數(shù)列求和熱點(diǎn)題型“再回首”

■江蘇省太倉市明德高級(jí)中學(xué) 王佩其

數(shù)列求和是高考每年必考內(nèi)容,主要涉及等差、等比數(shù)列求和,裂項(xiàng)相消法求和,錯(cuò)位相減法求和及分組法求和等,考查同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握及解決問題的能力,難度中等。以下幾類熱點(diǎn)題型同學(xué)們應(yīng)特別關(guān)注。

題型一 分組轉(zhuǎn)化法求和

將數(shù)列中的每一項(xiàng)分拆成幾項(xiàng),然后重新分組,將一般數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和問題,我們將這種方法稱為分組轉(zhuǎn)化法求和法,運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是通項(xiàng)合理變形。

例1(2018·合肥質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,n∈N*。

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)bn=2an+(-1)nan,求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和。

解析：(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1;

當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-

n=1時(shí),a1也滿足an=n,故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n。

(2)由(1)知an=n,故bn=2n+(-1)nn。

記數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和為T2n,則T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n)。

記A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n,則：

A==22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n。

故數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n=A+B=22n+1+n-2。

點(diǎn)評(píng)：用分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型：

(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}為等差或等比數(shù)列,可采用此法求{an}的前n項(xiàng)和;

(2)數(shù)列通項(xiàng)公式為an=中數(shù)列{bn},{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列,可采用此法求和。

【變式訓(xùn)練1】(2018·深圳調(diào)研)已知函數(shù)f(n)=且an=fn+f(n+1),則a1+a2+a3+…+a100等于( )。

A.0 B.100

C.-100 D.10200

參考答案：B。

題型二 錯(cuò)位相減法求和

(1)如果一個(gè)數(shù)列的每項(xiàng)都由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成,此時(shí)可采用錯(cuò)位相減法求和。

(2)運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和,一般和式比較復(fù)雜,運(yùn)算量較大,易會(huì)不易對(duì),應(yīng)特別細(xì)心,解題時(shí)若含參數(shù),要注意分類討論。

例2(2018·阜陽調(diào)研)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列{bn}的公比為q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100。

(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;

(2)當(dāng)d＞1時(shí),記,求數(shù)列{c}n的前n項(xiàng)和Tn。

解析：(1)由題意得解得

(2)由d＞1,知an=2n-1,bn=2n-1。故,于是：

Tn=。①

點(diǎn)評(píng)：用錯(cuò)位相減法求和時(shí),應(yīng)注意：

(1)要善于識(shí)別題目類型,特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形;

(2)在寫“Sn”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”,以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn-”的表達(dá)式;

(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí),若等比數(shù)列的公比為參數(shù),應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解。

【變式訓(xùn)練2】(2017·衡水中學(xué)調(diào)研卷)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S3=6,S5=,則 數(shù) 列的前n項(xiàng)和為( )。

參考答案：B。

題型三 裂項(xiàng)相消法求和

裂項(xiàng)相消法求和就是將數(shù)列中的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng),使這些拆開的項(xiàng)出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵消,看有幾項(xiàng)沒有抵消掉,從而達(dá)到求和的目的。

例3(2018·梅州質(zhì)檢)已知正項(xiàng)數(shù)列{an},a1=1,點(diǎn)()(n∈N*)在函數(shù)y=x2+1的圖像上,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=2-bn。

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;

解析：(1)因?yàn)辄c(diǎn)(,an+1)(n∈N*)在函數(shù)y=x2+1的圖像上,所以an+1=an+1,數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列。

因?yàn)閍1=1,所以an=1+(n-1)×1=n。

因?yàn)镾n=2-bn,所以Sn+1=2-bn+1。

兩式相減,得：

bn+1=-bn+1+bn,即。

由S1=2-b1,得b1=2-b1,b1=1。

故數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列。

(2)l o g2bn+1==-n,因此,cn=。

故Tn=c1+c2+…+cn=

【變式訓(xùn)練3】(2018·南昌調(diào)研)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,任意n∈N*,2Sn=+an。令設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Tn,則在T1,T2,T3,…,T100中有理數(shù)的個(gè)數(shù)為

參考答案：9。