借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)落實(shí)深度教學(xué)
——以《動(dòng)手做：正方形的拼組》為例淺析數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的特征

江蘇太倉(cāng)市港城小學(xué) 黃海燕

一、源起

鄭毓信教授在《以“深度教學(xué)”落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)》一文中提出：我們應(yīng)更深入地去思考數(shù)學(xué)作為一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科對(duì)于提升個(gè)人與社會(huì)的整體性素養(yǎng)究竟有哪些特別重要，甚至是不可取代的作用。鄭教授認(rèn)為：數(shù)學(xué)教育的主要功能應(yīng)是幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維，特別是能逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更深入、更合理，并能由“理性思維”逐步走向“理性精神”。

“動(dòng)手做”是蘇教版教材中新增的一個(gè)板塊，或游戲或鞏固或拓展……各活動(dòng)的設(shè)計(jì)既基于單元內(nèi)容，又趣味十足，是我們開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程很好的資源。荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾這樣說(shuō)過(guò)，“做數(shù)學(xué)”是學(xué)生理解數(shù)學(xué)的重要條件，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要方式。但有時(shí)，在課堂上我們往往會(huì)太過(guò)注重讓學(xué)生“動(dòng)手”，而忽視了“動(dòng)腦”，阻礙了學(xué)生思維的進(jìn)一步提升。

那么，如何才能處理好“動(dòng)手”與“動(dòng)腦”的關(guān)系，借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的一些基本特征，讓我們的數(shù)學(xué)教學(xué)更有深度。以下，筆者將結(jié)合課例《動(dòng)手做：正方形的拼組》分享對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的一些簡(jiǎn)單理解。

二、課例分析

教學(xué)內(nèi)容：蘇教版數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)P45動(dòng)手做（見(jiàn)圖1）。

圖1

【片段一：用不同數(shù)量的小正方形拼長(zhǎng)方形】

（1）8個(gè)小正方形拼不同的長(zhǎng)方形。（1×8、2×4）

①交流：你是怎么擺的？

②引導(dǎo)：數(shù)學(xué)語(yǔ)言，把8個(gè)小正方形，擺成（ ）行，每行擺（ ）個(gè)。

③說(shuō)明（出現(xiàn)圖2兩種擺法）：這兩種擺法，分別想到的乘法口訣是？（二四得八）都能用“二四得八”這句口訣，我們可以約定，它們是同一種擺法。

圖2

④追問(wèn)：不同在哪兒？（擺的方向）

（2）12個(gè)小正方形拼不同的長(zhǎng)方形。

①思考：有幾種不同的拼法？

②同桌合作，拼一拼。 （1×12、2×6、3×4）

③交流：你是怎么想的，又是怎樣擺的？還有不同的擺法嗎？

④回顧反思：同學(xué)們，動(dòng)手?jǐn)[完了，咱們得回頭思考一下。

我們?cè)跀[的過(guò)程中，可以怎么想就能做到不重復(fù)、不遺漏呢？

⑤小結(jié)：不管是想乘法口訣，還是想除法算式，我們都得做到有序思考。

（3）18個(gè)小正方形拼一個(gè)長(zhǎng)方形。

①思考：有幾種拼法，和同桌說(shuō)說(shuō)你是怎樣想的。（不拼，腦中拼，直接說(shuō)）

②集體交流：有序說(shuō)出所有擺法。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生通過(guò)動(dòng)手動(dòng)腦，以“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種有效載體，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生運(yùn)用有關(guān)工具，通過(guò)操作，重在經(jīng)歷規(guī)律的產(chǎn)生、發(fā)現(xiàn)和探索。簡(jiǎn)單地說(shuō)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程與傳統(tǒng)課程相比，其最大的不同在于，若干年后，學(xué)生可能會(huì)淡忘這樣一節(jié)活動(dòng)課，但是他們?nèi)阅苓\(yùn)用舉例、計(jì)算、推理、猜想、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)方法解決生活中面臨的問(wèn)題。

在該片段的教學(xué)中，筆者借助學(xué)具“小正方形”進(jìn)行操作實(shí)驗(yàn)，并設(shè)計(jì)了三個(gè)不同層次的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)。

實(shí)驗(yàn)一：8個(gè)小正方形的拼組，在動(dòng)手操作中形成“約定”。該部分“動(dòng)手做”被安排在“表內(nèi)乘法（一）”之后，出現(xiàn)在“表內(nèi)除法（一）”中間，是基于學(xué)生已有的表內(nèi)乘法和表內(nèi)除法知識(shí)的基礎(chǔ)上展開(kāi)的，一方面學(xué)生能借助所學(xué)知識(shí)快速尋找出不同的擺法；另一方面為了學(xué)生能在數(shù)學(xué)思維上有進(jìn)一步的提升，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的規(guī)范應(yīng)有其一定的必要性；第三，運(yùn)用口訣“二四得八”，較容易與學(xué)生達(dá)成一致：“擺成2行，每行擺4個(gè)”和“擺成4行，每行擺2個(gè)”約定為同一種擺法。

實(shí)驗(yàn)二：12個(gè)小正方形的拼組，思考后操作驗(yàn)證。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)并不意味著僅僅是動(dòng)手操作，而應(yīng)以“動(dòng)手做”為載體不斷去“動(dòng)腦”思考，應(yīng)在不斷思考中獲得啟示。因此，第二次實(shí)驗(yàn)活動(dòng)筆者不急于請(qǐng)學(xué)生先“擺”，而是先“思”，借由第一次的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，思考12個(gè)小正方形可能有幾種不同的擺法，再用這些小正方形來(lái)驗(yàn)證自己的想法。通過(guò)交流，學(xué)生能不遺漏不重復(fù)地說(shuō)出所有擺法，真正做到“有序”思考。

實(shí)驗(yàn)三：18個(gè)小正方形的拼組，不動(dòng)手操作也能來(lái)驗(yàn)證。許衛(wèi)兵老師曾指出：思維是數(shù)學(xué)能力之“核”，努力促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展是促其深度學(xué)習(xí)的一個(gè)重要因素。第三次實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，學(xué)生基于前兩次探究，能運(yùn)用表內(nèi)乘法口訣迅速做出判斷并巧用除法算式進(jìn)行驗(yàn)證。

三次實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，層次清晰，架構(gòu)合理，促使學(xué)生在做中學(xué)，在做中思。

【片段二：拼大正方形】

（1）提出問(wèn)題：拼一個(gè)更大的正方形，你準(zhǔn)備用幾個(gè)相同的正方形來(lái)拼？

①思考：你需要幾個(gè)這樣的小正方形？你想怎么擺？

②要求：先數(shù)出你所需要的小正方形的個(gè)數(shù)，再動(dòng)手驗(yàn)證自己的想法。

（2）交流：成功擺出正方形了嗎？（為什么沒(méi)有成功？）

（3）回顧反思：要想擺出一個(gè)大一點(diǎn)的正方形，需要注意些什么？

（引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)：行數(shù)與每行的個(gè)數(shù)要相等）

（4）思考：至少需要幾個(gè)這樣的小正方形就可以擺出一個(gè)更大的正方形？

課件演示（圖3）：用大小相等的小正方形拼成大大小小不同的正方形，并不斷想象更大的正方形。

圖3

片段二的教學(xué)，筆者并未按照教材直接進(jìn)行提問(wèn)：至少需要幾個(gè)小正方形才能拼出一個(gè)更大的正方形。而是采取“問(wèn)題引領(lǐng)”式教學(xué)：拼一個(gè)更大的正方形，你準(zhǔn)備用幾個(gè)相同的正方形來(lái)拼？筆者希望通過(guò)適當(dāng)?shù)?、開(kāi)放式的提問(wèn)，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生深入思考，在不斷“反思”中得到新的發(fā)現(xiàn)，從而獲得新的進(jìn)步。

【片段三：拓展應(yīng)用】

（1）思考（圖4）：

圖4

①至少添上幾個(gè)這樣的小正方形能使其能成為一個(gè)長(zhǎng)方形。

②至少添上幾個(gè)這樣的小正方形能使其能成為一個(gè)正方形。

（2）交流：說(shuō)說(shuō)你是怎樣想的？

（3）操作驗(yàn)證。

（4）思考?xì)w納：在拼組長(zhǎng)方形和正方形的過(guò)程中有什么異同？

片段三的教學(xué)側(cè)重于在兩次操作驗(yàn)證中，對(duì)長(zhǎng)、正方形的拼組進(jìn)行對(duì)比，從中進(jìn)行一定的歸納，得出它們的異同。因?yàn)橹挥姓嬲龅搅藢?duì)所學(xué)內(nèi)容的理解，我們才能說(shuō)學(xué)生在課堂上進(jìn)行了深度學(xué)習(xí)，教師的教學(xué)也是有深度的。

三、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)具備的幾個(gè)特征

1.教師引導(dǎo)，學(xué)生為本

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一種活動(dòng)方式，需要針對(duì)某個(gè)問(wèn)題進(jìn)行教學(xué)，而不是討論如何做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)本身。因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)需要教師的引導(dǎo)和啟發(fā)，教師預(yù)設(shè)實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)但并不排除實(shí)驗(yàn)中的生成性目標(biāo)，應(yīng)充分體現(xiàn)學(xué)生的主體性。

如：本課教學(xué)的設(shè)計(jì)源于對(duì)表內(nèi)乘法的拓展延伸，因此，筆者在首稿的設(shè)計(jì)中期待學(xué)生能用乘法口訣找出所有的拼組方式。但在教學(xué)過(guò)程中，會(huì)有生成性資源的產(chǎn)生。如有學(xué)生提出：我用除法算式也能找全所有的拼組方式。又如：在拼組大正方形時(shí)，有的學(xué)生能依據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行合理推理，但也有學(xué)生是毫無(wú)依據(jù)的猜測(cè)。這些都是課堂教學(xué)的寶貴資源，對(duì)于好的想法教師應(yīng)給予鼓勵(lì)，對(duì)于存在疑惑的地方，需要通過(guò)進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證。

2.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)具有操作性

“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)屬于科學(xué)實(shí)驗(yàn)的一種類(lèi)型”，但在思維方式上又有所不同。一般而言，科學(xué)實(shí)驗(yàn)以改變實(shí)驗(yàn)對(duì)象的物理屬性，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律為實(shí)驗(yàn)?zāi)康模粩?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)則是在不改變實(shí)驗(yàn)對(duì)象物理屬性的前提下，抽象出量或形的基本結(jié)構(gòu)。

對(duì)于教育而言，科學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)理念和教學(xué)操作則是相通的，體現(xiàn)的是知與行的高度融合，這一實(shí)驗(yàn)特征在片段一的教學(xué)中尤為突出。筆者通過(guò)三次實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，由具體操作到先思后動(dòng)，再到思而不動(dòng)，在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中學(xué)生是學(xué)習(xí)的參與者，更是知識(shí)的建構(gòu)者。

3.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)具有探究性

探究性學(xué)習(xí)遵循的一般步驟有三：一是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)某個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論；二是加深對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論的理解；三是驗(yàn)證某個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論。

如：本課設(shè)計(jì)從實(shí)踐操作入手，通過(guò)操作、觀察、對(duì)比發(fā)現(xiàn)規(guī)律；緊接著用12個(gè)小正方形來(lái)加深認(rèn)識(shí)，通過(guò)先思后擺，總結(jié)出一定的方法；最后借由18個(gè)小正方形將其思維獲得提升。又如，大正方形的拼組：當(dāng)學(xué)生有了大膽的猜想，就需要舉例驗(yàn)證猜想，對(duì)于小學(xué)生的知識(shí)水平和思維能力來(lái)說(shuō)，一般采用的是不完全歸納法……這些數(shù)學(xué)研究的方法貫穿了學(xué)生整個(gè)探索規(guī)律的過(guò)程中，形成組織教學(xué)的一條暗線，旨在讓學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中感受到數(shù)學(xué)的思維方式，甚至在潛移默化的過(guò)程中遷移到今后的學(xué)習(xí)和生活中去。這遠(yuǎn)比記住一個(gè)結(jié)論、一個(gè)定理重要得多。

4.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)具有科學(xué)性

任何規(guī)律的發(fā)現(xiàn)都是建立在數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，所有數(shù)據(jù)都建立在計(jì)算的正確性上。如：學(xué)生擺出的是“2行，每行4個(gè)”和“4行，每行2個(gè)”，列出算式分別是4×2和2×4，但使用的乘法口訣都是“二四得八”。因此在教學(xué)過(guò)程中，教師只能暫且“約定”視為同一種擺法，只是擺放的方向不同。又如：學(xué)生對(duì)正方形進(jìn)行拼組時(shí)，有各自的猜想擺出觀點(diǎn)，教師沒(méi)有給出任何結(jié)論，用科學(xué)的精神將教育的時(shí)空再度打開(kāi)，學(xué)生帶著這些發(fā)現(xiàn)動(dòng)手驗(yàn)證，在多組例證的支持下，學(xué)生能去偽存真，這便是一次有效而科學(xué)的經(jīng)驗(yàn)的積累，是實(shí)驗(yàn)的價(jià)值體現(xiàn)。這也是與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｊ较辔呛系慕虒W(xué)方式。

結(jié)合數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程的特點(diǎn)，可以說(shuō)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)充分體現(xiàn)的是過(guò)程與結(jié)果、操作與思維、實(shí)驗(yàn)與論證、證偽與證實(shí)的有機(jī)融合，一種能夠營(yíng)造學(xué)生知情（不僅是知識(shí)的傳授，更是能力的培養(yǎng)）和諧發(fā)展的教學(xué)方式。本節(jié)課的教學(xué)，仍有許多值得思考的地方，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)前行的道路上，我們且行且思。