高等數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模意識的培養(yǎng)

哈爾濱金融學(xué)院 許 毅

高等數(shù)學(xué)在整個數(shù)學(xué)領(lǐng)域中占據(jù)著十分重要的地位，它具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓院蛷V泛的應(yīng)用性，是人們在生活、工作和學(xué)習(xí)中的重要工具。而數(shù)學(xué)建模的主要意義即為讓學(xué)生通過抽象和歸納，將實際問題構(gòu)建成一個可用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的數(shù)學(xué)模型，從而利用數(shù)學(xué)知識順利解決，同時在構(gòu)建模型和解決問題的過程中，也使自身的數(shù)學(xué)思維及應(yīng)用能力得到鍛煉和發(fā)展。鑒于此，如何有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識歷來是高數(shù)教師積極探索的課題。以下筆者擬結(jié)合自身教學(xué)實踐，針對高等數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模意識的培養(yǎng)談幾點策略性意見，希望對相關(guān)教育工作者有所助益。

一、在概念講解中挖掘數(shù)學(xué)建模思想

我們知道，無論哪一門學(xué)科的知識，概念和定義的形成都建立在對客觀事物或普遍現(xiàn)象的觀察、分析、歸納和提煉的基礎(chǔ)之上，是經(jīng)過科學(xué)論證形成的學(xué)科語言表達(dá)。高等數(shù)學(xué)作為一門邏輯性和應(yīng)用性強(qiáng)的工具學(xué)科，這一點體現(xiàn)得尤為明顯，換言之，即其概念和定義都是從客觀存在的特定數(shù)量關(guān)系或空間形式中抽象出來的數(shù)學(xué)表達(dá)，從本質(zhì)上說，其本身即蘊(yùn)含和體現(xiàn)了經(jīng)典的數(shù)學(xué)建模思想。因此，我們在進(jìn)行數(shù)學(xué)概念或定義的講解時，一定重視挖掘其中的數(shù)學(xué)建模思想，使學(xué)生從本源的角度更好掌握。具體來說，即為借助實際背景或?qū)嵗?，?qiáng)調(diào)從實際問題到抽象概念的形成過程，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)建模思想，這不僅有助于其在潛移默化中逐步樹立數(shù)學(xué)建模意識，也有利于其對概念或定義的理解和掌握。

例如在講授極限的定義時，如只單純灌輸，則不少學(xué)生會由于其高度的抽象性而感到空洞，如此既不利于對定義的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)建模思想更將無從談起。這種情況下，教師就可合理引入一些實際背景，結(jié)合實例進(jìn)行講授，如我國古人所說的“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”，其中就含有極限的思想；再如古代數(shù)學(xué)家劉徽利用“割圓術(shù)”求圓的面積，實際上就利用了極限思想；還可以通過一組實驗數(shù)據(jù)或是坐標(biāo)曲線上點的變化等實例向?qū)W生展示極限定義的形成，并深入挖掘其實質(zhì)。這樣就不僅能使學(xué)生相對容易地掌握定義，更能體會其背后的數(shù)學(xué)建模思想，從而促進(jìn)其數(shù)學(xué)建模意識的培養(yǎng)。

二、在定理學(xué)習(xí)中示范數(shù)學(xué)建模方法

高等數(shù)學(xué)中涉及很多重要的定理及公式，學(xué)生應(yīng)在理解的基礎(chǔ)上掌握其運(yùn)用角度和應(yīng)用方法，并能利用其解決一些與之相關(guān)的實際問題，這是對學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基本能力要求之一。而在引用某些定理解決實際問題時，毫無疑問會涉及數(shù)學(xué)建模，因此，教師在日常教學(xué)中進(jìn)行定理及公式的講授時，應(yīng)注意選擇一些相關(guān)實際問題作為數(shù)學(xué)建模的載體，并加以詳細(xì)而深入的建模示范，從而在學(xué)生初始接觸定理和公式時即能觸發(fā)對數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用意識和能力。這可以說是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識的關(guān)鍵環(huán)節(jié)和有力途徑，是顯著促進(jìn)學(xué)生形成數(shù)學(xué)建模意識的直接手段。如能長期以這種理論聯(lián)系實際的方式對學(xué)生加以熏陶，無疑也能使學(xué)生在潛移默化中增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

例如，一元函數(shù)介值定理是高等數(shù)學(xué)中的重要定理之一，其應(yīng)用也比較廣泛，在學(xué)習(xí)此定理時就可以合理引入比較有代表性的實際問題進(jìn)行建模示范，筆者曾用過有名的所謂“椅子問題”：將一把四條腿的椅子置于一個凹凸不平的平面，椅子的四條腿能否有同時著地的可能？試著作出證明。在示范建模并加以證明的過程中，就使學(xué)生對抽象的介值定理有了更深層次的理解，同時體會了數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用，尤其是如何用數(shù)學(xué)語言描述實際問題，從而更好地建立模型，另外，也在一定程度提升了對介值定理的應(yīng)用能力。

三、在大量練習(xí)中感悟數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用

俗話說“實踐出真知”，只有不斷地應(yīng)用演練，才能促使學(xué)生真正樹立起數(shù)學(xué)建模意識，并切實體會數(shù)學(xué)建模思想及方法的應(yīng)用。這方面，數(shù)學(xué)應(yīng)用題無疑是最好的練習(xí)陣地，它的主要作用便在于提升學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決實際問題的能力，因此較多涉及建模問題，尤其是突出思想和方法的應(yīng)用過程。筆者建議，在學(xué)習(xí)過相關(guān)理論知識后，應(yīng)“趁熱打鐵”，適當(dāng)選取一些經(jīng)典的實際應(yīng)用問題供學(xué)生練習(xí)和提升，即通過分析、歸納和抽象構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，而后運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題。這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識的發(fā)展和補(bǔ)充，值得我們高度重視。

比如，與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的實際應(yīng)用問題有經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際分析、彈性問題、征稅問題模型；與定積分相關(guān)的有資金流量的現(xiàn)值和未來值模型，學(xué)習(xí)曲線模型等；微分方程則涉及馬爾薩人口模型、組織增長模型、再生資源的管理和開發(fā)的數(shù)學(xué)模型等，尤其是利用微方程模型分析一些傳染病中的受感染人數(shù)的變化規(guī)律，從而探尋如何控制傳染病的蔓延?？傊?，可用于學(xué)習(xí)練習(xí)數(shù)學(xué)建模的經(jīng)典實際應(yīng)用問題有很多，我們應(yīng)善于合理選取和重點講解，引導(dǎo)學(xué)生增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模能力和解決實際問題的能力，從而獲得更好的進(jìn)步和發(fā)展。

綜上，筆者結(jié)合教學(xué)實踐，就如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識提出了三點淺顯見解，即在概念講解中挖掘數(shù)學(xué)建模思想、在定理學(xué)習(xí)中示范數(shù)學(xué)建模方法、在大量練習(xí)中體會數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用。當(dāng)然，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識是一個具有一定深度和廣度的話題，只有在教學(xué)實踐中積極探索，深入思考并善于總結(jié)，才能找到更多更有效的策略及方法，從此角度講，本文僅為拋磚引玉，尚盼方家指教。