破解解析幾何綜合題的途徑

羅永高

摘要：破解解析幾何綜合題，學(xué)生往往會(huì)遇到兩個(gè)問(wèn)題：1.想不到：不知道從那兒入手，想不到合理的解題方案.2.算不對(duì)：有了解題方案，但缺乏可操作性，還是得不到最后結(jié)論.教師如何打破解題途徑模式化、套路化的束縛，從解決問(wèn)題的思維層面去引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題與解決問(wèn)題，要讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中去體會(huì)解析幾何的基本思想，掌握研究解析幾何問(wèn)題的一般方法。

關(guān)鍵詞：幾何特征；代數(shù)化；代數(shù)運(yùn)算

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1672-1578（2018）28-0133-03

2016年浙江省高考數(shù)學(xué)理科解析幾何試題簡(jiǎn)潔優(yōu)美，背景熟悉，內(nèi)涵豐富.面對(duì)第二小題，許多學(xué)生不知道從那兒入手，原因是不會(huì)分析條件“任意以點(diǎn)A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)”的幾何特征，于是就想不到合理的解題方案.還有部分學(xué)生會(huì)把兩曲線的交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為聯(lián)立方程求解個(gè)數(shù)，但由于沒(méi)有運(yùn)用補(bǔ)集的思想，運(yùn)算比較繁瑣，還是得不到最后結(jié)論.下面以此題為例，分析研究破解的途徑。

范例（2016年浙江省高考理科數(shù)學(xué)題19）如圖，設(shè)橢圓x2a2+y2=1（a>1）.

（I）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)（用a、k表示）；

（II）若任意以點(diǎn)A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.分析：如何分析本題中幾何對(duì)象的幾何特征及圖像之間的位置關(guān)系呢？

設(shè)點(diǎn)P為橢圓在y軸左側(cè)上的任一點(diǎn)，令|PA|max=d.設(shè)圓方程為x2+（y-1）2=r2.

若本題關(guān)注圓與橢圓的位置關(guān)系，可得如下結(jié)論：

由上圖可知，圓與橢圓至多三個(gè)交點(diǎn)，有四種情況.而它的反面只有一種情況.所以首先會(huì)運(yùn)用補(bǔ)集的思想，從圓與橢圓四個(gè)公共點(diǎn)入手，得到解法1.

解法1.假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè)，由對(duì)稱性可知y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P，Q，滿足|AP|=|AQ|.記直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，且k1，k2>0，k1≠k2.由（I）知，|AP|=2a2|k1|1+k211+a2k21，|AQ|=2a2|k2|1+k221+a2k22，

故，2a2|k1|1+k211+a2k21=2a2|k2|1+k221+a2k22

所以（k21-k22）[1+k21+k22+a2（2-a2）k21k22]=0

又k1>0，k2>0，k1≠k2，得1+k21+k22+a2（2-a2）k21k22=0.

因此（1k21+1）（1k22+1）=1+a2（a2-2）

（1）

因?yàn)椋?）式關(guān)于k1，k2的方程有解的充要條件是1+a2（a2-2）>1，

所以a>2

因此，任意以點(diǎn)A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件是1

由e=ca=1-1a2得所求離心率的取值范圍為0

評(píng)注：上述解法通過(guò)把弦長(zhǎng)相等轉(zhuǎn)化為關(guān)于k1，k2的方程問(wèn)題雖然思路清晰，但運(yùn)算量比較大，特別是2a2|k1|1+k211+a2k21=2a2|k2|1+k221+a2k22，

化簡(jiǎn)到（1k21+1）（1k22+1）=1+a2（a2-2） 難度很大，需要很強(qiáng)的運(yùn)算能力.

能不能簡(jiǎn)化運(yùn)算？考慮到1+k21化簡(jiǎn)用正切換元.

令k1=tanα，k2=tanβ（α≠β，α，β∈（0，π2））.

由2a2|k1|1+k211+a2k21=2a2|k2|1+k221+a2k22，

∵2a2|tanα|1+tan2α1+a2tan2α =2a2sinα1+（a2-1）sin2α，

∴sinα1+（a2-1）sin2α=sinβ1+（a2-1）sin2β

∴（sinα-sinβ）（1-（a2-1）sinαsinβ）=0，∴a2=1+1sinαsinβ>2.

比較兩個(gè)運(yùn)算過(guò)程可知，運(yùn)用換元法不僅思路更清晰且大大減少運(yùn)算量.

通過(guò)分析圓與橢圓至多三個(gè)交點(diǎn)，四種情形位置關(guān)系的共同特征，發(fā)現(xiàn)它們?cè)趛軸左側(cè)至多有一個(gè)交點(diǎn)，于是可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為聯(lián)立方程組至多一個(gè)解的問(wèn)題，得到解法2.

解法2.x2+（y-1）2=r2

x2+a2y2=a2（a2-1）y2+2y+r2-a2-1=0.

由于在y軸左側(cè)有至多一個(gè)交點(diǎn)，上述方程在y∈（-1，1）至多有一解，

記f（y）=（a2-1）y2+2y+r2-a2-1

假設(shè)方程有兩解，則f（1）>0

f（-1）>0

-1<11-a2<1

△>0a>2

評(píng)注：對(duì)比上述兩個(gè)解法不難看出，對(duì)幾何對(duì)象的幾何特征分析得越深入，代數(shù)化的方法就越簡(jiǎn)潔.

以上的做法都沒(méi)注意到弦長(zhǎng)|PA|的變化趨勢(shì)與圓與橢圓公共點(diǎn)的關(guān)系. 若任意以點(diǎn)A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，從弦長(zhǎng)|PA|的單調(diào)性看，當(dāng)點(diǎn)P從上到下移動(dòng)時(shí)，可知|PA|一定單調(diào)遞增.否則若|PA|不單調(diào)，則橢圓在y軸左側(cè)存在一點(diǎn)Q，使得|PQ|最大，說(shuō)明|PA|當(dāng)點(diǎn)P從上到下移動(dòng)時(shí)先單調(diào)遞增，后單調(diào)遞減.

所以當(dāng)圓的半徑r∈（2，|PQ|）時(shí)，圓與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，顯然不滿足條件.下面從研究弦長(zhǎng)的單調(diào)性入手，得到解法4.

解法4.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y） ，

則l=|AB|=x2+（y-1）2=（1-a）2（y-11-a2）2+a4a2-1.

對(duì)稱軸y=11-a2，y∈（-1，1）.

（1）若11-a2≤-1，a≤2.此時(shí)l（y）在（-1，1）上為單調(diào)減函數(shù)，

當(dāng)r∈（0，2）時(shí)，圓與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)r=2時(shí)，圓與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)r∈（2，+∞）時(shí)，圓與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)；顯然滿足條件.

（2）當(dāng)11-a2>-1，a>2.此時(shí)l（y）在（-1，11-a2）上增，在（11-a2，1）上減.

當(dāng)y=11-a2時(shí)，l（y）max=a2a2-1.

當(dāng)r∈（2，a2a2-1）時(shí)，圓與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)r∈（0，2）∪（a2a2-1時(shí)，圓與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)r=2時(shí)，圓與橢圓有三個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)r∈（a2a2-1，+∞）時(shí)，圓與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)； 顯然不滿足條件.

評(píng)注：通過(guò)分析研究弦長(zhǎng)|PA|的單調(diào)性不僅輕松的得到了任意以點(diǎn)A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件，解答過(guò)程更簡(jiǎn)潔，且得到了本問(wèn)題的更一般性的結(jié)論.

當(dāng)然從第一小題結(jié)論出發(fā)，也可以研究弦長(zhǎng)|PA|的單調(diào)性，于是又得到解法5.

解法5.|AP|=2a2|k|1+k21+a2k2，令k=tanα，

從而可知|AP|在（0，a2-1）上單調(diào)遞增，在（a2-1，+∞）上單調(diào)遞減.

又因?yàn)閨AP|在（1，+∞）上必須單調(diào)，故a2-1≤1，即a≤2

評(píng)注：由解法4、5可知，若任意以點(diǎn)A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件是|PA|當(dāng)點(diǎn)P從上到下移動(dòng)時(shí)單調(diào)遞增.說(shuō)明當(dāng)圓的半徑r=2時(shí)，圓x2+（y-1）2=4與橢圓內(nèi)切于點(diǎn)（0，-1），于是得到更直觀的解法.

解法6.x2+（y-1）2=4

x2+a2y2=a2（a2-1）y2+2y+3-a2=0

△=0，a=2，e=22.根據(jù)橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系，可知e∈（0，22].

比較分析上述六個(gè)解法的思維過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)它們有一個(gè)共同的特征，其解法都經(jīng)歷了這樣幾個(gè)關(guān)鍵的步驟：

（1）根據(jù)題目的條件，分析幾何對(duì)象的幾何特征，從兩個(gè)方面去分析：對(duì)于單個(gè)的幾何對(duì)象，只要研究它的幾何性質(zhì).對(duì)于不同的幾何對(duì)象，還要關(guān)注它們的位置關(guān)系.

怎樣分析幾何特征呢？一方面要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)幾何對(duì)象的幾何特征分析時(shí)可以結(jié)合它們的圖形，對(duì)幾何圖形研究的深度決定了代數(shù)化過(guò)程運(yùn)算量的大小.熟記常見(jiàn)圖形的幾何性質(zhì)及常見(jiàn)輔助線，對(duì)分析幾何圖形的幾何特征都非常必要.例如常見(jiàn)輔助線有：等腰三角形取底中點(diǎn).切線作半徑.圓的弦作直徑.中點(diǎn)作中位線等.

分析幾何對(duì)象的幾何特征的另一方面是要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從曲線方程、數(shù)學(xué)式等數(shù)據(jù)中得到有關(guān)幾何對(duì)象的幾何特征.這一點(diǎn)往往是許多學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何時(shí)感到最困惑的地方，表現(xiàn)在學(xué)生缺乏從代數(shù)式中去分析幾何特征的能力.若對(duì)于直線ax+by+b-a=0是什么樣的直線的理解，當(dāng)參數(shù)a，b變化時(shí)，直線ax+by+b-a=0表示一組動(dòng)直線，這些動(dòng)直線具有什么樣共同的特征呢？引導(dǎo)學(xué)生從不同角度找出定點(diǎn)顯得十分重要.

對(duì)幾何對(duì)象的幾何特征及圖像之間的位置關(guān)系分析得越深入，代數(shù)化的方法就越簡(jiǎn)潔.

（2）在明確了幾何對(duì)象的幾何特征的基礎(chǔ)上，通過(guò)設(shè)點(diǎn)，列方程進(jìn)行幾何元素的代數(shù)化、位置關(guān)系的代數(shù)化、所要解決問(wèn)題結(jié)論的代數(shù)化.

（3）進(jìn)行合理的代數(shù)運(yùn)算.包括解聯(lián)立方程組、消去參數(shù)求變量的值及范圍、運(yùn)用函數(shù)的研究方法解決方程根的問(wèn)題及最值問(wèn)題.掌握常見(jiàn)的簡(jiǎn)化運(yùn)算的方法也是十分必要的.如選擇一個(gè)合理的解題程序、點(diǎn)坐標(biāo)及曲線方程的合理使用、運(yùn)用設(shè)而不求的對(duì)策、注意點(diǎn)差法的合理使用、運(yùn)用方程的幾何特征、熟練運(yùn)用換元法簡(jiǎn)化運(yùn)算、掌握幾種常見(jiàn)的消元法、運(yùn)用解析幾何中常見(jiàn)結(jié)論等方法.

（4）由代數(shù)結(jié)果，分析得出幾何的結(jié)論.

平面解析幾何綜合題的教學(xué)，要讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中去體會(huì)解析幾何的基本思想，掌握研究解析幾何問(wèn)題的一般方法.要實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，教師要打破模式化、套路化的束縛，從解決問(wèn)題的思維層面去引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題與解決問(wèn)題，要讓學(xué)生從學(xué)科的思維方法去解決問(wèn)題，這樣才能達(dá)到事半功倍的效果。