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    函數(shù)套函數(shù),圖象反復(fù)看

    2018-11-23 04:29:38余建國
    新高考·高三數(shù)學(xué) 2018年5期
    關(guān)鍵詞:實根解方程值域

    余建國

    通過考查函數(shù)零點,既可以綜合考查函數(shù)的圖象與性質(zhì),又可以考查等價轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,所以這類問題往往用在小題“壓軸”上.熱點追蹤表明,一個函數(shù)已“不夠難”了,兩個函數(shù)“套”起來!如求類似于f(f(x))的零點,分兩步,先解方程f(x)=0,若其中一根為x0,則再解方程f (x)=x0所得根即為f(f(x))的零點.

    例1 如圖,偶函數(shù)f(x)的圖象如字母M(如圖1),奇函數(shù)g(x)的圖象如字母N(如圖2),若方程f(f(x))=0,廠(g(x))=0的實根個數(shù)分別為m,n,則m+n=

    分析 解方程f(f(x))=o,實際上將f(x)圖象看兩次:先看f(x)=0,如一根3/2,再看方程f(x)=3/2的根,此時需要注意x0是否在f(x)的值域內(nèi),還需要注意方程f (x)=x1,f(x)=x2,…所得到的根是否重復(fù).

    解析 由圖象知,f(x)=0有三個根:0,±3/2.所以,由f(f(x))=0,得f(x)=o或f(x)=±3/2.而f(x)=±3/2無解,所以m=3;同理,由f(g(x))=0,得g(x)=0或g(x)=±3/2.由g(x)的圖象可知,方程g(x)=0,g(x)=3/2,g(x)=-3/2都有3個根,所以n=9.所以m+n=12.

    例2 若函數(shù)f(x)=-Inx+ax2 +bx-a-2b有兩個極值點x1,x2,其中-1/2o,且f(x2)=x2>x1,則方程2a[f(x)]2+bf(x)-1=0的實根有_____個.

    分析 這里套了兩個方程:2ax2+bx-1=0和f(x)=x0,其中x0是方程2ax2 +bx-1=0的根.聯(lián)系極值點x1,x2,發(fā)現(xiàn)方程2ax2 +bx-1=0的兩根就是x1,x2,于是分別再解方程f(x)=x1,f(x)=x2.當(dāng)然,這里的x1,x2在函數(shù)f (x)的值域的什么位置決定了它們解的數(shù)目.

    解析 f'(x)=-1/x+2ax+bx=(2ax2+bx-1)/x,x>0

    由f'(x)=0,得2ax2 +bx-1—0.(*)

    由題意,該方程的兩個根為x1,x2,即O

    由韋達(dá)定理,得x1+x2=-b/2a,x1x2=-1/2a.

    因為 -1/20,所以x1x2>1,從而x1>0,x2>1.

    又由f'(x)的符號可知,f(x)在(0,x1)上為減函數(shù),在(x1,x2)上為增函數(shù),在(x2,+∞)上為減函數(shù).所以,f(x)在x=x1處有極小值,在x=x2處有極大值.

    易知,當(dāng)z→0時,f(x)→+∞;當(dāng)x→+∞時,f(x)→-∞.f(x)的圖象如圖3所示.

    由方程(*)可知,方程2a[f(x)]2 +bf(x)-1=0等價于f(x)=x1或f(x)=x2:.

    因為f(x2)=x2,所以結(jié)合圖象可知,方程f(x)=x2:有2個根.

    因為f(x)在x=x1處有極小值,在(0,x1]上為減函數(shù),在(x1,x2)上為增函數(shù),所以在(0,x2)上,f(2)在x=x1處取得最小值,且0 <1

    因為b>0,所以f(x1)<0

    根據(jù)單調(diào)性,這5個根互不相同,所以原方程有5個實根.

    反過來,如果這種“套函數(shù)”的零點個數(shù)有要求,求參數(shù)的取值范圍怎么辦?其實還是“分解動作”,只是由于參數(shù)未知,圖象未定,我們看到的圖象必須是能“動”的,想象動態(tài)圖象,找到符合要求的位置,從而確定參數(shù)滿足的條件(不等式組).

    例3設(shè)函數(shù)f(x)=log2(-x),x<0,2x,x≥0若關(guān)于x的方程[f(x)]2-af(x)=0恰有三個不同的實數(shù)根,則實數(shù)以的取值范圍是

    分析 方程[f(x)]2-af(x)=0等價于f(a)=0或f(x)=a.分別考查這兩個方程的解的個數(shù),并注意不重復(fù)即可.

    解析 由方程[f(x)]-2af(x)=0,得f(x)=0或f(x)=a.

    由方程f(x)=0,得x=-1.

    當(dāng)a≥1時,方程f(x)=a有兩個根,且一個非負(fù),另一個小于-1;當(dāng)a

    綜上,實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).

    總結(jié):“套”函數(shù)的零點分解為解兩個方程,需兩次觀察函數(shù)f(x)的圖象.注意:①方程f(x)=0的根x0是否在函數(shù)f(x)的值域中,如果在,還需將x0與f(x)的極值、端點值等比較大小;②合并根的個數(shù)時看看是否不重復(fù),通常由函數(shù)的單調(diào)性決定.當(dāng)然,解決這類問題時畫圖是必須的!

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