以變量與參數(shù)共存的不等式為背景來考量學(xué)生能較好考查學(xué)生思維的靈活性、深刻性與辯證性，能較好考查學(xué)生的知識技能、思想方法與能力素質(zhì)等，因此在每年的高考與模擬試題中這方面的問題也是精彩豐呈，下面，筆者就對新疆維吾爾自治區(qū)2017年普通高考第二次適應(yīng)性檢測第21題，這個有關(guān)不等式恒成立條件下求參數(shù)值問題，從多樣解法、蘊涵幾何背景、滲透思想方法、知識拓展及教學(xué)啟示等角度進行探討。

1題意分析

分析本題第1小題為函數(shù)單調(diào)性的判斷，主要是求導(dǎo)后研究導(dǎo)函數(shù)取值的正負(fù)問題，同時（1）問又為（2）問做好熱身;第2小題條件中為一個不等式恒成立問題，求解的是a的所有可能的取值的集合，這也是本題的巧妙所在，與通常在不等式恒成立條件下求參數(shù)范圍不同，本題求解的是以的具體值，題目條件簡潔清爽，簡約而不簡單，蘊含多種解法，蘊含豐富幾何意義，解決本題需要學(xué)生有一定的分類討論能力、數(shù)形結(jié)合能力、推理論證能力及較好的計算能力等，很好體現(xiàn)了試題能力立意的的特點。

2解法探究

解法2分離參數(shù)法

對于不等式恒成立問題，我們自然還會想到分離參數(shù)法（或稱分離變量法）。

解法3數(shù)形結(jié)合法

對于不等式恒成立問題，我們自然還會聯(lián)想到轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象問題研究。

3教學(xué)啟示

（1）抓住知識本質(zhì)教學(xué)

（2）融入數(shù)學(xué)思想方法

從上述問題的解決，可以看到，數(shù)學(xué)思想方法在問題解決中起著一種高屋建瓴的指導(dǎo)作用，如不等式與方程、函數(shù)的互化，實現(xiàn)了不等式的有效轉(zhuǎn)化;如運用數(shù)形結(jié)合的方法，實現(xiàn)“以形觀數(shù)”，直觀明了，特別是運用函數(shù)圖象解決不等式問題非常巧妙，簡化了許多計算;如轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，有效實現(xiàn)參變量分離，數(shù)學(xué)思想是知識的精髓，是方法的精神，是對知識與方法的高度概括與提煉，而數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化，是在數(shù)學(xué)的提出、解決數(shù)學(xué)內(nèi)部問題或?qū)嶋H問題過程中所采用的各種方式、手段、途徑等，具有實踐性，若說數(shù)學(xué)方法是外顯的，那么數(shù)學(xué)思想可以說是內(nèi)隱的，數(shù)學(xué)思想能更深刻地反映數(shù)學(xué)對象之間的內(nèi)在關(guān)系，是進一步對數(shù)學(xué)方法的概括與升華，教學(xué)中，有機融入數(shù)學(xué)思想方法，有助于提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（3）宏觀與微觀相結(jié)合

數(shù)學(xué)教學(xué)要注重整體格局的把握，要注重將宏觀與微觀結(jié)合，宏觀是大的方向，大的背景，它是學(xué)生問題解決的總體思路，具體如思想方法的引導(dǎo);微觀即是小的技巧，問題的切入點，問題解決細(xì)膩的處理，反映的是面對問題解決中不同的情境采用的方法，本題中，于教師而言不僅宏觀上需要知曉這三種處理方法，而且微觀上也需要掌握這三種處理方法應(yīng)用的具體知識;于學(xué)生而言，因為有些知識超越了學(xué)生的認(rèn)知能力，不妨點到為止，但宏觀上可以將上述方法2與方法3的思路與學(xué)生分享，不僅體現(xiàn)知識方法完整性，也體現(xiàn)數(shù)學(xué)的解法的多樣性和簡潔性，解題教學(xué)中，宏觀與微觀相結(jié)合，有助于學(xué)生厘清思路，把握問題本質(zhì)。

參考文獻

[1]金雪根.抓住本質(zhì)、突出主線、促進發(fā)展：例談關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的課堂教學(xué)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2011（7）：87-98