“數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度”難點(diǎn)解析

李兆龍

難點(diǎn)一 求眾數(shù)和中位數(shù)

例1 某校對部分參加夏令營的中學(xué)生的年齡（單位：歲）進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如下表：

人數(shù)月收入／元45000 18000 10000 5500 4800 3400 3000 2000 1 1 1 3 6 1 1 1 1

17 1年齡人數(shù)13 1 14 2 15 2 16 3

則這些學(xué)生年齡的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）.

A.16，15 B.16，14

C.15，15 D.14，15

【解析】根據(jù)圖表數(shù)據(jù)，可知16歲的人數(shù)最多，共3人，所以眾數(shù)是16歲；這9名學(xué)生的年齡從小到大排列后，第五名學(xué)生的年齡是15歲，所以中位數(shù)是15歲.故選：A.

【點(diǎn)評】一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).找中位數(shù)時，必須先把數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺判?如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則中間那個數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)是偶數(shù)個，則中間那兩個數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).中位數(shù)和眾數(shù)不同，眾數(shù)指出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，一組數(shù)據(jù)有時可以有不止一個眾數(shù)，也可以沒有眾數(shù)，而中位數(shù)只能有一個.

難點(diǎn)二 “三數(shù)”的應(yīng)用

例2 某公司共有25名員工，下表是他們月收入的資料.

（1）該公司員工月收入的中位數(shù)是______元，眾數(shù)是_____元.

（2）根據(jù)上表，可以算得該公司員工月收入的平均數(shù)為6276元.你認(rèn)為用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中的哪一個反映該公司全體員工月收入水平較為合適？說明理由.

【解析】（1）根據(jù)題意，可知員工月收入的中位數(shù)是3400元，眾數(shù)是3000元.

（2）答案不唯一，用中位數(shù)和眾數(shù)來描述更為恰當(dāng).如選擇中位數(shù)理由如下：這組數(shù)據(jù)中有差異較大的數(shù)據(jù)，這會導(dǎo)致平均數(shù)較大.該公司只有3人的月收入達(dá)到了6276元，用平均數(shù)來反映全體員工的月收入水平不合適.該公司員工月收入的中位數(shù)為3400元，除去月收入為3400元的員工，一半員工收入高于3400元，一半員工收入低于3400元.因此，利用中位數(shù)可以更好地反映這組數(shù)據(jù)的集中趨勢.

【點(diǎn)評】平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的“平均水平”，與每一個數(shù)據(jù)都有關(guān)，易受極端值的影響；眾數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的“多數(shù)水平”，其大小只與部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)，有時不唯一，有時也沒有；中位數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的“中等水平”，當(dāng)一組數(shù)據(jù)的個別數(shù)據(jù)偏大或偏小時，用中位數(shù)來描述該組數(shù)據(jù)的集中趨勢就比較合適.

難點(diǎn)三 方差

例3 小林和小明練習(xí)射擊，第一輪10槍打完后兩人打靶的環(huán)數(shù)如圖所示.通常新手的成績不太穩(wěn)定，那么根據(jù)圖中的信息，估計小林和小明兩人中新手是 .

【解析】我們通過觀察圖像，可以看出，小明的成績比較集中，波動較小，即方差比較小，而小林成績波動較大.根據(jù)方差的意義，可以知道，波動越大，成績越不穩(wěn)定.又已知通常新手的成績不太穩(wěn)定，故新手是小林.

【點(diǎn)評】本題考查方差的意義.各數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)平均數(shù)的差的平方和的平均數(shù)叫做方差，反映這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度.方差越大，這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度（離散程度）就越大，即波動就越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；方差越小，表明這組數(shù)據(jù)的離散程度越小，分布越集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度就越小，波動也越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.本題沒有給出小林和小明射擊成績的具體數(shù)據(jù)，只給出了數(shù)據(jù)圖像，不能利用方差的計算公式計算出方差值.因此，我們要另辟蹊徑，想到利用方差的意義對圖像進(jìn)行分析.

難點(diǎn)四 “三數(shù)與兩差”的綜合應(yīng)用

例4 為了發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，某中學(xué)利用“陽光大課間”，組織學(xué)生積極參加豐富多彩的課外活動.學(xué)校成立了舞蹈隊(duì)、足球隊(duì)、籃球隊(duì)、毽子隊(duì)、射擊隊(duì)等，其中射擊隊(duì)在某次訓(xùn)練中，甲、乙兩名隊(duì)員各射10發(fā)子彈，成績用如圖的折線統(tǒng)計圖表示（甲為實(shí)線，乙為虛線）：

（1）依據(jù)折線統(tǒng)計圖，得到下面的表格：

射擊次序（次）甲的成績（環(huán)）乙的成績（環(huán)）1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 8 9 7 9 8 6 7 a 1 6 7 9 7 9 1 0 8 0 8 7 b 1 0

其中a=_______，b=_______.

（2）甲成績的眾數(shù)是_______環(huán)，乙成績的中位數(shù)是_______環(huán).

（3）請運(yùn)用方差的知識，判斷甲、乙兩人誰的成績更為穩(wěn)定？

【解析】（1）由折線統(tǒng)計圖知a=8，b=7.

（2）甲射擊成績出現(xiàn)次數(shù)最多的是8環(huán).把乙成績按從小到大順序排列，中間兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)是7.5，所以乙成績的中位數(shù)是7.5環(huán).

（3）因?yàn)閤甲=x乙=8（環(huán)），s甲2=1.2，s乙2=1.8，s甲2＜s乙2，故甲成績更穩(wěn)定.

【點(diǎn)評】大家平時應(yīng)注意結(jié)合一些具體事例去理解這部分知識，要逐步體會這些知識在實(shí)際生活中的應(yīng)用，而不是關(guān)注一些具體計算.

相信以上學(xué)習(xí)能夠幫助同學(xué)們鞏固本章相關(guān)知識，化難為易，真正適應(yīng)中考命題.