等差和等比數(shù)列交匯題目賞析

崔 文 侯宇虹

(1.山東省文登第一中學 264400;2.山東省威海市南海高級中學 264400)

侯宇虹，高級教師，文登區(qū)教學能手，注重高考數(shù)學教學研究，教學經(jīng)驗豐富.

高考中常見等差和等比數(shù)列交匯考查的題目，此類題目因涵蓋知識點多，綜合性強，對化歸轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力要求較高，備考時需要多加重視.

一、等差數(shù)列中的等比數(shù)列

分析根據(jù)a2，a4，a8成等比數(shù)列可以求出等差數(shù)列an中首項a1與公差d之間的關系，然后進行計算.

答案：3.

點評考查等比數(shù)列的定義，等差數(shù)列的通項公式.

二、等比數(shù)列中的等差數(shù)列

例2 在等比數(shù)列an中，已知a1=1,a4=8，若a3,a5分別為等差數(shù)列bn的第2項和第6項，則數(shù)列bn的前7項和為( ).

A. 49 B. 70 C. 98 D. 140

分析分析出等比數(shù)列an的通項公式，就可以得到等差數(shù)列bn的通項公式，然后求和.

答案：B

點評考查等差、等比數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列中序號與項之間的關系：若m+n=p+q，則am+an=ap+aq.

例3 (2017全國Ⅰ，文17)記Sn為等比數(shù)列an的前n項和，已知S2=2，S3=-6.

(1)求an的通項公式；

(2)求Sn，并判斷Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數(shù)列.

分析(1)項數(shù)較少，可利用通項公式直接求出；(2)三項成等差數(shù)列，用“等差中項法”判斷.

故{an}的通項公式為an=(-2)n.

點評數(shù)列的通項公式或前n項和，部分項仍可成等差或等比數(shù)列，借此考查等差、等比數(shù)列的判定.

三、正項等比數(shù)列取對數(shù)構造等差數(shù)列

例4 設an是公比大于1的等比數(shù)列,Sn為數(shù)列an的前n項和,已知S3=7，且a1,a2,a3-1 成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列an的通項公式；

分析(1)利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列an的通項公式；(2)因為an為等比數(shù)列，所以bn=log4a2n+1為等差數(shù)列，然后求和.

(2)由(1)得a2n+1=22n=4n，

由于bn=log4a2n+1，n=1，2， …，

∴bn=log44n=n．

點評考查等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式、裂項相消法求和，相關知識、方法的綜合運用．

四、等差數(shù)列為根指數(shù)構造等比數(shù)列

例5 設an是首項為a1，公差為-2的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若S1,S2,S4成等比數(shù)列，且bn=2an，求bn的前n項和Tn.

分析數(shù)列an為等差數(shù)列，分析可知bn=2an為等比數(shù)列，然后求和.

點評考查等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式，等比數(shù)列前n項和公式，數(shù)列知識綜合運用.

五、“等差×等比”型數(shù)列

例6 已知數(shù)列an滿足：a1=1,nan+1-2an=2an,n∈N*.

分析(1)由定義法可證；(2)計算得出數(shù)列bn的通項公式，然后求和.

∴Sn=-2·20+1·21+4·22+…+3n-8·2n-2+3n-5·2n-1，

2Sn=-2·21+1·22+4·23+…+3n-8·2n-1+3n-5·2n，

∴-Sn=-2+321+22+…+2n-1-3n-5·2n

=-8+8-3n·2n

∴Sn=3n-8·2n+8.

點評“等差×等比”型的數(shù)列用錯位相減法求和，為高頻考點.

六、“等差÷等比”型數(shù)列

例7 已知{an}是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根.

(1)求{an}的通項公式；

解(1)方程x2-5x+6=0的兩根為2，3，由題意得a2=2，a4=3.

點評“等差÷等比”型數(shù)列采用錯位相減法求和，為高頻考點.

七、數(shù)列與函數(shù)融合

分析保證n≤6和n>6時數(shù)列單調(diào)遞減，同時要a6>a7.

評注考察等差、等比數(shù)列的單調(diào)性，與函數(shù)的知識結(jié)合.

綜上所述，等差、等比數(shù)列交匯題目以基本量的計算和定義的考查為主，對運算能力要求較高.備考時需要注重基本方法的積累，并提升運算素養(yǎng).