方差與數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性

馬兆兵

蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級上冊117頁的第3題是這樣描述的：

要從甲、乙兩名運動員中選出一名參加校際100m比賽，對這兩名運動員進(jìn)行了10次測試，成績?nèi)缦拢▎挝唬簊）：

12.9 12.8 12.8 12.9 13.0 12.9 12.9 13.1 12.9 12.8甲乙12.8 12.9 12.9 12.7 13.2 13.1 12.8 13.0 12.7 12.9

根據(jù)測試成績，你認(rèn)為選派哪一名運動員參賽更好些？為什么？

兩名運動員的平均成績都是12.9s，此時可通過計算兩組數(shù)據(jù)的方差來比較他們的穩(wěn)定性.甲的方差為0.024，乙的方差為0.008，則選擇乙參加比賽.顯然，方差刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度（穩(wěn)定性）.

一、用方差判斷一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性

例1甲、乙兩種水稻試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：噸/公頃）：

9.4 10.3 10.8 9.7 9.8品種年數(shù)甲乙第一年第二年第三年第四年第五年9.8 9.9 10.1 10 10.2

經(jīng)計算，x甲=10噸/公頃，x乙=10噸/公頃，試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計________種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定.

【解析】甲種水稻產(chǎn)量的方差是：

乙種水稻產(chǎn)量的方差是：

∴甲種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定.

【點評】1.比較兩組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性的步驟：

（1）計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù).

（2）分別計算各自方差：s2=［（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2］.

（3）一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的離散程度越大；一組數(shù)據(jù)的方差越小，說明這組數(shù)據(jù)的離散程度越小.

2.比較一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性需要注意的問題：

一般情況下，兩組數(shù)據(jù)只有在平均數(shù)相同的情況下才根據(jù)方差的大小確定它們的離散程度.

二、利用圖表解決數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的問題

例2 為了從甲、乙兩名選手中選拔一人參加射擊比賽，現(xiàn)對他們進(jìn)行一次測驗，兩個人在相同條件下各射靶10次，為了比較兩人的成績，制作了如下統(tǒng)計圖表：

甲、乙兩人的射擊成績統(tǒng)計表

（1）請補(bǔ)全上述圖表（請直接在表中填空和補(bǔ)全折線圖）.

（2）如果規(guī)定成績較穩(wěn)定者勝出，你認(rèn)為誰應(yīng)勝出？說明你的理由.

（3）如果希望（2）中的另一名選手勝出，根據(jù)圖表中的信息，應(yīng)該制定怎樣的評判規(guī)則？為什么？

【解析】（1）根據(jù)折線統(tǒng)計圖，得甲的射擊成績?yōu)椋ㄈサ舻诎舜蔚某煽儯?，6，7，6，2，7，7，8，9，平均數(shù)為7環(huán).

則甲第八次射擊成績?yōu)椋?/p>

70-（9+6+7+6+2+7+7+8+9）=9（環(huán)），

從小到大排列甲的成績?yōu)椋?，6，6，7，7，7，8，9，9，9，中位數(shù)為7環(huán).

甲成績的方差為：

乙的射擊成績?yōu)椋?，4，6，8，7，7，8，9，9，10，則平均數(shù)為：

乙成績的方差為：

補(bǔ)全表格和折線圖如下：

甲、乙兩人的射擊成績統(tǒng)計表

（2）甲應(yīng)勝出.理由：由于甲的方差小于乙的方差，故甲成績較穩(wěn)定，甲應(yīng)勝出.

（3）若希望乙勝出，可以制定規(guī)則為：命中10環(huán)的總次數(shù)多的勝出.

理由：因為甲命中10環(huán)的次數(shù)為0，而乙命中10環(huán)的次數(shù)為1.

【點評】利用圖表解決數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的問題注意：

1.從圖表中獲取正確的數(shù)據(jù).

2.計算各組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差.

3.比較大小，確定其穩(wěn)定性.

三、方差的性質(zhì)

例3 若一組數(shù)據(jù)a1，a2，a3的平均數(shù)為4，方差為3，那么數(shù)據(jù)a1+2，a2+2，a3+2的平均數(shù)和方差分別是（ ）.

A.4，3 B.6，3 C.3，4 D.6，5

【解析】∵數(shù)據(jù)a1，a2，a3的平均數(shù)為4，

∴數(shù)據(jù)a1+2，a2+2，a3+2的平均數(shù)是6.

∵數(shù)據(jù)a1，a2，a3的方差為3，

故選：B.

【點評】一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)、方差之間的關(guān)系如下：

一組數(shù)據(jù)方差s2 s2表示形式平均數(shù)x x+a x1，x2，x3，…，xn（x1+a），（x2+a），（x3+a），…，（xn+a）kx1，kx2，kx3，…，kxn（kx1+a），（kx2+a），（kx3+a），…，（kxn+a）kx k2s2 kx+a k2s2