一類(lèi)圓錐曲線(xiàn)中直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的探究與發(fā)現(xiàn)

喻秋生

(廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部 518055)

一、問(wèn)題的提出

2017年高考全國(guó)卷Ⅰ理科第20題是一道關(guān)于橢圓中直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，題目如下：

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線(xiàn)l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)．若直線(xiàn)P2A與直線(xiàn)P2B的斜率的和為-1，證明：l過(guò)定點(diǎn)．

在這道高考試題中，我們知道點(diǎn)P2是該橢圓的上頂點(diǎn)，kP2A+kP2B的值為常數(shù)-1，如果給出的點(diǎn)P2是平面內(nèi)任意點(diǎn)，并且kP2A+kP2B的值為任意實(shí)數(shù)λ，結(jié)論又怎樣呢？因此，我們提出更一般性的問(wèn)題：

二、問(wèn)題的探究

下面我們分λ=0和λ≠0兩種情況進(jìn)行探究．

1.λ=0，直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)的情況

當(dāng)s=0，t=0時(shí)，⑤不成立，即直線(xiàn)l不可能過(guò)定點(diǎn)；

當(dāng)s≠0，t≠0時(shí)，由④、⑥，得α=-s，β=t，則m=-sk+t，直線(xiàn)l的方程為y=k(x-s)+t，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(s,t)與條件矛盾，此時(shí)直線(xiàn)l不過(guò)定點(diǎn)．因此，我們得出：

2. λ≠0，直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)的情況

(1)點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上情況

由⑦得α=-s，代入⑧化簡(jiǎn)，得s=±a．

類(lèi)似可得出點(diǎn)P在y軸上的情況，因此，我們得出：

點(diǎn)P的坐標(biāo)直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)(a,0)(a,-2b2λa)(-a,0)(-a,2b2λa)(0,b)(-2bλ,-b)(0,-b)(2bλ,b)

(2)點(diǎn)P不在坐標(biāo)軸上情況

如果點(diǎn)P在C上時(shí)，則a2t2+b2s2-a2b2=0，等式⑩、⑩′均成立，即等式③對(duì)任意實(shí)數(shù)λ恒成立．

如果點(diǎn)P(s,t)不在橢圓上，則a2t2+b2s2-a2b2≠0，要使等式③成立，即要使等式⑩或⑩′成立，必須有λa2-λs2+2st=0，即(s2-a2)λ=2st．

當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，以上討論結(jié)論也成立．因此，我們得出：

三、問(wèn)題的推廣

前面我們對(duì)橢圓中這類(lèi)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行了探究，用同樣的方法對(duì)雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)進(jìn)行探究，可以得出類(lèi)似的結(jié)論(探究過(guò)程略)．

(1)若點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，則當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為C的頂點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)，并且點(diǎn)P的坐標(biāo)與直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)有以下關(guān)系：

點(diǎn)P的坐標(biāo)直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)(a,0)(a,2b2λa)(-a,0)(-a,-2b2λa)

結(jié)論6 已知拋物線(xiàn)C:y2=2px(p>0)，點(diǎn)P(s,t)，如果不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且不與坐標(biāo)軸平行的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C相交于A、B兩點(diǎn)，且直線(xiàn)PA與直線(xiàn)PB斜率的和為0，則當(dāng)且僅當(dāng)t=0，s≠0時(shí)，直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)(-s,0)．

結(jié)論7 已知拋物線(xiàn)C:y2=2px(p>0)，點(diǎn)P(s,t)，如果直線(xiàn)l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與C相交于A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)PA與直線(xiàn)PB的斜率的和為λ(λ≠0)．