分清橢圓離心角與旋轉(zhuǎn)角

胡貴平

(甘肅省白銀市第一中學(xué) 730900)

應(yīng)用橢圓的參數(shù)方程解題時, 許多學(xué)生由于未能深入理解參數(shù)的幾何意義, 沒有準(zhǔn)確把握橢圓參數(shù)方程中離心角與旋轉(zhuǎn)角的區(qū)別與聯(lián)系, 產(chǎn)生了誤解，從而導(dǎo)致錯誤.

例已知P、Q是橢圓3x2+5y2=1上滿足∠POQ=90°的兩個動點，則OP2+OQ2=( ).

圖1

錯解分析回顧橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)過程，如圖1，以原點為圓心,分別以a，b(a>b>0)為半徑作兩個圓,點B是大圓半徑OA與小圓的交點，過點A作AN⊥Ox,垂足為N, 過點B作BM⊥AN,垂足為M, 求當(dāng)半徑OA繞點O旋轉(zhuǎn)時點M的軌跡的參數(shù)方程.

橢圓參數(shù)方程中的θ為離心角，∠AOx=θ，而旋轉(zhuǎn)角∠MOx≠θ, 將旋轉(zhuǎn)角∠MOx增加90°，離心角θ不一定增加90°， 那么離心角與旋轉(zhuǎn)角有什么關(guān)系呢？

圖2

通過幾何畫板動態(tài)顯示，如圖2，當(dāng)拖動主動點A繞著點O轉(zhuǎn)動時，離心角∠AOx和旋轉(zhuǎn)角∠MOx的大小都在發(fā)生變化，可以觀察出，在第一象限時，∠AOx>∠MOx；在第二象限時，∠AOx<∠MOx；在第三象限時，∠AOx>∠MOx；在第四象限時，∠AOx<∠MOx；當(dāng)拖到坐標(biāo)軸上時∠AOx=∠MOx，一共有四次相等的機(jī)會.

解法分析1.應(yīng)用橢圓參數(shù)方程

顯然與夾角α的值有關(guān)，故選D．

2.應(yīng)用橢圓與直線位置

3.應(yīng)用橢圓的極坐標(biāo)方程

顯然與極角θ值有關(guān)，故選D．

4.應(yīng)用直線的參數(shù)方程

顯然與傾斜角θ值有關(guān)，故選D．

分析解法同例題中各種方法，選一種比較簡單的極坐標(biāo)法．

圖3