關(guān)于DVD在線租賃決策問題研究

(重慶交通大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院 重慶 400074)

一、引言與原始數(shù)據(jù)

(一)引言

隨著信息時代的到來，網(wǎng)絡(luò)成為人們生活中越來越不可或缺的元素之一。許多網(wǎng)站利用其強大的資源和知名度，面向其會員群提供日益專業(yè)化和便捷化的服務(wù)。例如,在線DVD租賃問題,即顧客繳納一定數(shù)量的月費成為會員，訂購DVD租賃服務(wù)。會員對哪些DVD有興趣，只要在線提交訂單，網(wǎng)站就會通過快遞的方式盡可能滿足要求。會員提交的訂單包括多張DVD，這些DVD是基于其偏愛程度排序的。網(wǎng)站會根據(jù)手頭現(xiàn)有的DVD數(shù)量和會員的訂單進行分發(fā)。

(二)原始數(shù)據(jù)

現(xiàn)規(guī)定，每個會員每個月租賃次數(shù)不得超過2次，每次獲得3張DVD。會員看完3張DVD之后，只需要將DVD放進網(wǎng)站提供的信封里寄回(郵費由網(wǎng)站承擔(dān))，就可以繼續(xù)下次租賃，為了使在線DVD租賃更好的服務(wù)大眾，我們需要對下列問題進行討論。

1.網(wǎng)站正準(zhǔn)備購買一些新的DVD，通過問卷調(diào)查和歷史數(shù)據(jù)得到了會員對DVD的租賃情況。假設(shè)網(wǎng)站現(xiàn)有10萬個會員，對表1中的每種DVD來說，在租賃公司的能力范圍內(nèi)，求解能保證希望看到該種DVD的會員中至少50%在一個月內(nèi)能夠看到該種DVD和三個月內(nèi)至少95%的會員能夠看到該種DVD應(yīng)該準(zhǔn)備的張數(shù)；

2.根據(jù)表2中列出的網(wǎng)站上100種DVD的現(xiàn)有張數(shù)和當(dāng)前需要處理的1000位會員的在線訂單，對這些DVD進行合理的分配，使會員獲得最大的滿意度并具體列出前30位會員(即C0001—C0030)獲得的DVD的情況。

3.在表2的基礎(chǔ)上假設(shè)表2中DVD的現(xiàn)有數(shù)量全部為0。如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，在考慮公司收益的情況下，決定每種DVD的購買量。

4.如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，明確提出在DVD的需求預(yù)測、購買和分配中其他的值得研究的重要問題并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

表1 對1000個會員調(diào)查的部分結(jié)果

表2 現(xiàn)有DVD張數(shù)和當(dāng)前需要處理的會員的在線訂單

二、模型的假設(shè)與符號的約定

(一)模型的假設(shè)與說明

(1)假設(shè)每個月都是30天。

(2)假設(shè)每月租賃DVD一次的會員的租賃與歸還日期介于每月1—30號之間，每月租賃DVD兩次的會員的租賃與歸還日期介于每月1—15號和16—30號 之間。

(3)假設(shè)每一位會員第一次租的碟片和第二次租的碟片完全不相同。

(4)假設(shè)碟片郵寄回來后不影響下一次租賃。

(5)不考慮DVD在租賃過程中的丟失、破損等情況。

(二)符號的約定與說明

X1每月租賃DVD一次的會員

X2每月租賃DVD兩次的會員

E(X1) 每月租賃一次的會員所租賃的DVD的平均流通天數(shù)

E(X2) 每月租賃兩次的會員所租賃的DVD的平均流通天數(shù)

E(X) 兩種情況下碟片的平均流通天數(shù)

E1(X) 每張碟片一個月內(nèi)的平均流通天數(shù)

E3(X) 每張碟片三個月內(nèi)的平均流通天數(shù)

xij第i位會員選擇第j種碟片

pij第i位會員對第j種碟片的滿意度

Cij每種碟片的滿意度

B總的碟片的滿意度

S總的應(yīng)該購買的碟片數(shù)

bj每種碟片應(yīng)該購買的碟片數(shù)

三、問題的分析

(一)問題1的分析

對于問題一主要是解決在已知會員的人數(shù)的情況下，要使網(wǎng)站以準(zhǔn)備最少的5種類型DVD的張數(shù)，來保證希望看到各種DVD的會員中至少50%在一個月內(nèi)能夠看到該DVD和至少95%的會員在三個月內(nèi)能夠看到該DVD這兩個問題，利用概率論中均勻分布的相關(guān)知識可以解決該類問題。根據(jù)已知，首先確定兩種租賃方式下碟片的平均流通天數(shù)，再按照兩種租賃方式下會員的比例，可以確定每張碟片的平均流通天數(shù)，再根據(jù)每種碟片愿意觀看的會員人數(shù)就可以確定每種碟片應(yīng)該準(zhǔn)備多少張。

(二)問題2的分析

對于問題二是對表2給出的100種DVD現(xiàn)有張數(shù)以及1000位會員的訂單數(shù)對DVD進行分配，使會員獲得最大的滿意度，可建立0—1整數(shù)規(guī)劃模型來進行處理，其中各名會員是否獲得了各DVD類型為0—1變量，又因為會員的滿意度跟會員的偏愛程度有關(guān)，表2中會員的在線訂單數(shù)表示會員的偏愛程度，數(shù)字越小表示會員的偏愛程度越高，只需將會員所分配到不同種類的DVD所對應(yīng)的訂單數(shù)字求和取最小值，即滿意度越大，所建立的目標(biāo)函數(shù)的值越小。在這里又存在一個問題，由于數(shù)字0表示對應(yīng)的DVD當(dāng)前不在會員的在線訂單中，所以為了避免出現(xiàn)結(jié)果為0的情況，我們把0改成100，這樣就可以算出最小值從而達到對這些碟片進行合理的分配獲得最大的滿意度同時排除了結(jié)果不存在的可能性。

(三)問題3的分析

對于這個問題，本質(zhì)上是雙目標(biāo)規(guī)劃，我們采取逐步解決的方法，計算出DVD的購買量。對于第一小問如何決定DVD的購買量，我們注意到要購買滿足題目要求的DVD張數(shù)，至少有950人可以得到滿意的碟片，為此需要2850張碟片，又因為會員租賃碟片的情況有兩種即一個月租賃一次和一個月租賃兩次。要使一個月租賃兩次的會員在第二次租賃時可以收到使自己滿意的碟片，所以總共需要準(zhǔn)備的碟片張數(shù)為2850+2850*0.4=3990張。在表2中會員對DVD的滿意程度，由于數(shù)字越小，滿意程度越大，因為有0的存在，為了避免結(jié)果不存在的情況(同問題2)，該題我們首先分別將表格中的1-10的對11的補數(shù)代替它們本身，這樣數(shù)字越大就表示滿意度越大，再分別求出每種碟片的滿意度之和，然后求所有種碟片的總滿意度，再根據(jù)每種滿意度之和占總滿意度的比例，就可以求得每種碟片的購買量。

(四)問題4的分析

因為大多數(shù)項目的最終目的就是為了盈利，為了更好的盈利和服務(wù)會員，每個月需要新增碟片，而在DVD在線租賃這個過程中，需要考慮到，碟片破損，會員逾期交費[1]等問題。因此我們想到的是在考慮這些不定因素的基礎(chǔ)上計算當(dāng)月的收益。

四、模型的建立與求解

(一)問題1的模型建立與求解

對于問題1，我們利用概率論中的均勻分布[2]，通過求數(shù)學(xué)期望得到兩種租賃方式下每種碟片的平均流通天數(shù)以及兩種比例下會員的租賃的碟片的平均流通天數(shù)：

通過得到的一個月內(nèi)每張碟片的平均流通次數(shù)以及愿意觀看的每種DVD的會員人數(shù)，根據(jù)表1，計算可得保證希望看到該DVD的會員中至少50%在一個月內(nèi)能夠看到該DVD至少應(yīng)該準(zhǔn)備的碟片數(shù):

DDVD1=(200÷1000×100000×0.5)÷E1(X);

DVD2=(100÷1000×100000×0.5)÷E1(X);

DVD3=(50÷1000×100000×0.5)÷E1(X);

DVD4=(25÷1000×100000×0.5)÷E1(X);

DVD5=(10÷1000×100000×0.5)÷E1(X);

最終結(jié)果為:

DVD1≈3704;

DVD2≈1852;

DVD3≈926;

DVD4≈463;

DVD5≈185;

同理可得為使在三個月內(nèi)至少95%的會員能夠看到該DVD應(yīng)該準(zhǔn)備的碟片張數(shù):

(二)問題2的模型建立與求解

對于問題2，由于1位會員可以選擇3張DVD，若第i位會員選擇第j種DVD記為xij,則xij=1否則xij=0;其中i=1…1000;j=1…100;pij表示會員對某種DVD的偏愛程度[3](數(shù)字越小，表示偏愛程度越大)。為此建立0-1整數(shù)線性規(guī)劃模型：

首先利用表格中的數(shù)據(jù)，然后編寫lingo程序求解模型，為了方便結(jié)果解釋，最后將前30位會員(即C0001-C0030)分別獲得哪些DVD輸入到表3。如下所示表格中30行表示的是30位會員所分配到的碟片情況，第一列表示的是30位會員，第二列表示的是選擇情況。

表3 會員所獲得的碟片種類

(三)問題3的模型建立與求解

為了求得DVD的購買量，我們根據(jù)題目要求，因為一共有1000名會員，所以至少有950名可以獲得自己滿意的DVD，一次可以獲得三張，又因為每月租賃一次的會員在每月租賃兩次的會員進行第二次租賃時碟片不一定郵寄回來，為了使一個月租賃兩次的會員可以看到網(wǎng)站購買的所有碟片，所以網(wǎng)站一共需要購買S=2850+2850×0.4=3990張碟片，確定了碟片總數(shù)，利用11這個數(shù)字將滿意度擴大化，接下來需要根據(jù)每種碟片的滿意度[4]占總體的比例，來求得每種碟片應(yīng)該購買的數(shù)量。為此建立如下的數(shù)學(xué)模型：

利用Matlab編程求得每種DVD的購買量，如下圖所示：

圖1 D0001—D0020種碟片的購買量

圖2 D00021—D0040種碟片的購買量

圖3 D00041—D0060種碟片的購買量

(四)問題4的模型建立

假設(shè)當(dāng)月購買第i種DVD的數(shù)量為ai,價格為bi,則當(dāng)月購買DVD所花費的總金額為：

假設(shè)會員的數(shù)量E與會費c和會員的滿意程度h有關(guān)，建立如下關(guān)系式：

E=f(c,h);

會員的滿意程度h與可選擇的DVD的數(shù)量n和種類d有關(guān)：

h=f(d,n);

假設(shè)DVD的損壞數(shù)量D可表示為：D=λE;

假設(shè)損毀DVD的單價y為所有DVD單價的平均價格：

假設(shè)每月盈利Q與會員會費，購買DVD的價格和DVD的虧損費用有關(guān)。根據(jù)以上建立如下單目標(biāo)規(guī)劃模型：

五、模型的進一步討論

對于問題3的第二問，我們在計算時僅僅考慮了一次租賃的情況，沒有按照歷史數(shù)據(jù)顯示的規(guī)律分為兩種情況考慮，為此我們進行了如下的模型改進。

新增符號及說明：yij表示二次租賃時會員i選擇第j種碟片。具體的數(shù)學(xué)模型如下所示:

表示會員要么進行1次租賃，要么進行2次租賃，且兩次均會獲得三張碟片，如果進行二次租賃的話，所需碟片張數(shù)按照會員總數(shù)的60%進行計算。

六、模型的優(yōu)缺點

(一)優(yōu)點

(1)建立的規(guī)劃模型能與實際緊密聯(lián)系起來，結(jié)合實際情況對問題進行求解，使模型具有很好的通用性和推廣性，比如在一些商品的銷售過程中同樣可以使用該類數(shù)學(xué)模型。(2)模型的計算采用專業(yè)的數(shù)學(xué)軟件，可信度高，可操作性強。(3)對表格中的數(shù)據(jù)進行了處理，讓建模和編程的過程變得簡單方便。

(二)缺點

(1)由于是調(diào)查問卷所抽取的會員，導(dǎo)致數(shù)據(jù)有一定的局限性，建立的模型不一定適用于所有會員。(2)數(shù)據(jù)量太大，表格數(shù)據(jù)量大，計算容易出錯。(3)計算項目多，聯(lián)系性大，容易在分析過程中出現(xiàn)錯誤，導(dǎo)致全局出錯。