例談排列問題的求解策略

張婉瑩

(河北省任丘市第一中學(xué) 062550)

一、分類策略

例1 甲、乙、丙、丁四人互相傳球，第一次甲傳給乙、丙、丁三人中任一人，第二次由拿球者再傳給其他三人中任一人，這樣共傳了4次，則第4次球仍回到甲的方法共有( ).

A．21種 B．42種 C．24種 D．27種

分析共傳球4次，分四步完成，但應(yīng)注意到第4次球仍回到甲，則第3次球不能傳給甲．故第3次傳球的方法與第2次球在誰的手中有關(guān)，又應(yīng)分類處理．

解分四步完成：第一步由甲傳給乙、丙、丁，有3種方法.第二步應(yīng)分二類考慮：第一類傳給甲，則第三步傳給乙、丙、丁均可，第四步再傳給甲；第二類不傳給甲，則可傳給甲以外的2人，第四步再傳給甲.故共有3×(1×3×1+2×2×1)=21(種)方法，故選A.

例2 用0，1，2，3，4，5，6這七個數(shù)字,

(1)能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？

(2)能組成多少個無重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的五位數(shù)？

(3)能組成多少個無重復(fù)數(shù)字且比31560大的五位數(shù)？

分析(1)根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①個位從1，3，5選擇一個，②千位數(shù)字不可選0，從剩下的5個中選一個，③在剩下的5個數(shù)字中選出2個，安排在百位、十位數(shù)上，分別求出每一步的情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案；

(2)分2種情況討論：①個位數(shù)上的數(shù)字是0，②個位數(shù)上的數(shù)字是5，分別求出每一種情況的五位數(shù)個數(shù)，由加法原理計算可得答案；

(3)分析可得：符合要求的比31560大的五位數(shù)可分為四類分4種情況討論，分別求出每一種情況的五位數(shù)個數(shù)，由加法原理計算可得答案．

解(1)根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：

(2)分2種情況討論：

(3)符合要求的比31560大的五位數(shù)可分為四類：

第四類：形如3156□，共有2個.

二、倍分法策略

有些排列應(yīng)用題，可以根據(jù)每個元素出現(xiàn)的機(jī)會占整個問題的比例，直接求得問題的解．

例3 有5個人并排站成一排，如果甲必須在乙的右邊，則不同的排法有多少種？

例4 從6個運(yùn)動員中選4個參加4×100米接力賽，若甲、乙兩人都不能跑第一棒，則共有多少種不同的參賽方案？

三、“捆綁”策略

例5 7人站成一排，求滿足下列條件的不同站法：

(1)甲、乙兩人相鄰；

(2)甲、乙之間隔著2人.

分析兩個都是元素相鄰的排隊問題，解決這類問題可先將相鄰元素“捆綁”成整體并看作一個元素再與其它元素進(jìn)行排列，然后再考慮相鄰元素的內(nèi)部排列.

評注首先把相鄰元素當(dāng)做一個整體參與運(yùn)算，然后考慮相鄰元素間的排列順序.我們可遵循“先整體，后局部”的原則，即采用“捆綁”法.

四、定序問題縮倍法

例6 信號兵把紅旗與白旗從上到下掛在旗桿上表示信號.現(xiàn)有3面紅旗、2面白旗，把這5面旗都掛上去，可表示不同信號的種數(shù)是____(用數(shù)字作答).

評注在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定順序稱為定序問題.這類問題用縮小倍數(shù)的方法求解比較方便快捷.