古代代數(shù)學(xué)之父

林革

丟番圖（約246～330），古希臘著名數(shù)學(xué)家，他對(duì)代數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了極其重要的奠基作用，被譽(yù)為“古代代數(shù)之父”。希臘數(shù)學(xué)自畢達(dá)哥拉斯學(xué)派后，研究的主流在于幾何論證，甚至一切代數(shù)問(wèn)題都被納入了幾何的模式之中。直到丟番圖，才把代數(shù)真正從幾何的羈絆中解放出來(lái)，成為一門獨(dú)立的學(xué)科。

別出心裁的墓碑題

對(duì)于丟番圖的生平，人們知之甚少。唯一的簡(jiǎn)歷是從《希臘詩(shī)文集》中所得。這本由古希臘語(yǔ)法學(xué)家麥特羅爾所輯的著作中，記錄有46首和代數(shù)問(wèn)題有關(guān)的短詩(shī)，其中就包括數(shù)學(xué)愛(ài)好者津津樂(lè)道的“丟番圖的墓碑題”。由于《希臘詩(shī)文集》是公元500年前后的遺物，加上史學(xué)家對(duì)一些學(xué)者書信著作中相關(guān)信息的研判，大致可以推斷出丟番圖生活于246～330年。

這道有趣的墓碑題，用詩(shī)歌的形式巧妙、含蓄地?cái)⑹隽藖G番圖的一生：過(guò)路的人啊！這里埋葬著丟番圖，請(qǐng)計(jì)算下列數(shù)目，便可知他一生經(jīng)過(guò)了多少個(gè)寒暑。他生命的16是幸福的童年；又過(guò)了一生的112，他的兩頰長(zhǎng)出了細(xì)細(xì)的胡須；再過(guò)了一生的17，他結(jié)婚建立了幸福的家庭；婚后5年有了可愛(ài)的兒子，可惜兒子的壽命只有父親的一半；晚年喪子真是可憐，兒子死后，老人在悲痛中度過(guò)4年就與世長(zhǎng)辭。請(qǐng)你算一算，丟番圖活到幾歲，才與死神見(jiàn)面？

要想知道丟番圖活到多大歲數(shù)，就得解答這則數(shù)學(xué)謎語(yǔ)。用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思路分析解答并不困難，常規(guī)策略仍是按量率對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，或假設(shè)未知數(shù)的方程思路解答，具體步驟不作贅述，留給有興趣的讀者探究。在此僅介紹一種另辟蹊徑、別具一格的當(dāng)代巧解。

題目中提到，“丟番圖生命的16是幸福的童年”“又過(guò)了生命的112”和“再過(guò)了一生的17”，由此可知，丟番圖的年齡既是6的倍數(shù)，又是12的倍數(shù)，還是7的倍數(shù)，因?yàn)?2的倍數(shù)自然就是6的倍數(shù)，這就說(shuō)明，丟番圖的年齡是12和7的公倍數(shù)，即可能是84、168、252……根據(jù)生活常識(shí)，人的壽命目前不可能達(dá)到168歲乃至252歲……因此，滿足要求的只有一種可能，即丟番圖活到了84歲。

不難看出，這種解題技巧極為簡(jiǎn)潔實(shí)用，迅速摒棄了無(wú)關(guān)信息，一下子抓住題目的關(guān)鍵，運(yùn)用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)，方便快捷地解決了問(wèn)題。當(dāng)然，考慮到古希臘的數(shù)學(xué)背景和基礎(chǔ)，無(wú)論常規(guī)思路還是巧妙策略都無(wú)從談起，因此，這道別出心裁的“墓碑題”被作為難題記錄和傳播并不足為奇。

代數(shù)學(xué)和《算術(shù)》

丟番圖對(duì)代數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了極其重要的作用，他所撰寫的《算術(shù)》就是一部劃時(shí)代的著作，在數(shù)學(xué)史上的地位可與《幾何原本》相提并論，他本人因而獲得“古代代數(shù)學(xué)之父”的美譽(yù)。其中的數(shù)學(xué)觀對(duì)后來(lái)的數(shù)論學(xué)者影響巨大，以其名命名的“丟番圖方程”（不定方程），至今仍是數(shù)論研究的重大課題。《算術(shù)》這本著作討論了一次、二次以及個(gè)別的三次方程，還有大量的不定方程。現(xiàn)在對(duì)于具有整數(shù)系數(shù)的不定方程，如果只考慮其整數(shù)解，這類方程就叫作丟番圖方程，它是數(shù)論的一個(gè)分支。不過(guò)丟番圖并不要求解答是整數(shù)，而只要求是正有理數(shù)。

從另一個(gè)角度看，《算術(shù)》一書也可以歸入代數(shù)學(xué)的范圍。代數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的最大特點(diǎn)是引入了未知數(shù)，并對(duì)未知數(shù)加以運(yùn)算。就引入未知數(shù)、創(chuàng)設(shè)未知數(shù)的符號(hào)以及建立方程的思想（雖然未有現(xiàn)代方程的形式）這幾方面來(lái)看，丟番圖的《算術(shù)》完全可以算得上是代數(shù)學(xué)。

《算術(shù)》共有13卷，但15世紀(jì)發(fā)現(xiàn)的希臘文本僅有6卷。1973年，人們?cè)谝晾示硟?nèi)的馬什哈德又發(fā)現(xiàn)了4卷阿拉伯文的，這樣一來(lái)，現(xiàn)存的《算術(shù)》只有10卷，共收集了290個(gè)有趣的問(wèn)題。每道題都有出人意料的巧妙解法，這些解法開動(dòng)人的腦筋，啟迪人的智慧，以至后人把這類題目叫作丟番圖問(wèn)題。

美中不足的是，在五花八門、精彩紛呈的解題方法中，丟番圖沒(méi)有著力探究一般性的解法或解法之間的關(guān)聯(lián)。

《算術(shù)》具有東方色彩，用純分析的角度處理數(shù)論問(wèn)題。這是希臘算術(shù)與代數(shù)的最高途徑。它傳到歐洲的時(shí)間較晚。16世紀(jì)，胥蘭德翻譯出版了拉丁文《算術(shù)》。其后，巴歇出版了經(jīng)他校訂的希臘文-拉丁文對(duì)照本，這使得費(fèi)馬走向近代數(shù)論之路，他在這個(gè)本子上寫了許多批注，包括著名的費(fèi)馬大定理。

希臘數(shù)學(xué)自畢達(dá)哥拉斯學(xué)派后，興趣中心在幾何，他們認(rèn)為只有經(jīng)過(guò)幾何論證的命題才是可靠的。為了邏輯上的嚴(yán)密性，代數(shù)也披上了幾何的外衣。一切代數(shù)問(wèn)題，甚至簡(jiǎn)單的一次方程的求解，也都被納入了幾何的模式之中。直到丟番圖出現(xiàn)，才把代數(shù)解放出來(lái)，完全脫離了幾何的限制。丟番圖認(rèn)為，代數(shù)方法比幾何的演繹陳述更適宜于解決問(wèn)題，因而在解題過(guò)程中顯示出高度的巧思和獨(dú)創(chuàng)性，在希臘數(shù)學(xué)中獨(dú)樹一幟。

獨(dú)具匠心的假設(shè)

丟番圖對(duì)算術(shù)理論有著深入和獨(dú)特的研究，以解題技巧高超著稱。下面介紹的就是丟番圖巧妙解題的一則小故事。

丟番圖有一位得意門生名叫帕普斯，他從很小的時(shí)候起就跟隨丟番圖學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。一天，帕普斯遇到一個(gè)難題：有4個(gè)數(shù)，把其中每3個(gè)數(shù)相加，其和分別為20、22、24和27，求這4個(gè)數(shù)。

這個(gè)問(wèn)題看起來(lái)簡(jiǎn)單，解答起來(lái)卻比較繁瑣。因?yàn)轭}中有4個(gè)未知數(shù)，按照通常列方程解應(yīng)用題的方法，必須設(shè)出4個(gè)未知數(shù)，列出4個(gè)方程，得到一個(gè)4元一次方程組，然后再解方程組。

于是他設(shè)4個(gè)數(shù)分別為x、y、g、t，則依題意得方程組（如左圖），可在具體求解時(shí)他被這個(gè)方程組搞得昏頭昏腦，陷在算式的沼澤里無(wú)法自拔。在當(dāng)時(shí)相對(duì)落后的文化背景和數(shù)學(xué)工具的限制下，帕普斯束手無(wú)策也在情理之中。無(wú)奈之下，他只得向老師請(qǐng)教，詢問(wèn)能否用簡(jiǎn)便的方法解答這個(gè)問(wèn)題。丟番圖看后笑著回答：“行?。⌒邪。　彪S即給出了一個(gè)極為簡(jiǎn)單的解法。

丟番圖也是假設(shè)未知數(shù)列方程解答，只是他的設(shè)法出人意料、一反常規(guī)，不去詳細(xì)分設(shè)4個(gè)未知數(shù)，而是假設(shè)這4個(gè)未知數(shù)之和為x。于是，這4個(gè)數(shù)就分別為x減去其余3個(gè)數(shù)之和，即分別為x-20、x-22、x-24和x-27。由此可列方程：（x-20）+（x-22）+（x-24）+（x-27）=x解得：x=31，最終得出這4個(gè)數(shù)分別為11、9、7和4。

老師的解答讓帕普斯茅塞頓開，心悅臣服的他從此堅(jiān)定了畢生從事數(shù)學(xué)研究的決心，并最終成為一位著名的數(shù)學(xué)家。

從上面的故事不難看出，丟番圖的解答巧妙之處在于，他沒(méi)有糾纏在常規(guī)思路中，而是采用變通思維進(jìn)行處理，這充分體現(xiàn)了丟番圖作為數(shù)學(xué)家善于打破思維定勢(shì)的能力。

巧思妙解和發(fā)現(xiàn)

由此不難發(fā)現(xiàn)，丟番圖擁有過(guò)人的數(shù)學(xué)眼光和高深的數(shù)學(xué)造詣。

意義深遠(yuǎn)的貢獻(xiàn)

丟番圖一直推崇并認(rèn)為代數(shù)方法比幾何的演繹陳述更適宜解決問(wèn)題，在解答過(guò)程中更能顯示出數(shù)學(xué)智慧和機(jī)巧。比如（a+b）2=a2+2ab+b2在歐幾里得的《幾何原本》中是一條重要的幾何定理，而在丟番圖的《算術(shù)》中只是簡(jiǎn)單代數(shù)運(yùn)算法則的必然結(jié)果，因此，充分體現(xiàn)丟番圖數(shù)學(xué)思想的《算術(shù)》幾乎就是純粹的代數(shù)著作。代數(shù)由此自成體系，這也是丟番圖對(duì)人類文明做出的巨大貢獻(xiàn)。

根據(jù)符號(hào)使用的情況，代數(shù)學(xué)可以分為三類：文詞代數(shù)（完全用文字來(lái)敘述而不用符號(hào)）、簡(jiǎn)字代數(shù)以及符號(hào)代數(shù)（除個(gè)別地方，一切全用符號(hào)表示）。丟番圖構(gòu)建了代數(shù)學(xué)的雛形，也創(chuàng)設(shè)了一些符號(hào)，而問(wèn)題的敘述仍然主要采用文字，和現(xiàn)代的符號(hào)代數(shù)相去甚遠(yuǎn)，可算是較為原始的簡(jiǎn)字代數(shù)。

丟番圖所處理的問(wèn)題大部分是多元的，但他只設(shè)一個(gè)未知數(shù)，相當(dāng)于現(xiàn)在的x，遇到多個(gè)未知數(shù)時(shí)仍用同一符號(hào)，而和x2、x3、x4、x5等相當(dāng)?shù)母鞔蝺?，又都有專門的名稱和符號(hào)，這使得其計(jì)算過(guò)程非常繁瑣晦澀。為了避免混淆，人們不得不運(yùn)用高度的技巧，這常常使方法失去普遍性。但不可否認(rèn)，丟番圖創(chuàng)設(shè)符號(hào)仍是代數(shù)學(xué)的一大進(jìn)步。

除此之外，丟番圖的思想和發(fā)現(xiàn)對(duì)后世數(shù)學(xué)家研究數(shù)論影響深遠(yuǎn)。比如前面提到4個(gè)數(shù)中“任何兩數(shù)之積再加上1，竟然仍是一個(gè)分?jǐn)?shù)的平方”，雖然丟番圖給出了答案，但有關(guān)這個(gè)問(wèn)題的研討和探索并沒(méi)有結(jié)束。有數(shù)學(xué)家對(duì)此提出延伸設(shè)想：“存不存在4個(gè)整數(shù)也具有類似的性質(zhì)呢？”因?yàn)樵谌藗兊乃季S定勢(shì)中，在整數(shù)范圍內(nèi)討論探究似乎更有必要。基于這樣的思路，17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬最終發(fā)現(xiàn)：整數(shù)1、3、8和120也具有上述特性，即其中任兩數(shù)的乘積加上1都是完全平方數(shù)。1×3+1=4=22，1×8+1=9=32，1×120+1=121=112，3×8+1=25=52，3×120+1=361=192，8×120+1=961=312，結(jié)論驗(yàn)證起來(lái)毫不費(fèi)力，但要在浩瀚的數(shù)海中尋找并確定這幾個(gè)數(shù)，絕非易事。這個(gè)無(wú)獨(dú)有偶的圓滿結(jié)局，也印證了“提出一個(gè)問(wèn)題有時(shí)比解決一個(gè)問(wèn)題更重要”的深刻性。

盡管丟番圖謎一般的生平模糊不清，但他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)毋庸置疑，“古代代數(shù)之父”的地位不可動(dòng)搖。對(duì)于這位古希臘杰出的數(shù)學(xué)家，我們理應(yīng)心懷敬意，銘記于心。