四旋翼飛行器建模、仿真與PID控制

北京航空航天大學(xué)自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院 陳聽雨

四旋翼是一種實(shí)用的無人飛行器。本文首先對四旋翼進(jìn)行了動力學(xué)分析，在其基礎(chǔ)上建立了四旋翼的數(shù)學(xué)模型。在對模型進(jìn)行化簡后，設(shè)計(jì)了飛行控制系統(tǒng)，并將控制系統(tǒng)拆分為內(nèi)環(huán)姿態(tài)控制與外環(huán)位置控制，分別設(shè)計(jì)了PID控制率對其進(jìn)行控制。最后在Matlab/Simulink中搭建了完整的四旋翼飛行控制仿真模型，并對模型與控制率進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

1.引言

四旋翼飛行器是一種能實(shí)現(xiàn)垂直起降的非共軸式多旋翼飛行器（李俊,李運(yùn)堂.四旋翼飛行器的動力學(xué)建模及PID控制[J].遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,31(1):114-117）。小型四旋翼飛行器具有四個螺旋槳，并且螺旋槳呈十字交叉結(jié)構(gòu)的旋翼式飛行器，它通過調(diào)整四個電機(jī)的轉(zhuǎn)速來實(shí)現(xiàn)俯仰、橫滾、偏航等飛行動作，并具有可懸停、機(jī)動性好、結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點(diǎn)（江杰,豈偉楠.四旋翼飛行器建模與PID控制器設(shè)計(jì)[J].電子設(shè)計(jì)工程,2013,21(23):147-150）。

圖1 四旋翼飛行器

與固定翼飛行器相比，四旋翼控制相對簡單，只需調(diào)節(jié)其四個旋翼轉(zhuǎn)速即可實(shí)現(xiàn)對四旋翼飛行姿態(tài)的控制。為使得四旋翼能夠按照設(shè)計(jì)的姿態(tài)與軌跡進(jìn)行飛行，必須首先對四旋翼進(jìn)行建模，然后根據(jù)得到的模型設(shè)計(jì)飛行控制系統(tǒng)并進(jìn)行仿真驗(yàn)證。因此，對四旋翼進(jìn)行建模，在此基礎(chǔ)之上設(shè)計(jì)合理的控制率，并進(jìn)行仿真驗(yàn)證是四旋翼實(shí)現(xiàn)各種姿態(tài)與路徑飛行的關(guān)鍵。目前，四旋翼的控制方法主要有反步控制、H∞控制與滑模控制等（王樹剛.四旋翼直升機(jī)控制問題研究[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué),2006;聶博文.微小型四旋翼無人直升機(jī)建模及控制方法研究[D].長沙:國防科學(xué)技術(shù)大學(xué),2006;王麗新.基于滑模理論的四旋翼直升機(jī)的姿態(tài)控制研究[D].沈陽:東北大學(xué),2009）。

本文對通過對四旋翼進(jìn)行動力學(xué)分析，建立了四旋翼的動力學(xué)模型，并對其進(jìn)行了化簡。根據(jù)化簡的模型，使用PID控制方法設(shè)計(jì)了四旋翼飛行控制率，并在Matlab/Simulink中對其進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

本文共分為四個部分，第一部分對四旋翼與本文目的進(jìn)行了簡述，第二部分簡要介紹了四旋翼動力學(xué)建模與簡化的內(nèi)容，第三部分完成了對四旋翼模型的仿真、PID控制率設(shè)計(jì)與驗(yàn)證，第四部分對全文進(jìn)行了總結(jié)，并提出了未來工作的重點(diǎn)方向。

2.四旋翼動力學(xué)建模與簡化

2.1 基本假設(shè)與坐標(biāo)系變換

正常情況下，四旋翼飛行器結(jié)構(gòu)呈X型。

圖2 四旋翼飛行器結(jié)構(gòu)

在為四旋翼建模之前，為簡化模型分析，抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，提出以下七點(diǎn)假設(shè)：

（1）四旋翼飛行器是剛體，在其飛行過程中質(zhì)量保持不變；

（2）地面坐標(biāo)系視為慣性坐標(biāo)系；

（3）地球表面是平的，且忽略地球自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)；

（4）重力不隨高度變化而變化；

（5）四旋翼飛行器形狀與質(zhì)量是關(guān)于中心對稱的（吳森堂,費(fèi)玉華.飛行控制系統(tǒng)[M].北京:北京航空航天大學(xué)出版社,2005:46-47）；

（6）四旋翼低速飛行時忽略空氣摩擦力；

（7）四旋翼進(jìn)行低速小角度飛行。

首先為四旋翼建立合適的坐標(biāo)系。

圖3 地面坐標(biāo)系與機(jī)體坐標(biāo)系

其中，地面坐標(biāo)系定義如下：選取地面上的一點(diǎn)，即四旋翼至地球中心連線與地面的交點(diǎn)，定義X軸指向水平正東方向，Y軸指向水平正北方向，Z軸垂直于XOY平面，指向天空，即與重力方向相反。

機(jī)體坐標(biāo)系定義如下：由于四旋翼在形狀上關(guān)于中心對稱，因此四條機(jī)臂是等價的。選取Xb軸指向其中一條機(jī)臂的方向，Yb軸指向逆時針轉(zhuǎn)過90°，與Xb軸垂直的另一條機(jī)臂的方向，Zb軸垂直于XOY平面，指向四旋翼飛行器上方。

為確定四旋翼姿態(tài)，分別定義歐拉角如下。

●滾轉(zhuǎn)角φ：在YOZ平面的投影與OY的夾角

●俯仰角θ：在XOZ平面的投影與OZ的夾角

●偏航角ψ：在XOY 平面的投影與OX的夾角

從機(jī)體坐標(biāo)系變換至地面坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣記作Rg/b，需要經(jīng)過三次歐拉旋轉(zhuǎn)獲得（許喆.四旋翼無人機(jī)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)[D].南京:南京理工大學(xué),2017）：

首先，繞Zb轉(zhuǎn)動ψ角，變換至中間坐標(biāo)系A(chǔ)，此變換矩陣記作RA/b。

之后，繞轉(zhuǎn)動θ角，變換至中間坐標(biāo)系B，此變換矩陣記作RB/A。

最后，繞轉(zhuǎn)動φ角，變換至地面坐標(biāo)系，此變換矩陣記作Rg/B。

可得由機(jī)體坐標(biāo)系變換至地面坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣Rg/b。

最終得到Rg/b。

2.2 四旋翼動力學(xué)建模

記四個旋翼的轉(zhuǎn)速分別為～，這也是實(shí)際的輸入的控制量。單個旋翼沿軸正方向的拉力可近似認(rèn)為與該旋翼轉(zhuǎn)速的平方成正比（米培良.四旋翼飛行器控制與實(shí)現(xiàn)[D].大連:大連理工大學(xué),2015）。

其中，f 為升力系數(shù)。

容易寫出四旋翼在地面坐標(biāo)系下受到的合力。

同理，可以寫出機(jī)體坐標(biāo)系下三個力矩平衡方程（馮培晏.四旋翼無人機(jī)建模與PID控制器設(shè)計(jì)[J].工業(yè)設(shè)計(jì),2018(6):135-137）。

其中，l為四旋翼機(jī)臂長，d為電機(jī)反扭矩系數(shù)。

可以寫出機(jī)體坐標(biāo)系下各軸角速度與四旋翼滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航角速度之間的關(guān)系。

根據(jù)前文假設(shè)，本文研究的情況為四旋翼無人機(jī)小角度、低速度飛行，因此可以做如下近似。

即：

通過對進(jìn)行變換，令：

可得四旋翼飛行器最終模型。

3.四旋翼仿真與控制率設(shè)計(jì)

3.1 四旋翼模型仿真

根據(jù)查閱的文獻(xiàn)（李俊,李運(yùn)堂.四旋翼飛行器的動力學(xué)建模及PID控制[J].遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,31(1):114-117），得到四旋翼模型參數(shù)如表1所示。

表1 四旋翼模型參數(shù)

四旋翼仿真使用Matlab/Simulink完成。仿真模型代碼如下：

其中，使用rand()函數(shù)，生成0～1之間的隨機(jī)數(shù)，以模擬四旋翼受到的擾動。

3.2 四旋翼控制率設(shè)計(jì)

由四旋翼模型可以看出，其模型有四個輸入變量與六個輸出變量，屬于不完全控制，各變量之間相互之間存在耦合。

在設(shè)計(jì)控制率時，首先對模型進(jìn)行化簡。由于本文假設(shè)四旋翼是在小角度、低速度的情況下進(jìn)行飛行，因此可以忽略陀螺效應(yīng)對三軸角速度帶來的影響（米培良.四旋翼飛行器控制與實(shí)現(xiàn)[D].大連:大連理工大學(xué),2015）。從而得到化簡后的模型。

觀察化簡后的四旋翼模型，可以發(fā)現(xiàn)其三個姿態(tài)角變量以及高度變量僅與四個輸入變量有關(guān)，而X、Y軸位置的控制則同時與輸入以及姿態(tài)角有關(guān)（米培良.四旋翼飛行器控制與實(shí)現(xiàn)[D].大連:大連理工大學(xué),2015）。四旋翼飛行器的姿態(tài)與高度均完全可控。因此，將四旋翼模型拆分成兩個子控制系統(tǒng)，內(nèi)環(huán)系統(tǒng)為姿態(tài)控制系統(tǒng)，外環(huán)系統(tǒng)為位置控制系統(tǒng)。

圖4 姿態(tài)角控制系統(tǒng)與位置控制系統(tǒng)

系統(tǒng)使用PID控制率進(jìn)行控制。PID是P（比例）算法與I（積分）算法與D（微分）算法三種算法各種組合的統(tǒng)稱?？梢赃x擇為PD，PI，單獨(dú)的P算法等。P（比例）以減少系統(tǒng)穩(wěn)定性為前提減小系統(tǒng)誤差。I（積分）和D（微分）必須和P（比例）控制搭配使用，I（積分）反映系統(tǒng)的累計(jì)偏差，使系統(tǒng)消除穩(wěn)態(tài)誤差。D（微分）反映系統(tǒng)偏差信號的變化率，具有預(yù)見性，從而進(jìn)行超前控制（馮培晏.四旋翼無人機(jī)建模與PID控制器設(shè)計(jì)[J].工業(yè)設(shè)計(jì),2018(6):135-137）。

圖5 四旋翼控制系統(tǒng)仿真

從系統(tǒng)仿真框圖中可以明顯看出位置與姿態(tài)兩個相對獨(dú)立的字系統(tǒng)。X、Y位置指令首先輸入外環(huán)控制系統(tǒng)，即位置控制系統(tǒng)，其輸出作為內(nèi)環(huán)控制系統(tǒng)，即姿態(tài)控制系統(tǒng)的輸入控制四旋翼的滾轉(zhuǎn)角與俯仰角。采用先調(diào)節(jié)內(nèi)環(huán)，后調(diào)節(jié)外環(huán)的策略，調(diào)節(jié)系統(tǒng)各個PID的參數(shù)。最終結(jié)果如表2所示。

表2 四旋翼PID控制參數(shù)

3.3 四旋翼控制率驗(yàn)證

對控制系統(tǒng)進(jìn)行測試，令四旋翼在1米的高度按照半徑為2的圓軌跡進(jìn)行飛行，輸入如下控制指令。

圖7 X、Y、Z與φ控制結(jié)果仿真

從結(jié)果可以看出，PID控制系統(tǒng)對于四旋翼飛行器有較好的控制效果，飛行器可以在具有擾動的情況下，根據(jù)指令按照設(shè)計(jì)的軌跡進(jìn)行飛行。

4.結(jié)語

本文首先對四旋翼飛行器進(jìn)行了簡介，之后對四旋翼進(jìn)行了建模，并對模型進(jìn)行了簡化，得到了適合控制使用的四旋翼動力學(xué)模型。根據(jù)得到的模型，本文對該模型進(jìn)行了仿真，并設(shè)計(jì)了PID控制率，使得飛行器能夠按照指令沿一定軌跡進(jìn)行飛行，并驗(yàn)證了控制率的正確性。

然而，本文的模型與控制率設(shè)計(jì)仍然存在不足。對比真實(shí)的四旋翼模型，本文的模型過于簡單，并沒有考慮到許多實(shí)際中可能出現(xiàn)的影響因素，如空氣阻力等。同時，本文的PID控制率也不適用于在復(fù)雜的實(shí)際條件下進(jìn)行飛行。未來的工作將會重點(diǎn)集中于對四旋翼進(jìn)行精確建模，并采取更加先進(jìn)的控制方法以實(shí)現(xiàn)對四旋翼飛行更好的控制效果。