淺談隨機(jī)事件獨(dú)立性的性質(zhì)

馬麗瓊 左東

摘 要：隨機(jī)事件的獨(dú)立性無論是在實(shí)際應(yīng)用還是理論研究中都有著十分重要的意義。除了“補(bǔ)運(yùn)算不改變事件的獨(dú)立性”這一性質(zhì)外，隨機(jī)事件的獨(dú)立性還具有更一般的性質(zhì)。本文以四個(gè)事件相互獨(dú)立為例，最終給出在一定條件下，事件的和、差、積、對(duì)立等運(yùn)算不改變事件的獨(dú)立性這個(gè)更一般的性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)事件；獨(dú)立性；性質(zhì)

隨機(jī)事件的獨(dú)立性無論是在實(shí)際應(yīng)用還是理論研究中都有著十分重要的意義。在多數(shù)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的本科教材中，關(guān)于隨機(jī)事件獨(dú)立性的性質(zhì)，都只給出了 “補(bǔ)運(yùn)算不改變事件的獨(dú)立性”這一條，即把一個(gè)獨(dú)立事件組中的某些事件換成其對(duì)立事件，新的事件組仍然獨(dú)立。而理論上，隨機(jī)事件的獨(dú)立性有更一般的性質(zhì)。本文通過舉例的方式來給出這個(gè)更一般的性質(zhì)。

定義：對(duì)于n個(gè)事件A1，A2，…，An，若對(duì)于所有可能的組合1≤i

都成立，則稱事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立。

特別地，兩個(gè)事件A與B相互獨(dú)立的充分必要條件是 。

假設(shè)事件A1，A2，A3，A4相互獨(dú)立，現(xiàn)在把這四個(gè)事件分為兩組：A1，A2一組，A3，A4一組。從而可得：

由此得出事件A1與事件A3∪A4相互獨(dú)立。類似可得事件A2與事件A3∪A4相互獨(dú)立，進(jìn)一步可得事件A1A2與事件A3∪A4相互獨(dú)立。同理可得事件A1A2與事件A3∪A4相互獨(dú)立，又由差事件A1-A2=A1A2可知事件A1-A2與事件A3∪A4相互獨(dú)立。

從而可得A1∪A2與A3∪A4相互獨(dú)立。

可見，把四個(gè)相互獨(dú)立的事件分成兩組，同一事件沒有同時(shí)屬于兩組。每組內(nèi)的事件不管進(jìn)行了和、差還是積的運(yùn)算后，得到的兩個(gè)事件仍然是相互獨(dú)立的。

將以上結(jié)論推廣至一般情況，有如下結(jié)論：

若事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，則將其分為 組，同一事件不能同時(shí)屬于兩組，則對(duì)每組任意進(jìn)行和、差、積、對(duì)立等運(yùn)算后，所得的m個(gè)事件仍然相互獨(dú)立。

特殊情況：若事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，則將其中任意m個(gè)事件換成其對(duì)立事件后仍然相互獨(dú)立。

例：設(shè)A，B，C，D為相互獨(dú)立的四個(gè)事件，則下列四對(duì)事件有可能不獨(dú)立的是（ ）

（A） 與 （B） 與

（C） 與 （D） 與BD

分析：由A，B，C，D相互獨(dú)立，把A，B分為一組，D，D分為一組，從而利用上述結(jié)論，可知選項(xiàng)（A）與選項(xiàng)（B）中的兩對(duì)事件相互獨(dú)立，同理把A，C分為一組，B，D分為一組，可知選項(xiàng)（D中兩個(gè)事件相互獨(dú)立，從而可得答案應(yīng)選擇（C）選項(xiàng)。

隨機(jī)事件的獨(dú)立性的一般性質(zhì)告訴我們，在一定條件下，事件的和、差、積、對(duì)立等運(yùn)算不改變事件的獨(dú)立性。有了這個(gè)性質(zhì)，我們就可以利用它來直接判斷一個(gè)獨(dú)立事件組里的若干事件進(jìn)行各種運(yùn)算之后是否還滿足相互獨(dú)立，而不再需要利用定義來進(jìn)行推斷了，這就為我們節(jié)約了大量的時(shí)間和精力。

參考文獻(xiàn)

[1]劉赪，程世娟，趙聯(lián)文，何平，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M]，科學(xué)出版社，2011年6月.

[2]曹顯兵，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo)講義[M]，西安交通大學(xué)出版社，2010年5月.

作者簡(jiǎn)介

馬麗瓊（1979-），女，漢族，四川峨眉人，研究生學(xué)歷，就職于西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教學(xué)研究部峨眉教研室，講師，理學(xué)碩士，研究方向：應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)。