沉舟側(cè)畔千帆過 病樹前頭萬木春
——“分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)思考與嘗試

黃偉麗

（浙江省紹興市上虞區(qū)松廈鎮(zhèn)中心小學(xué)，浙江紹興 312365）

引 言

學(xué)生小學(xué)三年級已經(jīng)接觸過分?jǐn)?shù)這一概念，但三年級教材呈現(xiàn)的分?jǐn)?shù)，都是從“整體”與“部分”這一維度進(jìn)行思考和闡述的。學(xué)生思維還停留在感性認(rèn)識(shí)上，他們理解的分?jǐn)?shù)只是一個(gè)具體的數(shù)值；而五年級“分?jǐn)?shù)的意義”，又該以怎樣的方式賦予與呈現(xiàn)？三年級初學(xué)時(shí)，學(xué)生對“1”以下的分?jǐn)?shù)已經(jīng)有了一定的認(rèn)知，五年級對分?jǐn)?shù)意義的講解不應(yīng)該只是對之前學(xué)習(xí)內(nèi)容的簡單重現(xiàn)和拼湊。而“意義”又是一個(gè)相對抽象的概念，教師應(yīng)該怎樣借助學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)抽象思維，突破感性認(rèn)識(shí)，進(jìn)行知識(shí)的提升？筆者基于新課程理念，立足教材本質(zhì)，把握學(xué)生起點(diǎn)，進(jìn)而對分?jǐn)?shù)意義這一教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了探索性的嘗試。

一、分析各版本教材，吃透其編排意圖

現(xiàn)行教科書的編排特點(diǎn)和呈現(xiàn)方式，雖經(jīng)多次教學(xué)大綱和教科書內(nèi)容的調(diào)整，但分?jǐn)?shù)概念這一系列教學(xué)內(nèi)容始終得到保持。這部分內(nèi)容作為公民素質(zhì)的基礎(chǔ)，其重要性也可管窺一斑了?！胺?jǐn)?shù)的意義”這一內(nèi)容，對2001年開始的新課程實(shí)驗(yàn)教材四套（人教版、北師大版、浙教版和蘇教版）做一對比分析，試圖管窺其中的教學(xué)脈絡(luò)和編排重心所在。

（1）新課標(biāo)的不同版本教材在引入部分特點(diǎn)：從教材編排看，人教版教材提供了分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)動(dòng)因，從而更為明確地揭示了學(xué)習(xí)主題；蘇教版教材則首先提供了“整體”與“部分”的關(guān)系；而浙教版則更多的是從除法與分?jǐn)?shù)的關(guān)系的角度，來理解分?jǐn)?shù)的意義。應(yīng)該說，這兩類編排各有特色，教師在實(shí)際教學(xué)時(shí)如果能互相參照；再根據(jù)本班學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，整合重組，相信可以找到最佳的切入點(diǎn)。

（2）新課標(biāo)的不同版本，學(xué)習(xí)素材呈現(xiàn)各有特點(diǎn)：在教材編寫上多個(gè)版本教材的編寫基本一致，都是根據(jù)小學(xué)生的心理發(fā)展特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律有邏輯地進(jìn)行層次遞進(jìn)；但不同教材中概念表述和呈現(xiàn)的先后順序有所調(diào)整。北師大版本在五年級分?jǐn)?shù)的意義一課中突出學(xué)生對意義的感悟，學(xué)生可以從三年級的“整體”“部分”認(rèn)知的基礎(chǔ)上延伸理解，該版本教材中并沒有單列對“分?jǐn)?shù)”概念的文字介紹；此外，人教版突出通過創(chuàng)造豐富的教學(xué)情景以及課堂活動(dòng)，幫助學(xué)生通過多種方式和探索情景進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。浙教版教材在學(xué)習(xí)素材的配備上最為充足，通過分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系來理解分?jǐn)?shù)的意義。例1與例2分別用單位“1”和200平方米來表示這塊長方形菜地的面積，讓學(xué)生從兩個(gè)不同的角度來感受3/5，通過比較讓學(xué)生更深入地理解分?jǐn)?shù)的意義；再安排例3，讓學(xué)生感知一個(gè)整體都可以看作單位“1”。

（3）新課標(biāo)的不同版本教材在練習(xí)設(shè)計(jì)部分特點(diǎn)：在得出分?jǐn)?shù)的意義概念之后，新課標(biāo)的各套實(shí)驗(yàn)教材都安排了一定量的練習(xí)，練習(xí)設(shè)計(jì)循序漸進(jìn)，分別安排如下。

北師大版教材在“練一練”板塊中有6題。第1題用分?jǐn)?shù)表示下面各圖中的涂色部分。第2題在圖中用顏色表示對應(yīng)的分?jǐn)?shù)。第3題分別畫出下面各圖形的1/2，它們的大小一樣嗎？第4題與第5題都是通過實(shí)例，讓學(xué)生理解“整體”與“部分”的關(guān)系。第6題則安排了“分?jǐn)?shù)墻”。

蘇教版教材在“試一試”中，教材安排對“分?jǐn)?shù)單位”的練習(xí)題。在“練一練”中讓學(xué)生用分?jǐn)?shù)來表示下面各圖中的涂色部分，并說說每個(gè)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位是多少?各有幾個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位？在“練習(xí)六”中，教材安排了5題。第1題認(rèn)讀并說出所列分?jǐn)?shù)的單位；第2題，涂色表示分?jǐn)?shù)；第3題說出每個(gè)分?jǐn)?shù)表示的含義；第4題在直線上畫出表示下面各分?jǐn)?shù)的點(diǎn)；第5題求一下“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾”。

浙教版教材在“練習(xí)與應(yīng)用”中安排了2道題。第1題屬于半開放的題，讓學(xué)生先閱讀，再自己提問題并解答。第2題，通過計(jì)算，比較“誰讀的頁數(shù)多？”在“練一練”中安排了6個(gè)題目，第1題和第5題讓學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義來寫分?jǐn)?shù)。第2、3、4、6題，讓學(xué)生通過分?jǐn)?shù)的意義來列式解答計(jì)算。最后，還安排了一個(gè)選做題，讓學(xué)生通過比較來進(jìn)一步來理解分?jǐn)?shù)的意義。

（4）完善梯隊(duì)。學(xué)校積極搭建教師成長平臺(tái)，形成了“校園新秀—優(yōu)秀教師—杰出教師—首席教師”的金字塔形教師梯隊(duì)，建立了“廣雅名班主任工作室”。同時(shí)，學(xué)校不斷完善評教機(jī)制，加強(qiáng)對教師課堂教學(xué)的評價(jià)，引導(dǎo)教師反思不足和提升短板。

人教版教材則安排了“練習(xí)二十一”中的9題。第1題，用分?jǐn)?shù)表示下面各圖中涂色的部分。第2～4題都是讓學(xué)生來表示“誰是誰的幾分之幾”。第6題，讓學(xué)生說說在生活中見到的分?jǐn)?shù)。第7題，讓學(xué)生讀出下面的分?jǐn)?shù)，并說一說表示的具體含義。第8題，說出每個(gè)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位。第9題，讓學(xué)生任選一個(gè)分?jǐn)?shù)，在圖中涂色表示出來。

二、探尋分?jǐn)?shù)意義教學(xué)新路徑

（一）重組教材的思考

根據(jù)上面的研究，筆者對分?jǐn)?shù)的教學(xué)有了進(jìn)一步的思索。

（1）學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)通過“數(shù)”分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)是否會(huì)更自然？德國數(shù)學(xué)家羅內(nèi)克爾曾一語道出數(shù)字的真諦，作為直覺學(xué)派代表人物，認(rèn)為除了自然數(shù)，其余的數(shù)只不過是為了方便，陸續(xù)創(chuàng)造的玩意兒[1]。從數(shù)字的發(fā)展史來看，人們似乎都是從“數(shù)”物體（集合元素）的“個(gè)數(shù)”開始做出的計(jì)量統(tǒng)計(jì)，只不過由于生產(chǎn)力水平的提高，從單個(gè)數(shù)，發(fā)展到按“群”數(shù)，到后來產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位。對人們的生產(chǎn)生活而言，數(shù)數(shù)是一件自然而然的事情。而“分?jǐn)?shù)”作為數(shù)學(xué)發(fā)展史上創(chuàng)造的第一個(gè)數(shù)，在教學(xué)過程中讓學(xué)生通過“數(shù)”分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)理解這一概念，是否更加合理？對學(xué)生而言，學(xué)習(xí)任何數(shù)，“計(jì)數(shù)單位”和“單位的個(gè)數(shù)”又具有什么意義？

（2）“量”與“率”的分?jǐn)?shù)區(qū)別，二者是否能實(shí)現(xiàn)教學(xué)和諧統(tǒng)一？從便于度量的角度來看，數(shù)“個(gè)數(shù)”而得到分?jǐn)?shù)，充分體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)作為度量數(shù)的意義；但分?jǐn)?shù)的類型很多，對于“比率數(shù)”這樣的分?jǐn)?shù)意義應(yīng)該怎樣體現(xiàn)才最貼切？教學(xué)中應(yīng)該怎樣幫助學(xué)生理解“量”分?jǐn)?shù)和“率”分?jǐn)?shù)的關(guān)系？二者是否可以在某方面達(dá)到統(tǒng)一，才有助于學(xué)生加深認(rèn)識(shí)。

（3）分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)中是否能讓學(xué)生達(dá)到可持續(xù)發(fā)展？研讀不同版本的小學(xué)教材發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)都是從三年級“初步認(rèn)識(shí)”延伸拓展到五年級的“分?jǐn)?shù)的意義”深層認(rèn)識(shí)，分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)分兩次進(jìn)行?！胺?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”不同的教材也不約而同地以“率”分?jǐn)?shù)作為切入點(diǎn)，讓學(xué)生通過“分蛋糕”類似具體的模型初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。這種從“總體”中取走“部分”的關(guān)系能夠比較清楚地構(gòu)建數(shù)與分?jǐn)?shù)的連接，初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)階段，教學(xué)的內(nèi)容和教學(xué)方法一般也不會(huì)有較大的爭議。但進(jìn)一步學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的意義”時(shí)究竟要教什么？又怎樣去學(xué)習(xí)？

（二）教學(xué)設(shè)計(jì)

1.動(dòng)手操作，揭示課題

（1）教師用課前準(zhǔn)備好的等長度繩子，分發(fā)給學(xué)生，學(xué)生利用繩子測量課桌，幾個(gè)繩子可以丈量課桌（4個(gè)）；然后再用繩子去量一量數(shù)學(xué)課本有幾個(gè)繩子的長（一個(gè)都不到），教師適當(dāng)點(diǎn)撥，把繩子對折兩次去量，這時(shí)對折后的繩子就是原來的；而再次測量，書本有3個(gè)，那么對折后的就是被我們創(chuàng)造出來的新單位。

（2）學(xué)習(xí)課題“分?jǐn)?shù)的意義”

在引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐時(shí)，其實(shí)是引導(dǎo)他們思考并創(chuàng)立新的分?jǐn)?shù)意義。揭示課題后，要引導(dǎo)學(xué)生利用“分?jǐn)?shù)”解決問題。

（1）結(jié)合上文揭示實(shí)踐的內(nèi)容，讓學(xué)生說出進(jìn)行測量時(shí)分別使用了哪些測量單位，教師可以通過引導(dǎo)指出：“測量過程中使用了不同的測量單位，數(shù)學(xué)中的‘單位’就好比尺子，使用的尺子不一樣，也就是創(chuàng)造了不同的單位?！痹趯W(xué)生動(dòng)手測量的過程中，并沒有使用尺子，而是創(chuàng)造了“繩子”這一新的單位。學(xué)生剛才測量書本時(shí)利用對折辦法測得書本三次測量是3個(gè)，為繩子的，這里就是創(chuàng)造的新單位，和以往的單位不同，這一新單位是一個(gè)分?jǐn)?shù)，因此，被稱為“分?jǐn)?shù)單位”。

（2）讓學(xué)生說說3/5、2/4、3/9、5/8的分?jǐn)?shù)單位分別是什么?

（3）把一根繩子對折一次、再對折一次、再對折一次，可以創(chuàng)造出哪些分?jǐn)?shù)？分?jǐn)?shù)單位又分別是什么？

（4）既然1/2、1/4、1/9、1/8都是分?jǐn)?shù)單位，那么剛才量書本長的時(shí)候?yàn)槭裁床挥?/2、1/9、1/8來量，而要用1/4來量呢?

學(xué)生會(huì)思考，實(shí)際需要的不同，需要?jiǎng)?chuàng)造不同的分?jǐn)?shù)單位。

3.學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義

（1）想一想，在作業(yè)紙上畫一畫：下面的分?jǐn)?shù)表示的意思

①有8個(gè)三角形，請畫出它的1/2；②有12個(gè)小球，請畫出它的2/3；③有15個(gè)橘子，請畫出它的2/5。

（2）孫悟空在1分鐘內(nèi)吃掉桃子的3/4，那么吃完整個(gè)桃子，共需要多長時(shí)間？還需要多少時(shí)間？

（3）下面我們仔細(xì)思考，分?jǐn)?shù)到底應(yīng)該怎么定義？

學(xué)生1：分?jǐn)?shù)就是把一個(gè)數(shù)分成幾個(gè)等份。

學(xué)生2：將一個(gè)整體平均分成若干份，表示這樣的幾份的數(shù)就是分?jǐn)?shù)。

學(xué)生3：無法用自然數(shù)、小數(shù)和整數(shù)進(jìn)行表示的數(shù)，是分?jǐn)?shù)。

（4）課堂小結(jié)：分?jǐn)?shù)就是通過“分”“數(shù)”兩個(gè)行為動(dòng)作后創(chuàng)造的新概念。整體“分”開后也就確定了分母，就創(chuàng)造出了分?jǐn)?shù)單位。這也就是三年級教學(xué)時(shí)強(qiáng)調(diào)“平均分”的作用。如果沒有平均分，就無法做單位。之后“數(shù)”有多少個(gè)同樣使得單位，確定分子。而分?jǐn)?shù)到底有什么用，存在的意義是什么？其實(shí)就是無法用自然數(shù)進(jìn)行計(jì)數(shù)，“分”之后又可以“數(shù)”了。

結(jié) 語

魯迅先生曾說過：“地上本沒有路，走的人多了，也便成了路?！弊鳛橐痪€教師，有義務(wù)去開啟教學(xué)的多種思路，在嘗試中不斷完善教學(xué)。雖然教學(xué)方法的研究還并不完善，但至少可以引起大家的思考。