指導(dǎo)二次函數(shù)解題 培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

陸喜芳

（江蘇省常熟市第一中學(xué)，江蘇常熟 215500）

引 言

現(xiàn)階段，高中數(shù)學(xué)的難度越來(lái)越大，這使得初中數(shù)學(xué)的難度也逐步提升。函數(shù)尤其是二次函數(shù)作為初中階段新接觸的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于初中學(xué)生來(lái)說(shuō)，一直是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。所以，指導(dǎo)學(xué)生提高二次函數(shù)的解題能力，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)起著重要的作用。在本文中，筆者結(jié)合人教版數(shù)學(xué)教材和自身的教育教學(xué)經(jīng)歷，針對(duì)二次函數(shù)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效性方面，提出四點(diǎn)個(gè)人的見(jiàn)解。

一、觀察題干，提煉重點(diǎn)

函數(shù)的靈活性很強(qiáng)，二次函數(shù)尤是如此。在選擇題、填空題等初中階段所涉及的各類題型中，都經(jīng)常出現(xiàn)，而且二次函數(shù)經(jīng)常會(huì)和其他的知識(shí)配合運(yùn)用，這就需要學(xué)生在解題的過(guò)程中，不要被題目輕易迷惑，仔細(xì)地觀察題干，提煉題目中的重點(diǎn)內(nèi)容[1]。

例如，在某一天的課堂作業(yè)中，有這樣一道例題：設(shè)二次函數(shù)y=x2+2ax+b與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），若△ABC的面積為6，則a與b滿足什么樣的關(guān)系？在這道題中，既出現(xiàn)了二次函數(shù)，也出現(xiàn)三角形求面積的應(yīng)用。其實(shí)這道題是“明修棧道，暗渡陳倉(cāng)”，看似在考察三角形的面積求解，實(shí)際還是在考察二次函數(shù)的相關(guān)特征。教師講解這道例題，首先針對(duì)△ABC的面積求解進(jìn)行分析，引導(dǎo)學(xué)生探究本題究竟要求二次函數(shù)的什么要素。已知C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），則△ABC高為yc=2；A，B都在x軸上，則底為AB，那么就可以列出，解到這里，這道題就很清晰了，考察的是a，b和二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)距離的關(guān)系。設(shè) A，B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，0），（x2，0），因?yàn)橛械贸黾?/p>

可見(jiàn)，二次函數(shù)的運(yùn)用非常靈活。二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)數(shù)量、距離，以及韋達(dá)定理等，都可以成為出題者所要考察的內(nèi)容，教師要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察題干，提煉重點(diǎn)內(nèi)容。

二、立足整體，嘗試轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)作為一門邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，最需要注意的就是，不能將數(shù)學(xué)當(dāng)成一門背誦記憶的科目，更不能強(qiáng)行將公式和知識(shí)點(diǎn)背誦下來(lái)進(jìn)行應(yīng)用，應(yīng)該透徹理解其原理，整體觀察，將題目?jī)?nèi)涵和知識(shí)點(diǎn)的定義聯(lián)系起來(lái)。

例如，有這樣一道題：世界火星商店出售火星模型，售價(jià)59美元一個(gè)，每個(gè)模型的成本價(jià)格是39美元，平均的銷售量是每月250個(gè)。商店老板通過(guò)總結(jié)多月來(lái)市場(chǎng)的需求和以前的銷售經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)出，如果模型的價(jià)格上漲1美元，則每個(gè)月將少賣出18個(gè)，反之，如果模型的價(jià)格降價(jià)1美元，那么，每月模型的銷售量可以上漲19個(gè)。如果現(xiàn)在你是這個(gè)商店的老板，根據(jù)以上的資料，你會(huì)如何調(diào)整模型的價(jià)格，讓商店的利潤(rùn)達(dá)到最高？這道題就需要整體觀察題干，已知總利潤(rùn)=單位凈利潤(rùn)×銷售量，對(duì)調(diào)價(jià)分兩種情況分析，設(shè)模型的售價(jià)下降或者上漲x美元，可知單位凈利潤(rùn)=售價(jià)-成本±x，銷售量隨著價(jià)格的變化也進(jìn)行變化，如果價(jià)格上漲，銷售量＝59－18x；如果價(jià)格下跌，銷售量＝59＋19x。則對(duì)整體進(jìn)行分析可知漲價(jià)時(shí)的利潤(rùn)公式，即y＝（59－18x）（59－39＋x）；降價(jià)時(shí)，y＝（59＋19x）（59－39－x），則可以分別求出相應(yīng)的y的最大值。

因此，教師在講解二次函數(shù)題目的時(shí)候，要注意引導(dǎo)學(xué)生站在整體的角度解題，將信息有效地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)元素，幫助學(xué)生提高解題效率，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、一題多解，發(fā)散思維

初中生剛剛接觸二次函數(shù)，學(xué)習(xí)的感覺(jué)就像在探索一個(gè)未知的領(lǐng)域，此時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)發(fā)散思維尤為重要。二次函數(shù)的題目往往有多種求解方法，教師在教學(xué)中不要局限于最簡(jiǎn)便的解題方法，引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)才是幫助學(xué)生理解概念的最有效方法。

例如，當(dāng)剛剛學(xué)完二次函數(shù)的表達(dá)式之后，練習(xí)中最常出現(xiàn)，也是和二次函數(shù)的定義和性質(zhì)最相關(guān)的一類題型就是根據(jù)已知條件求解二次函數(shù)的解析式，在題目中給出一些特定的已知條件，可以從多個(gè)角度完成對(duì)二次函數(shù)的分析與解析，如：已知一個(gè)二次函數(shù)與坐標(biāo)軸分別有三個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)與y軸交于點(diǎn)A（0，－2），與x軸交于B，C兩點(diǎn)，分別是（-3，0）和（3，0），試求解該二次函數(shù)的解析式。一般來(lái)說(shuō)，解這道題的思路，是直接設(shè)方程的一般式，y=ax2+bx+c，將題干中已知的三個(gè)點(diǎn)分別代入方程中，得到三個(gè)方程，0=a(-3)2+（-3）b+c，0=a32+3b+c，-2=a×02+0×b+c，三個(gè)方程聯(lián)立可以求解三個(gè)未知數(shù)。同時(shí)，這道題還可以引導(dǎo)學(xué)生不設(shè)一般式，利用拋物線的對(duì)稱性，結(jié)合x(chóng)軸上的交點(diǎn)B、C的對(duì)稱軸為y軸，直接設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-m)2+n，可知二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=0，即m=0；函數(shù)在x=0時(shí)，y=-2，可得出n=-2，可以得到方程y=a（x-0）2-2，再將(-3，0)或（3，0）代入方程便可以求解。

二次函數(shù)對(duì)于初中數(shù)學(xué)非常重要，教師通過(guò)把握二次函數(shù)的解題靈活性，可以幫助學(xué)生培養(yǎng)思維的發(fā)散性，提升做題速度和解題能力，進(jìn)一步提高學(xué)生的成績(jī)。

四、數(shù)形結(jié)合，升華意識(shí)

任何一道二次函數(shù)的題目都不能離開(kāi)圖像，將解析式和圖形結(jié)合起來(lái)利用，是解決二次函數(shù)問(wèn)題最好的解題方法。圖像可以詳細(xì)地表現(xiàn)出二次函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)，函數(shù)解析式又可以幫助學(xué)生迅速找到關(guān)系畫出函數(shù)圖像。

例如，在學(xué)習(xí)《函數(shù)圖像平移變換》的課程中，經(jīng)常會(huì)探究?jī)蓚€(gè)函數(shù)之間的關(guān)系和變換規(guī)律。首先，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先進(jìn)行描點(diǎn)畫出y=x2，y=x2+1，y=x2-1的圖像，探究它們之間的關(guān)系，可以看出三個(gè)函數(shù)圖像，在形狀上面沒(méi)有任何的變化，只在高度上面出現(xiàn)差異，y=x2-1是y=x2向下平移了一個(gè)單位，y=x2+1在y=x2的基礎(chǔ)上向上平移了一個(gè)單位，可以得出，函數(shù)解析式后面的常數(shù)項(xiàng)變化會(huì)引起函數(shù)圖像向上或者向下的平移。然后，引導(dǎo)學(xué)生再進(jìn)行描點(diǎn)畫出y=x2，y=(x+1)2，y=(x-1)2的圖像，再次探究三個(gè)圖像之間的關(guān)系，可以得到，y=(x-1)2是y=x2向右平移了一個(gè)單位，y=(x+1)2是y=x2向左平移了一個(gè)單位，通過(guò)這種方法，可以繼續(xù)探究y=(x+1)2+1，y=(x-1)2-1等圖像是由y=x2經(jīng)過(guò)如何的變換得到的。

通過(guò)圖像，學(xué)生可以很清晰地了解到二次函數(shù)的增減性、對(duì)稱軸、最高點(diǎn)和最低點(diǎn)等特性，可以讓原本抽象的概念很直觀地展現(xiàn)出來(lái)，幫助學(xué)生理解學(xué)習(xí)。教師要幫助學(xué)生做到看圖像分析解析式，培養(yǎng)學(xué)生看到解析式就想起圖像的習(xí)慣，熟練地運(yùn)用二次函數(shù)。

結(jié) 語(yǔ)

因?yàn)槎魏瘮?shù)太過(guò)于抽象，學(xué)生往往難以理解，教師在教學(xué)過(guò)程中，將重點(diǎn)聚焦在最難的二次函數(shù)的講授中，可以幫助學(xué)生彌補(bǔ)弱點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，延伸思路，樹(shù)立自信，提高學(xué)習(xí)能力。