淺析矩陣填充方法

鐘宜梅

摘要：矩陣填充的要領(lǐng)是通過低秩矩陣中的已知要素還原出該矩陣的其他未知要素的進(jìn)程.這幾年，關(guān)于矩陣填充方法的理論研究成為壓縮感知技術(shù)的一個(gè)研究熱點(diǎn).在實(shí)際的應(yīng)用領(lǐng)域中涉及對(duì)高維數(shù)據(jù)的分析與處理，可以運(yùn)用矩陣填充的方法來解決。其過程主要是：通過觀測(cè)到的局部數(shù)據(jù)來準(zhǔn)確填充缺失數(shù)據(jù)，從而獲得完整數(shù)據(jù)矩陣的過程。該文先介紹了壓縮感知技術(shù)、矩陣填充方式的低秩矩陣填充、魯棒主成分分析兩種矩陣填充方式的數(shù)據(jù)模型的典范應(yīng)用，并預(yù)測(cè)了壓縮感知知識(shí)將來探索的領(lǐng)域。

關(guān)鍵詞：壓縮感知； 矩陣填充； 低秩矩陣填充； 魯棒主成分分析；稀疏

中圖分類號(hào)：TP3-05 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2018）23-0270-02

Abstract： The matrix filling method is a process of recovering other unknown elements of the matrix by using known elements in the low rank matrix. In recent years， theoretical research on the matrix filling method has become a research hotspot of compressive sensing technology. In practical applications It involves the analysis and processing of high-dimensional data. It can be solved by matrix filling. This paper introduces the data model of two matrix filling methods： compressive sensing， matrix filling， low rank matrix filling， and robust principal component analysis. Typical applications and outlook for future research in the field of compressed sensing. Applying the matrix filling method to actual production applications can speed up the processing of data and has profound implications for engineering projects.

Key words： compressed sensing； matrix fill； low rank matrix fill； robust principal component analysis； sparse

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，大數(shù)據(jù)、人工智能成為社會(huì)中討論的主流話題，而這些領(lǐng)域經(jīng)常是大規(guī)模的數(shù)據(jù)分析與處理。龐大的數(shù)據(jù)量給應(yīng)用領(lǐng)域的發(fā)展帶來了阻礙，即所謂的“高維阻礙（High dimensional obstacle）”。在現(xiàn)實(shí)生活中，數(shù)據(jù)的維度越高，給數(shù)據(jù)的分析和處理帶來了非凡的難度，工作量就會(huì)大大增加。為了辦理高維災(zāi)難，提出了矩陣填充的方法，旨在使數(shù)據(jù)的維度下降來達(dá)到削弱計(jì)算量的便利。矩陣恢復(fù)利用凸優(yōu)化來解決，它派生于廣為盛行壓縮感知理論，是現(xiàn)在廣泛運(yùn)用的數(shù)據(jù)分析器材，主要有矩陣填充和矩陣恢復(fù)問題.[8]本文的主要內(nèi)容分布為：第一節(jié)，簡(jiǎn)述壓縮感知的理論基礎(chǔ)；第二節(jié)，介紹低秩矩陣填充、魯棒主成分分析兩種關(guān)于矩陣填充的理論；第三節(jié)，壓縮感知技術(shù)的以后研究工作做出預(yù)測(cè)。

1 壓縮感知理論

香農(nóng)采樣定理，又名奈奎斯特采樣定律，分析其定理信號(hào)處理角度，采樣和信號(hào)重建是該采樣定理的兩個(gè)過程。對(duì)于采樣，即將連續(xù)時(shí)間信號(hào)轉(zhuǎn)換為離散時(shí)間信號(hào)；對(duì)于信號(hào)重修，即將離散信號(hào)還原成持續(xù)信號(hào)。該定理描述了信號(hào)采樣與信號(hào)帶寬兩者的關(guān)系。為了使恢復(fù)出來的模擬信號(hào)不失真，采樣頻率應(yīng)該高于模擬信號(hào)頻譜中最高頻率的一倍。但如若遵照香農(nóng)定理會(huì)致使產(chǎn)生海量的采樣數(shù)據(jù)，大大增加了存儲(chǔ)和傳輸量。

壓縮感知作為一種快速、有效并且低成本的信號(hào)采集算法，跨越了奈奎斯特采樣定理的約束，得出信號(hào)的采樣速率并不由信號(hào)帶寬決定，而信號(hào)中的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容為重要因素[10]。壓縮感知（Compressive Sensing，簡(jiǎn)稱cs）理論是2006年由Donoho等科學(xué)家提出的介于數(shù)學(xué)和信息科學(xué)的新方向，信號(hào)是稀疏的作為前提條件，采用觀測(cè)矩陣對(duì)其進(jìn)行投影變換，因而變換得成一個(gè)低維度的信號(hào)，然后基于少量投影運(yùn)用重構(gòu)算法得出近似的原信號(hào)。該理論不同于香農(nóng)采樣之處是將采樣與壓縮過程合并一同處理，因而就直接從連續(xù)時(shí)間信號(hào)采樣得到壓縮樣本，再在信號(hào)處理過程中使用優(yōu)化算法處理壓縮感知樣本，從而獲得所需信息。相比于之前的壓縮方法大大簡(jiǎn)化了操作步驟。運(yùn)用壓縮感知理論的主要準(zhǔn)備有：一是將稀疏的信號(hào)在觀測(cè)向量上投影得到觀測(cè)值，二是利用重構(gòu)算法（如OMP、SP、Cosamp或者IHT）由觀測(cè)值重構(gòu)信號(hào)，使信號(hào)損失量最少。

3 應(yīng)用與展望

網(wǎng)絡(luò)不斷發(fā)展，信息的產(chǎn)量也越來越大，數(shù)據(jù)挖掘和處理被研究者作為一種重要的信息資源。但是當(dāng)信息受到干擾或者數(shù)據(jù)的不完整性將導(dǎo)致數(shù)據(jù)的處理之后達(dá)不到預(yù)期的好效果。比如，常見的警察辦案時(shí)，當(dāng)嫌疑人面部遮擋的時(shí)候，傳統(tǒng)的人臉識(shí)別方法就會(huì)失效。因此，數(shù)據(jù)信息的恢復(fù)對(duì)我們的生產(chǎn)生活變得尤其重要[4]。合理利用高維數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)有利于實(shí)現(xiàn)大數(shù)據(jù)、人工智能領(lǐng)域的蓬勃發(fā)展，提出的壓縮感知中矩陣填充的方法便利了數(shù)據(jù)的處理過程。壓縮感知、低秩矩陣填充、魯棒主成分分析等新的大規(guī)模的分析與處理方法定會(huì)在更多的實(shí)際應(yīng)用中發(fā)揮作用[3]。對(duì)于魯棒主成分分析的典型實(shí)例是分離視頻中的背景與目標(biāo)和分離歌聲與背景音樂等。低秩矩陣填充的典型實(shí)例有圖像修復(fù)[6]。人臉識(shí)別中高維人臉圖像是常見的數(shù)據(jù)，可以運(yùn)用矩陣填充的方法將連續(xù)遮擋或損毀的區(qū)域恢復(fù)出來且效果非常好。矩陣填充的方法在壓縮感知未來的理論和實(shí)踐研究中會(huì)有著更多更大的用處。

信號(hào)的稀疏性是壓縮感知得以普遍的前提。本文淺述了壓縮感知的理論其中普遍應(yīng)用的矩陣填充的方法。目前關(guān)于壓縮感知的研究也越來越廣泛，其幾大要點(diǎn)[7]：

（1）稀疏表示未知信號(hào)。這是前提條件，也使得重構(gòu)的效果更加優(yōu)秀；

（2）設(shè)計(jì)觀測(cè)矩陣。設(shè)計(jì)觀測(cè)矩陣的要義是在降低維度的同時(shí)讓信號(hào)X的信息損失降到最低；

（3）設(shè)計(jì)重構(gòu)算法。設(shè)計(jì)出重構(gòu)效率高重構(gòu)時(shí)間短的算法非常有益。

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[6] www.pris.net.cn/teacher/lichunguang

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[10] 趙玉娟. 壓縮感知和矩陣填充及其在信號(hào)處理中應(yīng)用的研究[D].南京郵電大學(xué)，2015.

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