數(shù)學文化“教與考”良性蝴蝶效應的若干思考

林錦鶯

數(shù)學作為一種文化現(xiàn)象一直伴隨在人們身邊，也早已成為人們生活中的常識，而數(shù)學文化也一直都不是新鮮事物，只不過大家都視而不見，或淺嘗輒止，令人欣慰的是目前中高考考試卷中出現(xiàn)許多與數(shù)學文化相關的試題，這促使我們去探尋什么是數(shù)學文化，通過數(shù)學文化的教學和考查，讓它成為事物變化良性蝴蝶效應的初始條件，從而樹立良好的數(shù)學文化教育理念，讓學生了解數(shù)學歷史，拓寬數(shù)學思維，感悟數(shù)學思想，提高數(shù)學素養(yǎng)，學會用理性的視角觀察世界、解決生活中各種問題，本文將從數(shù)學文化的教學與考查出發(fā)，詳細分析數(shù)學文化在這兩個維度中所產生的良性蝴蝶效應，對如何更好地執(zhí)行教學與考查進行深入探討，進而希望達到提高學生數(shù)學素養(yǎng)的目的。

1數(shù)學文化的釋義

數(shù)學是人類生產生活中智慧的結晶，美國數(shù)學家柯朗說：數(shù)學，作為人類智慧的一種表達形式，反映生動活潑的意念，深入細致的思考，以及完美和諧的愿望，它的基礎是邏輯和直覺，分析和推理，共性和個性，恩格斯說：數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的一門科學[1].數(shù)學在生活中產生的巨大應用無所不在，著名數(shù)學家華羅庚在“大哉數(shù)學之為用”一文中精彩地敘述了數(shù)學的各種應用：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁等各個方面，無處不有數(shù)學的重要貢獻，人們承認數(shù)學的巨大應用價值，然而數(shù)學到底存不存在文化之說，許多人表示懷疑，什么是文化，籠統(tǒng)地說，文化是一種社會現(xiàn)象，是人們長期創(chuàng)造形成的產物，同時又是一種歷史現(xiàn)象，是社會歷史的積淀物，確切地說，文化是能夠被傳承的，世界的、國家的或民族的歷史、地理、風土人情、傳統(tǒng)習俗、生活方式、文學藝術、行為規(guī)范、思維方式、價值觀念等，是人類之間進行交流的、普遍認可的一種能夠傳承的意識形態(tài)，數(shù)學的歷史和人類的歷史幾乎一樣長，數(shù)學本身的發(fā)展史就是社會歷史發(fā)展史的一部分，具有重要的文化意義，數(shù)學的哲學理性精神、抽象邏輯思想方法，數(shù)學呈現(xiàn)出來的藝術和諧美等等都彰顯出數(shù)學獨特文化特點，

參照“文化”的定義，數(shù)學文化可以定義為：人類在社會歷史發(fā)展中所創(chuàng)造的與數(shù)學有關的物質財富和精神財富的總和，特別是與數(shù)學有關的精神財富，如數(shù)學文學、數(shù)學藝術、數(shù)學教育、數(shù)學科學等，《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》在開篇的“基本理念”部分，對數(shù)學學科性質作了這樣定性：“數(shù)學是人類的一種文化，它的內容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分，”《普通高中數(shù)學課程標準（實驗稿）》指出：“數(shù)學是人類文化的重要組成部分，數(shù)學是人類社會進步的產物，也是推動社會發(fā)展的動力，”可見數(shù)學不僅是文化，還是學生時代必須深入研究的文化，目前我國數(shù)學新教材就“數(shù)學文化”內容的選材來說是豐富多彩的，主要有顯性的專題和隱性的專題這兩種呈現(xiàn)形式，其中，顯性的專題呈現(xiàn)形式主要以“閱讀材料”和“讀一讀”等形式來體現(xiàn)“數(shù)學文化的內容”;隱性的專題呈現(xiàn)形式通過注重“數(shù)學文化”內容與數(shù)學知識的結合的形式進行間接體現(xiàn)，主要通過數(shù)學史料的介紹、與其它學科的聯(lián)系、現(xiàn)代信息技術的運用、數(shù)學應用、數(shù)學游戲的開展以及通過章首圖或插圖的設計等形式來體現(xiàn)數(shù)學文化[2].

2數(shù)學文化教學的良性蝴蝶效應

1963年，美國麻省理工學院氣象學家洛倫茲在一次試驗中，對初始輸入數(shù)據(jù)0.506提高精度到0.506127再代回計算，結果本來只是0.000127這樣微小的差距，結果卻偏離了十萬八千里，洛倫茲認定，他發(fā)現(xiàn)了新的現(xiàn)象：事物發(fā)展的結果，對初始條件具有極為敏感的依賴性，即“混沌”，又稱為“蝴蝶效應”，在1979年一次演講中他把這一效應做了形象的比喻：一只蝴蝶在巴西叢林中偶然的扇動翅膀，產生氣流，引起連鎖反應，可能會在美國的德克薩斯掀起一場龍卷風，從那以后，“蝴蝶效應”就成為大家耳熟能詳?shù)拿~，經過仔細分析，其實蝴蝶效應反映的是非線性關系，代表不規(guī)則的運動和突變，蝴蝶效應之所以讓人激動與著迷，是因為它已經不僅僅存在于天氣的變化研究中，許多事物的變化都不約而同地存在著蝴蝶效應，西方國家流傳一首蝴蝶效應的一首民謠：丟失一個釘子，壞了一只蹄鐵;壞了一只蹄鐵，折了一匹戰(zhàn)馬;折了一匹戰(zhàn)馬，傷了一位騎士;傷了一位騎士，輸了一場戰(zhàn)爭;輸了一場戰(zhàn)爭，亡了一個帝國，

這兩個蝴蝶效應的典型例子都是災難性、滅亡性的負面反應后果，相反地，還有良性蝴蝶效應，教學是一系列動態(tài)的復雜的過程，包括諸多的因素和環(huán)節(jié)，能夠在教學最后的效果產生良性的蝴蝶效應初始條件更是數(shù)不勝數(shù)，教師的一個細微講解，一句隨機提問，一場課堂討論，一道作業(yè)題目，一個微不足道的初始條件干預，都可能引發(fā)蝴蝶效應，其中數(shù)學文化教學的設計、傳遞和滲透，都能讓學生在文化的熏陶下，勤于思考，樂于動手，勇于表達，這也充分展示了數(shù)學文化教學的良性蝴蝶效應，

從算術到代數(shù)是數(shù)學思維的一次飛躍，代數(shù)就是用符號代表數(shù)，含有未知數(shù)的等式就是方程，剛經歷小學到初中的學生在面對求未知數(shù)值的時候，有一大部分群體仍然沿用小學算術解題思路，同樣可以解決問題的情況下學生會質疑：代數(shù)方法的優(yōu)越性在哪里？例如：小明爸爸今年36歲，爸爸年齡是小明的3倍多6歲，求小明年齡，①算術解法：小明年齡= （36 -6）÷3= 10;②方程解法：設小明年齡為x歲，則有方程：3x+6= 36，解方程得x=10.顯然，代數(shù)方程解法和算術解法思維路線剛好相反，且方程解法更直接，更便捷，實際上，方程的本質是為了求未知數(shù)而在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起一種等量關系，它是實際問題的數(shù)學語言翻譯而已，學生在明白這一點的情況下，對于方程接受還是會存在一定困難，這時候，可以讓學生了解方程在數(shù)學文化歷史長河中的有意義、有價值的解說，

公元820年，阿拉伯數(shù)學家花拉子米寫了一本《代數(shù)學》，本意是“還原與對消的科學”，也就是要把淹沒在方程中的未知數(shù)x暴露出來，還原x本來面[3]，這好比一個探秘的過程，這樣就把一個形式化的數(shù)學概念方法說活了，把有意義的事情說得有意思，把有意思的事情說得有意義，這就是數(shù)學欣賞，這就是數(shù)學文化，我國明代珠算家程大位的名著《直指算法統(tǒng)宗》里有一道著名算題：“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾??？”意思是：有100個和尚分100個饅頭，如果大和尚1人分3個，小和尚3人分1個，正好分完，試問大、小和尚各多少人？這道古代名題充分體現(xiàn)方程解法的優(yōu)越性，數(shù)學文化中關于方程內容小小的導與教，讓學生了解國內外關于方程解法的解析，感悟方程的數(shù)學精髓，讓學生從內心深處了解前人對方程的感情，讓前人思想順利地納入現(xiàn)代學生思想，教得輕松，學得愉悅，考得滿意，這就是數(shù)學文化滲透教學的良性蝴蝶效應，

這讓人聯(lián)想到易中天的“品三國》，于丹的《論語心得》，這個百家講壇的節(jié)目火了全中國，帶領大家打開了了解研究歷史的熱情，這就是一個小小歷史文化節(jié)目帶來的良性蝴蝶效應，數(shù)學文化也一樣，數(shù)學文化的教學可以是一場活動，可以是一場討論，可以是一部電影觀賞，可以是數(shù)學名家追尋，可以是一個數(shù)學審美會，可以是一個世界名題賞析，可以是一個數(shù)學模型研究，也可以是一份調查匯報，它符合學生的認知水平，但又可以跳出數(shù)學知識系統(tǒng)的框架，它不是板著面孔的教學，是大眾化的一個活動，可能它也要一定的邏輯推理，但它也需要講道理，講品味，講藝術，數(shù)學文化的“教”嚴格意義上不是教，是“文而化之”的行為，它的每個小細節(jié)、每個探究都帶領學生走進內心追尋，從而引發(fā)喜歡數(shù)學、親近數(shù)學、欣賞數(shù)學的良性蝴蝶效應.

3增強數(shù)學文化教育理念建設，提升數(shù)學素養(yǎng)

今天我們大多數(shù)人學習數(shù)學，不是為了明天繼續(xù)研究數(shù)學，而是為了在各自的工作生活領域面對與數(shù)學沒有直接關系的困惑難題時能夠進行數(shù)學的思考，這就特別需要我們培養(yǎng)出有數(shù)學素養(yǎng)的學生，什么是數(shù)學素養(yǎng)呢？通俗地說，數(shù)學素養(yǎng)就是把所學的數(shù)學知識都排出或忘掉后剩下的東西[1].

有人說，數(shù)學文化是什么樣子呢，就是人人喜愛數(shù)學，在公眾當中樹立美好的數(shù)學形象，數(shù)學文化教育使數(shù)學教學系統(tǒng)出現(xiàn)良性蝴蝶效應，使得學生最終具備了基本的數(shù)學文化，大大提升了自身的數(shù)學素養(yǎng)，為教學開辟了一條研究路徑，在高校開設數(shù)學文化課，已經成為普遍現(xiàn)象，在目前的中學教學中，特別是初中教學中，教師也使盡了渾身解數(shù)在進行數(shù)學教學，但是在教出來的學生眼里，數(shù)學與生活隔離，數(shù)學就是與枯燥的字母打交道，學數(shù)學就是不斷地做題、考試，畢業(yè)之后，為遠離數(shù)學而歡呼，這不得不說是數(shù)學的悲哀，作為數(shù)學教師，我們應該站在數(shù)學文化的制高點上，以深邃的數(shù)學眼光、寬闊的數(shù)學視野、寬廣的數(shù)學胸懷、濃郁的文化氣息、鮮明的人文關懷，通過自己的引領，讓每一個學生都過上有文化品位的數(shù)學生活，

荷蘭數(shù)學家弗萊登塔爾曾經說：沒有一種數(shù)學的思想，以它被發(fā)現(xiàn)時的那個樣子公開發(fā)表出來，一個問題被解決后，相應地發(fā)展為一種形式化技巧，結果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗，現(xiàn)在傳統(tǒng)的數(shù)學在很多時候正是在訴說這種冰冷的美麗，使得很多學生可望不可及，從整體上看，應該增強數(shù)學文化教育理念建設，提升數(shù)學素養(yǎng)，這條路任重道遠，下文將對數(shù)學文化教學做幾點思考。

3.1編寫數(shù)學文化校本課程

課程的編寫主要不以傳授數(shù)學的系統(tǒng)知識為線索，內容題材可以是數(shù)學的某段歷史，數(shù)學家某個生活經歷，可以是某個數(shù)學名題趣題，可以是數(shù)學上的某個妙用，數(shù)學上的某個美圖，可以是數(shù)學的某個小應用，可以是數(shù)學某個定理發(fā)現(xiàn)歷程，感受數(shù)學外冷內熱的同時，更多地感受到數(shù)學的熱度，《數(shù)學，多大點事兒》這本書里面有很多小標題，譬如，有趣的分數(shù)會搗亂、天價的綿羊、貪婪的巴姆河、和人捉迷藏的質數(shù)、趣話兀的故事、皇帝、總統(tǒng)與幾何、神奇的兔子繁殖;還有適合高中生的某些數(shù)學文化小標題：杜甫《登高》與數(shù)學無限、微分搭臺、方程唱戲、《紅樓夢》的作者是誰？數(shù)學分析的應用、數(shù)據(jù)的應用“公說公有理，婆說婆有理”、超市里的向量與矩陣，估計你看到這些標題就馬上想閱讀瀏覽，為數(shù)學的輕松有趣而癡迷，從而慢慢不再害怕數(shù)學，愛上數(shù)學文化。

3.2進行數(shù)學文化題庫建設

雖然現(xiàn)在某些地方的中考題試卷上出現(xiàn)了一些新穎的數(shù)學文化題，但是還是缺乏創(chuàng)新，個別教師提到數(shù)學文化題，就只能想到勾股定理，我們反對為文化而文化的試題，但是我們需要深入挖掘數(shù)學文化內涵，體現(xiàn)數(shù)學文化價值的試題庫，對數(shù)學教材中的閱讀材料進行深層次的整合應用，對系統(tǒng)數(shù)學知識的某些知識點進行深入探索，編制出耳目一新的具有數(shù)學文化味道的試題，讓學生在數(shù)學文化的題庫里真切體驗數(shù)學文化帶來的全新感受。

3.3組織數(shù)學文化游戲、魔術等

國際著名數(shù)學大師陳省身曾為少年數(shù)學愛好者題詞：數(shù)學好玩，但多少人能體會到好玩的感覺？美國著名科普作家馬丁.加德納曾經說：喚醒學生的最好辦法是向他們提供有吸引力的數(shù)學游戲、智力題、魔術、笑話、悖論、打油詩，或那些呆板的教師認為無意義而避開的其他東西，傳統(tǒng)的數(shù)學文化經典游戲如數(shù)獨游戲、24點游戲、剪紙游戲等，都蘊含著豐富的數(shù)學思想與方法，再如一位業(yè)余魔術師設計的一道數(shù)學魔術題：

用具：計算器一個（帶計算器功能的手機也可）.

玩法：請一位觀眾，將計算器交給他，請他將自己家里座機號碼的前4位（若該號碼不足8位，就將前3位）輸入計算器中，然后將此數(shù)乘以80，再加1.再乘以250，再連續(xù)加兩次該電話號碼的后4位，將得數(shù)減去250，把最后的得數(shù)告訴表演者，表演者可以迅速算出他家的電話號碼，并且立即撥通驗證，使觀眾無不稱奇，

例如：比如觀眾的座機號碼是：2167648（7位數(shù)），按要求他應將前3位輸入計算器，

第一步，216×80+1=17281：

第二步，17281x250+7648+7648= 4335546;

第三步，4335546 -250= 4335296.

將留有此數(shù)的計算器交給表演者，表演者除以2，結果就是觀眾家的座機號碼“2167648”，

這個魔術其中蘊含的道理，無非是一個代數(shù)式的運算，設216=x，7648=y，上述運算可用一個恒等式表示成（80x+l）x250+y十y-250 =20000x+2.y，顯然，這個魔術還可以進行其他各種變形.

3.4開設數(shù)學文化討論課，進行數(shù)學文化慢體驗

數(shù)學文化的精髓要深刻領會，需要一定的時間進行思考、演繹與推敲，而現(xiàn)在的數(shù)學課過于講究解題的效率效果，數(shù)學的文化精神很多時候在數(shù)學課上感受不到，開設數(shù)學文化討論課，讓學生真正走進數(shù)學文化中，在探討研究中，慢慢接受數(shù)學文化，這是一個需要慢體驗的過程，比如可以探討為什么黃金分割那么美？因為大數(shù)學家畢達哥拉斯說過：凡是美的東西都具有一個共同特征，這就是部分與部分彼此之間，以及部分與整體之間固有的協(xié)調一致，可以探討為什么很多比賽評分要去掉一個最高分和一個最低分，因為這樣可以走進中位數(shù)，排除一些隨機因素，可以探討從勾股定理的多種證法到費馬大定理歷經三百多年的徹底證明。2002年國際數(shù)學家大會在北京召開，史寧中教授向聽眾提出了一個生活問題：有一筆賭金，甲乙兩個人競賭，輸贏的概率都一樣，都是1/2，誰先能夠連贏累計達到5盤，就獲得這筆賭金，但是因為一個特別的原因，突然終止了，那個時候甲贏了4局，乙贏了3局，問這筆賭金應該如何分配？深入探討不難發(fā)現(xiàn)，最后甲得到四分之三的賭金，乙得到剩下四分之一的賭金，其實涉及到的原來是概率論中的期望值問題，這其中的道理只有建立起基本的數(shù)學模型，經過慢體驗才能逐步感悟到。

3.5數(shù)學文化課件或微視頻或微電影的制作

數(shù)學不僅是一個包含真理性認識的知識體系，它更是一個“為人”因而也是“有人”的社會文化活動[4].重現(xiàn)這些人的活動，直接的方法之一是把數(shù)學文化中很多素材制作成圖像或視頻資源，讓更多的人直觀地一起感受數(shù)學文化，從而推廣數(shù)學文化，著名的田忌賽馬是典型的數(shù)學中的對策論，是現(xiàn)代數(shù)學的一個分支，如果拍成微電影，效果一定極好，再如大家都知曉的哥尼斯堡七橋問題就可以制作成課件或視頻資源，讓讀者在研習數(shù)學文化中揭開這個曾經困惱許多人的難題。

4數(shù)學要考出適當?shù)奈幕閼?/p>

如果說數(shù)學文化的教學細節(jié)處處可以引發(fā)良性蝴蝶效應，那么中高考中對數(shù)學文化的考查則可以引發(fā)快速爆發(fā)性的良性蝴蝶效應。

初中階段數(shù)學教育的最后考查環(huán)節(jié)是“初中學業(yè)水平考試”（簡稱“中考”），近些年在試卷中不斷地滲透著數(shù)學文化理念，融合著數(shù)學文化的思考，數(shù)學文化中考試題既要突出數(shù)學基礎知識和基本技能的考查，又要突顯數(shù)學文化的整體育人的要求，凸顯理性思維的本質內涵[5].縱觀2017年的全國各地中考試題，數(shù)學文化融入的不同角度都讓一線教師和學生真切感受到數(shù)學的歷史發(fā)展，數(shù)學的神奇魅力，以及數(shù)學家的研究精神。

例1 （2017年福建中考數(shù)學卷.20）我國古代數(shù)學著作《孫子算經》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”其大意是：“有若干只雞和兔關在同一籠子里，它們一共有35個頭，94條腿，問籠中的雞和兔各有多少只？”試用列方程（組）解應用題的方法求出問題的解。

例2 （2017年新疆中考數(shù)學卷.18）我國古代數(shù)學名著《孫子算經》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何”，意思是：雞和兔關在一個籠子里，從上面看有35個頭，從下面看有94條腿，問籠中雞或兔各有多少只？

例3 （2017年安徽中考數(shù)學卷.16）《九章算術》中有一道闡述“盈不足術”的問題，原文如下：今有人共買物，人出八，盈三;人出七，不足四，問人數(shù)，物價各幾何？譯文為：現(xiàn)有一些人共同買一個物品，每人出8元，還盈余3元;每人出7元，則還差4元，問共有多少人？這個物品的價格是多少？請解答上述問題，

例4 （2017年北京中考數(shù)學卷.20）數(shù)學家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學家賈憲提出的“從長方形對角線上任一點作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所容兩長方形面積相等（如圖1所示）”這一推論，他從這一推論出發(fā)，利用“出入相補”原理復原了《海島算經》九題古證，

數(shù)學的歷史發(fā)展過程中蘊含著豐富的數(shù)學文化素材，不同國家、不同時代都生長著不同的歷史文化，中國的考試自然選擇了中國所特有的數(shù)學史料進行考查，其中福建和新疆不約而同地選擇了著名的“雞兔同籠”問題，這本中國古算術書《孫子算經》一直在我國數(shù)學史中占有重要的地位，《九章算術》是中國傳統(tǒng)數(shù)學的重要著作，是一本與現(xiàn)實社會緊密相關的數(shù)學問題集，公元3世紀的劉徽，吳文俊稱之為“中國古代數(shù)學第一人”，他使用的“出入相補”原理是我國古代數(shù)學特有的推理論證方法，而賈憲的抽象分析和程序化方法體現(xiàn)了中國古代數(shù)學的重要特點，一直影響著現(xiàn)代數(shù)學的研究發(fā)展，從選取的這幾題中考題就已經能感受出中國在數(shù)學文化史中的重要貢獻，中考是個大風向標，數(shù)學文化的滲透不是一份裝飾，一份點綴，它使學生的視野不再狹窄，它使學生感受到數(shù)學不是枯燥無味的學科，是可以繼承與創(chuàng)新的文化。

高考試題中近年來體現(xiàn)數(shù)學文化淵源的試題也層出不窮，以湖北省近幾年高考為例，例如2009年文/理數(shù)學試題第10題涉及畢達哥拉斯研究的圖形數(shù)，理科數(shù)學試題第15題涉及角谷猜想;2010年理科數(shù)學第7題的割圓術和第15題的均指數(shù);2011年理科數(shù)學試題第15題的斐波那契數(shù)列，文科數(shù)學試題第9題涉及《九章算術》中的“竹九節(jié)”問題;2012年理科數(shù)學試題第10題涉及《九章算術》中的“開立圓術”問題，第13題涉及回文數(shù)問題;2013年文科數(shù)學試題第16題涉及《九章算術》中的“天池盆測雨”問題，當然，在設計數(shù)學考題的題型結構上還可以進行多角度的滲透，數(shù)學史料的挖掘不僅僅是數(shù)學名題，可以是涉及數(shù)學名家的趣味題，可以是數(shù)學名題改編出來更具有時代性的題，可以是滲透數(shù)學審美的題，還可以是實際應用更廣泛的數(shù)學題，讓數(shù)學史、數(shù)學審美、數(shù)學思想方法、數(shù)學精神等數(shù)學文化內涵豐富學生的數(shù)學情感，學生樂于親近數(shù)學，欣賞數(shù)學，品味數(shù)學，在數(shù)學文化的繼承基礎上繼續(xù)發(fā)揚廣大。

參考文獻

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