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    例說圓錐曲線中的范圍與最值問題

    2018-11-29 07:10:44趙春雷
    數(shù)理化解題研究 2018年31期
    關鍵詞:代數(shù)拋物線最值

    趙春雷

    (江蘇省揚州市新華中學 225002)

    一、圓錐曲線的范圍問題常見求法

    求圓錐曲線中的范圍問題,主要用到兩種方法:一是幾何法.幾何法就是指如果題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決.二是代數(shù)法.代數(shù)法就是指如果題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系,或者不等關系,或者已知參數(shù)與新參數(shù)之間的等量關系等,則利用這些去求參數(shù)的范圍.

    例1 [2016·浙江卷] 如圖所示,設拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,拋物線上的點A到y(tǒng)軸的距離等于|AF|-1.

    (1)求p的值;(2)若直線AF交拋物線于另一點B,過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N,AN與x軸交于點M,求M的橫坐標的取值范圍.

    解(1)由題意可得,拋物

    (2)由(1)得,拋物線方程為y2=4x,F(xiàn)(1,0),可設A(t2,2t),t≠0,t≠±1.因為AF不垂直于y軸,所以可設直線AF:x=sy+1(s≠0).

    綜上,點M的橫坐標的取值范圍是(-∞,0)∪(2,+∞).

    評注本題的難度不算太大,在第一題中已經(jīng)把拋物線的方程求出來了,到第二題時就可以直接應用了.第二題是求范圍的典型題目,在分析了本題后,發(fā)現(xiàn)要想求解還是應該用代數(shù)法來求解,因為題目中給了一些數(shù)量關系,而這些數(shù)量關系正好能聯(lián)立得到方程組.

    二、圓錐曲線中面積的最值問題求解方法

    一般來講,圓錐曲線中面積的最值問題求解方法主要有三種.一是轉(zhuǎn)化為面積與某參量的函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)求最值;二是得到關于面積的關系式后,利用基本不等式求有關最值;三是結(jié)合圓錐曲線的幾何性質(zhì)求最值.

    評注本題的難度較大,題目中的第一題和第二題相對簡單,這道題是層層遞進的,前兩問是為第三題打基礎的.在分析本題后,發(fā)現(xiàn)要想求解最后一題,先要得到關于面積的關系式,然后利用基本不等式求得最值.

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