概率問題中的典型錯例剖析

魏玉春

概率是描述一類事件發(fā)生可能性大小的數(shù)學模型，也是近幾年中考的必考知識點.在學習過程中，許多同學因為對概念把握不準確，對原理理解不透徹等造成種種錯誤.我們現(xiàn)結合下面的例子對幾種常見錯誤進行歸類剖析，以引起大家的注意，希望對同學們今后的學習有所啟迪與幫助.

一、對概率的意義理解不透

例1 小麗拋擲一枚硬幣10次，有7次正面朝上，當她拋第十一次時，正面朝上的概率是_______.

【錯解】

【剖析】造成錯誤的原因是沒有真正理解概率的意義，把概率與頻率混為一談.概率與頻率是兩個不同的概念，但兩者又具有十分密切的關系.當重復試驗次數(shù)足夠多時，頻率會趨向于穩(wěn)定，此時穩(wěn)定的頻率與概率十分接近，所以概率的大小可以通過大數(shù)次試驗得到的穩(wěn)定頻率去估計.本例中因為試驗次數(shù)太少，所以不能把頻率作為概率的估計值.

拋擲一枚硬幣時，因為每次試驗都有兩種等可能的結果，即正面朝上或反面朝上，故當小麗拋第十一次時，正面朝上的概率是-

【正解】-

二、對概率計算公式的錯誤使用

例2 學校新開設了航模、彩繪、泥塑3個社團，如果征征、舟舟兩名同學每人隨機選擇參加其中一個社團，那么征征和舟舟都選到航模社團的概率是（ ）.

【錯解】B.

【剖析】錯解者錯誤地認為，從航模、彩繪、泥塑3個社團中，隨機選擇一個社團，征征和舟舟每人選到航模社團的概率都是，所以他們都選到航模社團的概率是現(xiàn)這種錯誤想法的根本原因是對等可能條件下概率的計算公式模糊不清.

用樹狀圖分析如下：

由上圖可得，共有9種等可能的結果，其中征征和舟舟都選到航模社團的結果只有1種，所以征征和舟舟都選到航模社團的概率是.

【正解】C.

三、對事件等可能性認識不清

例3 一個家庭有3個孩子，求這個家庭有2個男孩和1個女孩的概率.

【錯解】這個家庭中3個孩子的性別共有4種情況：男、男、男；男、男、女；男、女、女；女、女、女.所以P（有2個男孩和1個女孩）=.

【剖析】這是初學概率的人最容易犯的錯誤.雖然這個家庭中3個孩子的性別情況只有上述4種，但每一種情況出現(xiàn)的可能性并不相同.錯解者忽略了概率的等可能性這個重要特征.

【正解】畫樹狀圖如下：

∵共有8種等可能的結果，而是2個男孩和1個女孩的結果有3種.

四、對事件的結果考慮不周

例4 3張外觀相同的卡片上分別標有數(shù)字1，2，3，從中隨機一次抽出兩張，這兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3的概率是多少？

【錯解】畫樹狀圖如下：

∵共有9種等可能的結果，而兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3的結果有4種，

【剖析】導致本題求解錯誤的原因是審題不清，忽略了問題中一個重要條件“從中隨機一次抽出兩張”，在此條件下進行試驗，最后的結果中不可能出現(xiàn)兩張卡片上的數(shù)字完全相同的情況.

【正解】畫樹狀圖如下：

∵共有6種等可能的結果，而兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3的結果有2種，