有界解析函數(shù)空間上的算子D2Mu 的有界性和緊性

高　超

(連云港開放大學(xué)，江蘇 連云港 222006)

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有界解析函數(shù)空間上的算子D2Mu的有界性和緊性

高超

(連云港開放大學(xué)，江蘇 連云港 222006)

討論了單位圓盤上有界解析函數(shù)空間上的算子D2Mu的有界性和緊性，得到了有界解析函數(shù)空間上的算子D2Mu的有界算子或緊算子的充要條件.

算子D2Mu；有界解析函數(shù)空間；有界性；緊性

下面是本文將要討論的算子，

在文獻[1],[2]中研究了算子Mu，受上述文獻啟發(fā)，本文討論了算子D2Mu，得到了有界解析函數(shù)空間上的算子D2Mu的有界算子和緊算子的充要條件.文中字母C是一個正常數(shù)，不同的地方可以不同.

1　預(yù)備引理

引理1.1[3,4]若f∈H∞，則對于任意自然數(shù)n，存在一個與f無關(guān)的正常數(shù)C，使得

PPARγ激動劑對抗經(jīng)氟誘導(dǎo)的SH-SY5Y神經(jīng)細胞氧化損傷 ……………… 劉仙紅，等(10):1149

由Montel定理及緊算子定義，可得出下面的引理.

引理1.2設(shè)u∈H(D),則算子D2Mu:H∞→H∞是緊算子的當(dāng)且僅當(dāng)D2Mu:H∞→H∞是有界算子且對于H∞中在D的緊子集上一致收斂于0的任意有界列(fk)k∈N，有

2　主要定理及證明

定理 2.1設(shè)u∈H(D),，則算子D2Mu:H∞→H∞是有界算子的當(dāng)且僅當(dāng)

(1)

|(D2Muf)(z)|

所以D2Mu:H∞→H∞是有界算子.

下面假設(shè)D2Mu:H∞→H∞是有界算子，那么存在一個正常數(shù)C使得對于任意f∈H∞，

‖D2Muf‖∞≤C‖f‖∞.

固定w∈D,取檢驗函數(shù)

由于D2Mu:H∞→H∞是有界算子，所以

所以

證畢.

定理2.2設(shè)u∈H(D),，則算子D2Mu:H∞→H∞是緊算子的當(dāng)且僅當(dāng)

(2)

下面假設(shè)是D2Mu:H∞→H∞是緊算子，由于D2Mu:H∞→H∞是緊算子，那么D2Mu:H∞→H∞是有界算子.令(zi)i∈N∈D是使得|zi|→1的數(shù)列.取檢驗函數(shù)fi(z)=fzi(z)，那么

于是

證畢

[1]LiuY,YuY.Themultiplicationoperatorfrommixed-normton-THweighted-typespacesontheunitdisk[J].MathInequalAppl,2012,(2):437-448.

[2] 葉善力.Bloch型空間的點乘子[J].福建師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2006，(2)：1-4.

[3]LiuY,YuY.CompositionfollowedbydifferentiationbetweenH∞andZygmundspaces[J].ComplexAnalOperTheory, 2010, (1):121-137.

[4]StevicS.CompositionbyfollowedbydifferentiationfromH∞andBlochspacestonthweight-typespacesontheunitdisk[J].ApplMathComput, 2010, (12):3450-3458.

(責(zé)任編校：晴川)

Boundedness and Compactness of the Operator D2Muon Bounded Analytic Functions Space

GAO Chao

(Lianyungang Open University, Lianyungang Jiangsu 222006, China)

This paper discusses the boundedness and compactness of the operator D2Muon bounded analytic functions space on the unit disk. Some necessary and sufficient conditions are given for a bounded or a compact operator on bounded analytic functions space.

the operator D2Mu; bounded analytic functions space; boundedness; compactness

2016-05-24

高超(1984— )，男，江蘇連云港人，連云港開放大學(xué)講師.研究方向：算子算法和圖論.

O177.2；O174.5

A

1008-4681(2016)05-0005-02