老師，我為什么懂而不會——直線與圓篇

王思儉

考試結(jié)束，教室里同學(xué)們議論紛紛：

近幾年高考題中的直線和圓的試題都很難，老師講解時(shí)，我也懂了，但自己做又做不對，不知道問題出在哪里；

老師常說，求解直線和圓的題目，要經(jīng)常想到圓的平面幾何性質(zhì)，但我不知道如何使用；

直線和圓的題目一旦綜合起來，我就頭暈了，只好用死算的方法求解，往往無功而返；

為此，我邀請幾位學(xué)生就“直線與圓”這一知識進(jìn)行交流，旨在幫助學(xué)生提高對圓的方程的認(rèn)識，總結(jié)積累方法，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

生甲：已知兩條直線l1：（3+m）x+4y=5-3m，l2：2x+（5+m）y=8.則“l(fā)1//l2”的充要條件是“m∈______”.

根據(jù)l1∥l2的充要條件可得，（m+3）（m+5）=2×4，解之得m=-7，m=-1，m∈{-1，-7}.

生乙：m=-7可以推出l1∥l2，但m=-1得到的是l1與l2重合，因此充要條件是m=-7.

教師：正確！生甲沒有理解兩直線平行的充要條件究竟是什么？這就是你懂而不會的原因所在.

（變題）已知直線l1 ：（2+a）x+（a+3）y-5=0和l2：6x+（2a-1）y-8=0，當(dāng)l1//l2時(shí)，實(shí)數(shù)a的值為_____ ；當(dāng)l1⊥l2時(shí)，實(shí)數(shù)a的值為____.

生甲：當(dāng)l1∥l2時(shí)，a=-5/2或a=4；當(dāng)l1⊥l2時(shí)，a=-1或a=-9/2.

教師：正確！一般地，l1：A1x +B1y+C1=0，路：A2x+B2y+C2=0，其中A2i+B2i≠0（i=1，2），討論兩直線的位置關(guān)系.

生丙：l1與l2相交的充要條件是A1/A2≠B1/B2；l1∥l2的充要條件是A1//A2=B1/B2≠C1/C2；L1⊥L2的充要條件是A1/B1×A2/B2=-1.

教師：利用分式形式描述，一定要注意分母不等于零，這里Ai，Bi，Ci有可能是零的情況.A2i +B2i≠0的含義是什么？

生?。菏侵窤i和Bi不同時(shí)為零，可能只有一個(gè)為零，也有可能兩個(gè)都不為零.因此，l1與l2相交的充要條件是A1B2-A2B1≠0；l1∥l2的充要條件是A1B2-A2B1=0且C1B2-C2B1≠0；l1⊥l2的充要條件是A1A2 +B1B2 =0；l1與l2重合的充要條件是A1B2-A2B1 =0且C1B2-C2B1=0.

生甲：已知A（4，0），B（1，0），動點(diǎn)P滿足PA =2PB.設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)C（-3，0）的距離為d，則d的取值范圍為____.

因?yàn)镻A =2PB，而A，B，C三點(diǎn)共線，因此點(diǎn)P是線段BA的三等分點(diǎn)，也就是B，P，A三點(diǎn)共線，于是P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），所以點(diǎn)C到P的距離為d=5，故d的取值范圍為{5}.他們的結(jié)論都是區(qū)間，而我的答案則是一個(gè)單元素集合{5）.

教師：PA =2PB一定能推得三點(diǎn)共線嗎？三等分點(diǎn)的前提條件是B，P，A三點(diǎn)共線，你這是本末倒置了，其實(shí)，你沒有真正理解PA =2PB的含義是什么.

生甲：我理解為PA =2PB，也就是點(diǎn)P是線段AB的內(nèi)分點(diǎn).看來我的理解力是有問題的.

生乙：動點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為2，點(diǎn)P應(yīng)該是在一條曲線上的，設(shè)P（x，y），由已知得x2 +y2=4，因此點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓，可以設(shè)P（2cosθ，2sinθ），則PC2 =13+12cosθ，因此PC2的最大值為25，最小值為1，所以PC的取值范圍為[1，5].

教師：很好！他是利用三角代換的方法求解，最后轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.大家想一想還有其他方法嗎？

生丙：利用數(shù)形結(jié)合思想求解較簡潔，點(diǎn)P的軌跡為圓，由平面幾何性質(zhì)知CO-r≤PC≤CO +r，即1≤PC≤5.

教師：很好！研究圓的問題要充分利用圓的幾何性質(zhì)，這樣可以大大提高解題速度！

生?。哼@道題實(shí)質(zhì)就是阿波羅尼斯圓問題，一般情況是：兩個(gè)不同的定點(diǎn)A，B，動點(diǎn)P滿足PA =λPB（其中λ為正常數(shù)），則動點(diǎn)P的軌跡為圓，

教師：你將特殊問題一般化，很好！你能給出具體的求解過程嗎？

生?。阂訟B的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以AB所在直線為z軸，AB中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-a，0）（a>0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，0），P（x，y），于是PA=λPB代數(shù)化并化簡，得（x-（λ2+1）/（λ2-1）a）2+y2= （4λ2a2）/（λ-1）2，所以點(diǎn)P的軌跡是以（λ2+1）/（λ2-1）a，0）為圓心，以（2λa）/|λ2-1|為半徑的圓，

生戊：不嚴(yán)謹(jǐn)，當(dāng)A =1時(shí)，不成立，此時(shí)軌跡是線段AB的中垂線，所以應(yīng)該分類討論，

教師：正確！解題應(yīng)該嚴(yán)謹(jǐn).

（變題）在△ABC中，AB=2，CA=√2CB，則△ABC的面積的最大值為___.

生甲：直接代人上述圓的方程，很快得出（x-3）2+y2=8，半徑r=2√2，圓上距離x軸（線段AB）的最大值為半徑，因此三角形的面積的最大值為2√2.用這種方法做很簡單，以前我做過類似的問題，方法很煩瑣，這簡單的解法取決于理解力的寬度.

教師：生甲概括得很好！從這道變題中他悟出解題的道理，你們應(yīng)該學(xué)會做中悟道.

生甲：已知圓O：x2+y2 =4上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線l：x+y+c =0的距離為1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍為_____.

你們平時(shí)學(xué)習(xí)一定要注意總結(jié)與積累，同學(xué)之間要善于交流，不怕出錯(cuò)，要在錯(cuò)誤中尋找原因，通過交流，消除自己在數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)上的“盲點(diǎn)”；通過討論，使自己對數(shù)學(xué)核心知識又有新的認(rèn)識；通過辯論，不僅提高自己的思辨能力，而且提升自己的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，因此，你們要敢于質(zhì)疑，大膽質(zhì)疑，勇于探索！