動態(tài)EEAC的自適應分段映射

黃天罡， 薛禹勝， 林振智， 文福拴， 徐 巖， 岳 東

(1． 東南大學電氣工程學院， 江蘇省南京市 210096； 2． 南瑞集團(國網(wǎng)電力科學研究院)有限公司， 江蘇省南京市 211106；3． 智能電網(wǎng)保護和運行控制國家重點實驗室， 江蘇省南京市 211106； 4． 浙江大學電氣工程學院， 浙江省杭州市 310027；5． 南洋理工大學電力與電子工程學院， 新加坡 639798； 6． 南京郵電大學先進技術研究院， 江蘇省南京市 210023)

0 引言

穩(wěn)定算例篩除技術通過機器學習技術[1]或近似的因果算法[2]，從大量算例中識別并篩除穩(wěn)定算例，以減少總計算量。但其中若將實際失穩(wěn)(或穩(wěn)定)的算例誤判為穩(wěn)定(或失穩(wěn))，就形成風險性(或降效性)誤判。算例篩除方法應該在完全杜絕風險性誤判的前提下，盡量減少降效性誤判。為此，相關的篩除規(guī)則應具有相對嚴格的因果背景，并與統(tǒng)計分析技術深度融合來減少計算量[3]。

文獻[4-5]從數(shù)值積分所獲受擾軌跡中，提取可反映該算例的非同調(diào)程度及非哈密頓程度的指標，預估后續(xù)軌跡的穩(wěn)定性，并決定是否提前終止數(shù)值積分。這些指標雖然在一定程度上反映了穩(wěn)定性的因果關系，但主要還是在統(tǒng)計分析層面上歸納了時變特征對積分時長的敏感程度，故在處理那些與訓練樣本接近的考核樣本時，效果較好，但泛化能力卻并不理想。而且由于需要用小步長積分相當長的時段，故總計算量的減少并不令人滿意。

完整的擴展等面積準則(EEAC)[6]由下面3種算法融合而成，即基于數(shù)學模型近似等值的靜態(tài)EEAC(SEEAC)[7]、基于受擾軌跡嚴格映射的集成EEAC(IEEAC)[8]，以及作為紐帶的動態(tài)EEAC(DEEAC)[9]。SEEAC，DEEAC，IEEAC這3種算法都基于“將積分空間中的高維受擾軌跡向一系列映象平面執(zhí)行保穩(wěn)降維映射”的思路。其算法流程都是先獲取多機受擾軌跡，并在受擾軌跡每個仿真步長處重新執(zhí)行保穩(wěn)降維的空間映射，將多機軌跡解耦為一系列正交的時變等值單機—無窮大母線(OMIB)系統(tǒng)的受擾軌跡，從中分別求取能量裕度，最后聚合為原多機系統(tǒng)的能量裕度。

這3種算法的區(qū)別是：求取受擾軌跡的方式與步長(映射步長則與之相同)依次減小。它們分別是單步泰勒級數(shù)展開、4步泰勒級數(shù)展開、小步長數(shù)值積分；在各自對應的受擾軌跡精度的含義下，它們提供的穩(wěn)定裕度都忠實地反映了相應受擾軌跡的穩(wěn)定裕度。給出的穩(wěn)定裕度ηSE，ηDE，ηIE的精度及計算量都依次增加。其中，SEEAC算法具有解析解，計算量可忽略不計，但誤差卻難以保證；IEEAC算法則采用全模型、足夠小的積分及映射步長，所以較慢。需要再次強調(diào)的是，在精確積分給出的受擾軌跡的含義下，IEEAC嚴格地反映了系統(tǒng)的同步穩(wěn)定裕度。

對含有電力電子裝備的電力系統(tǒng)，其被大量換流器解耦為機械轉(zhuǎn)動慣量相互獨立的眾多子系統(tǒng)。暫且將內(nèi)部沒有同步機者標記為A型子系統(tǒng)，而將含有同步機者標記為B型子系統(tǒng)。兩者的復雜交互對系統(tǒng)行為的影響包含2個側(cè)面，即電磁過程對機電過程(A對B)的影響，及機電過程對電磁過程(B對A)的影響。這2個問題所研究的最終目標變量完全不同，所以在數(shù)值積分后，不可能用同樣的方法提取各自的量化指標[10]。A對B的影響是指在電力電子裝置影響下，常規(guī)機組間的穩(wěn)定性問題，EEAC理論完全適用于此；只要受擾軌跡能正確反映電力電子裝置的影響，EEAC算法就一定能正確量化[6]。但是，研究B對A影響的問題，則本來就不是EEAC的目標領域。

作為IEEAC及SEEAC之間的過渡環(huán)節(jié)，DEEAC算法采用大步長泰勒級數(shù)展開求取故障中及故障后的受擾軌跡，故各種性能均處于SEEAC及IEEAC之間。由于完整的EEAC的精度是由IEEAC來保證的，因此DEEAC只會影響整個EEAC算法的整體計算量，而不會影響最后的精度。DEEAC部分地計入了時變因素的影響，并將解析求解的SEEAC與精確求解的IEEAC鏈接為完整的EEAC算法鏈。其作用是：①減少搜索主導映象時的迭代次數(shù)； ②為IEEAC提供更好的初值；③使完整的EEAC算法充分集成IEEAC的精確性與SEEAC的快速性。由于DEEAC本身的計算量僅為少量次數(shù)的泰勒級數(shù)展開，故大大提升了EEAC的整體性價比。

“主導映象系統(tǒng)呈現(xiàn)理想的哈密頓特性”，這是指該映象系統(tǒng)在任何一個時段內(nèi)的等值系統(tǒng)都具有相同的映象系統(tǒng)參數(shù)。已經(jīng)證明：對于這樣的算例，3種算法將給出完全相同的穩(wěn)定裕度值，即ηSE=ηDE=ηIE。

映象系統(tǒng)的非哈密頓特性來自互補群各自群內(nèi)的功角非同調(diào)性及電壓非同調(diào)性?；凇罢`差與積分(及映射)步長之間呈正相關”的規(guī)律，根據(jù)ηSE與ηDE之差，可以定性地將ηDE與ηIE之差(即ηDE的誤差)按大小分類。據(jù)此，可以從大量學習算例中采用機器學習技術訓練分類器。若大部分的穩(wěn)定算例不再需要計算ηIE，總計算量就可大大減少。

文獻[11]設計了算例篩選的分層框架及反映穩(wěn)定算例充分條件的3個判據(jù)，可以強壯而高效地識別無風險算例；文獻[2]進一步應用大數(shù)據(jù)技術，將算例篩除的功能擴展到故障支路兩端不同時開斷的場景。

DEEAC(nd+np)所標記的是：采用步數(shù)為nd(及np)的泰勒級數(shù)，求取故障中(及故障后)受擾軌跡的DEEAC算法。顯然，SEEAC就是DEEAC(1+1)；IEEAC就是nd=Td/Δt，np=Tp/Δt的DEEAC，其中Td和Tp分別為故障中和故障后的時長，Δt為積分步長。

DEEAC(2+2)分段方案已被沿用了30年，但它的分段方案(nd+np)對EEAC的整體性能的影響，以及對算例篩除率的影響卻還未被透徹地研討過。顯然，增加nd或np，都可以提高ηDE的精度，但當步數(shù)增加到一定程度后，精度就不再顯著提高。而計算量卻將一直呈線性增加，故nd及np的值需要優(yōu)化。

故障期間，主導映象的互補群群內(nèi)各機組的功角非同調(diào)性還不明顯，主導映象系統(tǒng)的時變性不會很強。大量仿真也證實，沿用以前的nd=2可達到最佳的性價比。因此僅需優(yōu)化DEEAC(2+np)算法中的np值。

本文探究主導映象在故障中及故障后的時變特性，提出自適應分段映射的DEEAC算法。針對9個實際系統(tǒng)在多工況下的大量對稱及不對稱故障，隨機抽樣；從中篩選出195個強時變的算例，以研究np對DEEAC(2+np)分析精度和速度的影響。據(jù)此設計自適應分段的DEEAC算法，即根據(jù)DEEAC(2+2)與SEEAC所得穩(wěn)定裕度之差來標注目標算例的時變度，并只對強時變的算例采用DEEAC(2+5)算法。仿真驗證了該自適應分段映射方法，以較小的計算增量為代價，大幅提高了DEEAC的分析精度。

1 DEEAC(2+2)算法及其貢獻

1.1 DEEAC(2+2)算法的提出

基于模型聚合技術的SEEAC算法巧妙地將等面積準則應用于多機電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定的快速評估中，其快速性從未受到質(zhì)疑。但在實際大電網(wǎng)中出現(xiàn)的大誤差算例表明：必須正視微分代數(shù)方程在降階等值后的時變特性，而不能回避實際受擾軌跡的求取[6]。由此，文獻[9]提出了傳統(tǒng)的DEEAC(2+2)算法。

DEEAC(2+2)算法在故障中及故障后采用“2+2”分段的泰勒級數(shù)展開獲得受擾軌跡，并相應更新映象OMIB系統(tǒng)的時變參數(shù)。從而將采用“1+1”分段的泰勒級數(shù)、基于模型聚合的SEEAC算法變更為軌跡聚合。附錄A中的圖A1針對一個暫態(tài)失穩(wěn)的多群系統(tǒng)，比較了由SEEAC和DEEAC(2+2)算法執(zhí)行量化分析時的功角(Pe-δ)曲線。不難看出，即使只更新了映象參數(shù)2次，時變因素的影響已被粗略計及，而增加的計算量卻微乎其微。

1.2 DEEAC(2+2)算法的橋梁效應

DEEAC(2+2)算法在計算中共享了SEEAC算法的部分計算，但也修正了由SEEAC算法提供給IEEAC算法的計算初值，以加快收斂到臨界條件。DEEAC(2+2)算法的速度非常接近SEEAC，而比IEEAC算法要快得多，為原本水火不容的分析精度與速度提供了協(xié)調(diào)的可能。

DEEAC(2+2)算法豐富了EEAC算法框架。由于部分計及時變因素，因此利用它與完全忽略時變因素的SEEAC算法結(jié)果之間的差別，可以反映算例時變程度的強弱，進而通過為DEEAC(2+2)算法的最大誤差范圍設定保守的閾值，可以篩選出相當大的一部分算例，不必再通過IEEAC計算。由于DEEAC(2+2)算法同SEEAC算法的計算量都很小，因此可在保證零風險性誤判的前提下大大提高分析效率，從而巧妙地協(xié)調(diào)好計算的精確性與快速性[2]。

2 DEEAC(2+2)算法還不夠精巧

2.1 在強時變算例中的表現(xiàn)

DEEAC(2+2)算法在一定程度上計及了時變因素的影響，大大弱化了SEEAC算法對互補群群內(nèi)同調(diào)性假設的依賴。但對具有強時變性的算例，仍有可能產(chǎn)生定性誤判。

2.2 在不同時段內(nèi)選用不同的分段數(shù)

增大nd及np，可以更好地反映算例的時變性，但也增加了計算量。協(xié)調(diào)的思路之一是采用不同的nd及np；思路之二是根據(jù)具體算例的時變特性，自適應地選擇分段數(shù)。

圖1 DEEAC(2+2)算法與IEEAC算法給出的P-δ曲線Fig.1 P-δ curves obtained by DEEAC(2+2) and IEEAC algorithms

附錄A中的圖A2為西北系統(tǒng)(2010年數(shù)據(jù))陜渭南—陜北郊回路1三相短路時的搖擺曲線，深色及淺色曲線分別表示領前群及余下群機組。t1=0.31 s故障清除，t2=1.11 s主導映象系統(tǒng)遇到DSP。故障期間，領前群及余下群的群內(nèi)同調(diào)性相對較好；故障清除后階段，余下群機組表現(xiàn)出較明顯的相對振蕩，時變程度明顯強于故障中。此規(guī)律的普適性在不同的系統(tǒng)及工況中得到驗證。

2.3 分段數(shù)的自適應

為了有效構(gòu)建具有自適應分段映射的DEEAC算法來協(xié)調(diào)分析精度與速度，必須掌握主導映象的時變性分布規(guī)律，僅在時變性強的時段內(nèi)適當增加分段數(shù)；掌握分段數(shù)對分析精度和速度的影響規(guī)律，優(yōu)化自動分段方式。為了保證自適應的強壯性，必須考慮不對稱故障及故障支路兩端先后開斷后的場景。

3 主導映象在暫態(tài)過程中的時變性分布規(guī)律

3.1 暫態(tài)過程的不同階段

在支路開斷時刻(τ)，電網(wǎng)拓撲的變化引起節(jié)點電壓、電流，及轉(zhuǎn)子加速度的突變，將暫態(tài)過程劃分為2個或更多個時段。

3.2 各階段時變程度的表征

在故障中的時段內(nèi)，即使主導映象的互補群各群內(nèi)機組的加速度存在明顯差別，但由于轉(zhuǎn)子間的速度差還未顯著積累，故功角差的變化尚不明顯；由于主導映象的互補群中，各群內(nèi)的非同調(diào)性不會很強，可以采用大步長泰勒級數(shù)展開求取受擾軌跡。而在故障后的時段內(nèi)，群內(nèi)非同調(diào)性可能已充分發(fā)展，大步長泰勒級數(shù)展開引入的誤差可能較大。

文獻[11]根據(jù)DEEAC(2+2)及SEEAC計算結(jié)果之差構(gòu)造了算例的時變度指標。通過單獨改變某一時段內(nèi)的參數(shù)更新次數(shù)，可以掌握該時段內(nèi)時變程度的強弱。

以ek,di,j表示算例k，保持np=2，而nd由i增加為j時的敏感程度，即算例k在故障期間的時變程度，如式(1)所示：

(1)

類似地，式(2)中的ek,pi,j表示算例k，保持nd=2，而np由i增加為j時的敏感程度，即算例k在故障清除后階段的時變程度。其他符號則可類推。

(2)

3.3 故障中及故障清除后階段時變程度的比較

以DEEAC(2+2)為參考，保持非研究階段的分段數(shù)不變，僅增加研究階段的分段數(shù)，按式(1)或式(2)給出的均值來量化研究階段的時變程度。

測試算例的全集(SU)包含下述系統(tǒng)及工況下的三相對稱及不對稱故障：海南(2009年數(shù)據(jù))、山東(2004年及2012年數(shù)據(jù)，分別記為山東A及山東B)、江西(2011年數(shù)據(jù))、浙江(2012年及2013年數(shù)據(jù)，分別記為浙江A及浙江B)、河南(2011年數(shù)據(jù))、新疆(2012年數(shù)據(jù))和南方電網(wǎng)(2012年數(shù)據(jù))等9個系統(tǒng)的原始工況及全部注入量增大5%的修改工況。故障清除時間在0.08～0.50 s之間隨機抽樣，共1 652個三相對稱故障算例，1 620個不對稱故障(單相接地、兩相接地、兩相相間短路)算例。

3.3.1故障期間的時變程度

對任一算例k，固定np為2，將nd由2到6依次增加，分別計算穩(wěn)定裕度，據(jù)式(1)計算其敏感程度的平均值。按不同故障類型、研究系統(tǒng)及工況分別進行統(tǒng)計，最終得到測試算例全集的統(tǒng)計結(jié)果，如附錄B中的表B1及表B2所示。從中可見，不同系統(tǒng)的時變程度有較大差異，但統(tǒng)計的范圍越大，則差異越小。這個統(tǒng)計規(guī)律對于對稱故障及不對稱故障均符合。

3.3.2故障清除后階段的時變程度

采用類似方式，評估了全部算例在故障清除后的時變程度。其結(jié)果示于附錄B中的表B3及表B4。不論在什么范圍內(nèi)的統(tǒng)計值，對稱故障的時變程度都要比不對稱故障的時變程度大。

3.3.3故障中及故障后時變程度的強弱比較

從統(tǒng)計分析的視角，無論在什么范圍內(nèi)的統(tǒng)計值，故障清除后的時變程度都要比故障期間的時變程度大得多，有的甚至達到一個數(shù)量級。其中的因果關系是：隨著時間的積累，不同映象系統(tǒng)之間的能量交換越來越大，表現(xiàn)為非哈密頓因素的影響越來越強烈。

為了以較小的計算代價增量換取較大的分析精度提升，應該在時變程度強的時段，即故障清除后的時段內(nèi)增加映射步數(shù)。

4 np影響計算速度和精度的規(guī)律

4.1 測試算例子集的選取

εth

(3)

當εth取為0.69時，在SU的1 652個對稱故障算例及1 620個不對稱故障算例中，分別有103及92個算例被識別為強時變的算例。需要說明的是，不同的εth值會影響測試算例子集SS的工作量及結(jié)果顯示的清晰度，但εth取為0.69時，已經(jīng)將DEEAC(2+2)算法會定性誤判或接近誤判的所有算例包含在內(nèi)，因此沒有必要由于進一步減小εth值，而造成研究工作量的增加。

4.2 計算速度及精度隨著np變化的規(guī)律

(4)

4.3 計算速度與計算精度的關聯(lián)性

圖2(b)則以np為隱參數(shù)，給出計算速度與計算誤差之間的相關性。np在整數(shù)集{2,3,4}內(nèi)增加時，平均計算量線性增加，而平均誤差呈近乎線性地減??；np在整數(shù)集{4,5}內(nèi)增加時，平均計算量仍然線性增加，而平均誤差僅稍有減小。根據(jù)圖2(b)，可按對誤差和速度的不同偏好選擇恰當?shù)膎p值。

圖2 np對計算速度及精度的影響以及計算速度與計算誤差的關聯(lián)性Fig.2 Influence of np on computational burden and accuracy as well as relevance of the computational burden and the error

5 兼顧分析精度與速度的np

5.1 對np的建議

對算例集SS的平均效果來說，np由2增至4時，單位計算量的增加對分析精度的提升較大，而從4增至6時，則性價比較低。下面再從單獨算例的誤差分布概率來仔細分析。

圖3(a)(或圖3(b))針對np取4(或5)時，給出了SS中各算例的計算誤差εk,np的概率分布。其中，紅線(對應于εk,np=1)右側(cè)為DEEAC(2+np)算法單獨評估時可能發(fā)生定性誤判的算例分布。顯然，np取5更恰當，雖然最終的精度都是由IEEAC來保證的。

圖3 算例誤差概率直方圖Fig.3 Probability histogram of analytical error

5.2 DEEAC(2+5)算法的效果

×100%

(5)

統(tǒng)計結(jié)果列于表1。定性來看：針對對稱(或不對稱)故障，DEEAC(2+5)算法單獨判穩(wěn)時的定性誤判率比DEEAC(2+2)算法減少了50%(或77%)；定量來看，平均精度則提升了21.8%(或29.7%)。

表1 DEEAC(2+5)算法的效果Table 1 Effect of DEEAC(2+5)

6 時變度控制下的自適應快速暫態(tài)穩(wěn)定分析算法

自適應的策略為：①對子集SU〗SS中的各算例，采用DEEAC(2+2)算法可節(jié)省計算量；②對SS中的各算例，可采用DEEAC(2+5)算法提升這些強時變算例的分析精度。問題歸結(jié)到如何在計算ηIE之前判斷具體算例的時變強弱。

6.1 時變指標的選擇

顯然，采用IEEAC的結(jié)果來構(gòu)造時變指標是本末倒置。文獻[11]利用ηSE和ηDE(2+2)間差異，提出時變性指標σ1(τ)以反映故障中及故障后時變程度的強弱?；诮y(tǒng)計分析將對應于σ1(τ)的閾值γ相對保守地設定為0.75，可以保證若某算例σ1(τ)≤γ，則必然不屬于SS；而若某算例σ1(τ)>γ，則未必一定屬于SS。

6.2 自適應EEAC算法

采用自適應DEEAC來連接SEEAC及IEEAC，進一步輔以算例篩除流程[11]，可構(gòu)成自適應分段的完整EEAC流程，如圖4所示。

圖4 基于自適應分段的EEAC算法流程圖Fig.4 Flow chart of adaptive piecewise EEAC algorithm

6.3 計算性能的校核

表2給出按圖4所示流程(尚未計入穩(wěn)定算例篩除功能)，對全部3 272個算例執(zhí)行分析的統(tǒng)計結(jié)果：所需的計算量比全部應用DEEAC(2+2)算法時增加了3.98%，但大大提升了DEEAC的精度。

表2 分析結(jié)果的統(tǒng)計Table 2 Statistical results of the proposed TSA algorithm

7 結(jié)語

DEEAC(2+np)將解析的SEEAC與精確的IEEAC融合為一體。增加np，會在少許增加DEEAC的計算量的同時，改進IEEAC的初值。對于強時變的算例，這可能降低整體計算量。因此，可以根據(jù)具體算例的時變性，自適應地選擇np值。

以DEEAC(2+2)與SEEAC的結(jié)果之差為指標，反映具體算例的時變性強弱。對于弱時變者，可以直接輸出DEEAC(2+2)的結(jié)果；否則，通過DEEAC(2+5)算法向IEEAC提供初值。對9個實際系統(tǒng)中的三相對稱及不對稱故障進行測試，驗證了該自適應分段DEEAC算法的強壯性。與DEEAC(2+2)相比，自適應DEEAC在增加不到4%計算量的代價下，可在維持弱時變算例分析精度的同時大大提高強時變算例分析精度，對2類故障中的強時變算例的分析精度分別提升了21.8%和29.7%，定性誤判數(shù)則分別減少50%和77%。

為將文獻[11]提出的穩(wěn)定算例篩除功能融入，可在本文圖4執(zhí)行“IEEAC算法”之前，插入“穩(wěn)定算例篩除”的步驟。這樣做的益處是：①對于強時變算例，用DEEAC(2+5)替代DEEAC(2+2)做IEEAC的初值，可以減少IEEAC在處理強時變算例時的搜索次數(shù)；②對于弱時變算例，用DEEAC(2+5)替代DEEAC(2+2)直接輸出結(jié)果，則也將提高最后結(jié)果的精度。

本文受南瑞集團有限公司科技項目“綜合能源系統(tǒng)仿真評估關鍵技術研究”資助，特此致謝！

附錄見本刊網(wǎng)絡版(http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx)。