兩參數(shù)Cauchy分布的參數(shù)估計方法

顧蓓青，王蓉華，徐曉嶺

（1.上海對外經(jīng)貿(mào)大學 統(tǒng)計與信息學院，上海 201620；2.上海師范大學 數(shù)理學院，上海200234）

0 引言

設隨機變量X服從位置參數(shù)μ、刻度參數(shù)λ的兩參數(shù)Cauchy分布（記為C（μ，λ）），其密度函數(shù)f（x）和分布函數(shù)F（x）分別為：

Cauchy分布因其期望和方差都不存在而受到廣泛關注，其在物理學等眾多領域也有著十分重要的應用價值。關于Cauchy分布的一些特別性質，可查閱文獻[1-3]。同時，也有很多文獻對Cauchy分布的參數(shù)估計問題進行了一些研究。文獻[4]討論了矩估計和極大似然估計等一些常用的點估計方法對Cauchy分布C（μ，1）并不適用，從而提出了利用中位數(shù)的方法得到參數(shù)μ的估計。文獻[5]通過局部矩估計的方法得到Cauchy分布C（0，λ）的參數(shù)λ的點估計與區(qū)間估計，同時也說明了該方法的局限性。文獻[6]給出了Cauchy分布C（μ，λ）的兩個參數(shù)的分位數(shù)估計。文獻[7]在全樣本場合下研究了兩參數(shù)Cauchy分布C（μ，λ）的點估計與區(qū)間估計。

本文給出了兩參數(shù)Cauchy分布C（μ，λ）在全樣本場合下參數(shù)的區(qū)間估計和定數(shù)截尾場合下參數(shù)的點估計與區(qū)間估計方法，并通過Monte-Carlo模擬考察了點估計與區(qū)間估計的精度。

1 全樣本場合下兩個參數(shù)的區(qū)間估計

設X1，X2，…，Xn為來自總體X～C（μ，λ）的一個容量為n的簡單隨機樣本，其樣本觀察值記為x1，x2，…，xn，次序統(tǒng) 計 量 記 為X（1）≤X（2）≤ … ≤X（n），其 次 序 觀 察 值 記 為則Y～C（0，1），而Y1，Y2，…，Yn與來自標準 Cauchy 分布C（0，1）總體的容量為n的一個簡單隨機樣本同分布，將其從小到大排序記為：Y（1），Y（2），…，Y（n）。

1.1 參數(shù)μ的區(qū)間估計

令μ的函數(shù)

其中，若n為偶數(shù)若n為奇數(shù)時，

于是?（μ）是僅含有參數(shù)μ的樞軸量，又?（μ）為μ的嚴格單調(diào)增函數(shù)，且：

由此，給定顯著性水平α，樞軸量）的上側1-α/2，α/2分位數(shù)記為和，通過Monte-Carlo模擬可以得到不同樣本容量所對應的樞軸量）的上側分位數(shù)值。從而，參數(shù)μ的置信水平1-α的區(qū)間估計為：

1.2 參數(shù)λ的區(qū)間估計

構造如下僅含有參數(shù)λ的樞軸量：

又：

于是T（λ）是僅含有參數(shù)λ的樞軸量，又T（λ）是λ的嚴格單調(diào)減函數(shù)。

給定顯著性水平α，樞軸量T（λ）的上側1-α/2，α/2分位數(shù)分別記為T1-α/2和，通過Monte-Carlo模擬可以得到不同樣本容量所對應的樞軸量T（λ）的上側分位數(shù)值。從而，參數(shù)λ的置信水平1-α的區(qū)間估計為：

1.3 模擬分析

給定置信水平1-α=0.90 ，取樣本容量n=10（5）30 ，參數(shù)真值取為μ=-5，0，5，λ=0.5，通過1000次Monte-Carlo模擬得參數(shù)μ，λ的區(qū)間估計的平均下限、平均上限和平均區(qū)間長度，同時統(tǒng)計1000次模擬所得的區(qū)間估計包含參數(shù)真值的次數(shù)，結果如表1所示，從中可以看到上述所給出的求區(qū)間估計的方法是可行的。

表1 參數(shù)μ，λ的區(qū)間估計

2 定數(shù)截尾場合下兩個參數(shù)的點估計與區(qū)間估計

設X（1），X（2），…，X（r）為來自總體X～C（μ，λ）的一個容量為n的前r個次序統(tǒng)計量，其次序觀察值記為則Y～C（0，1），而Y（1），Y（2），…，Y（r）與來自標準 Cauchy分布C（0，1）總體的容量為n的前r個次序統(tǒng)計量同分布。

注意到，如給定0＜p＜1，由文獻[8]可知樣本的p分位數(shù)X*（p）可定義為：

其中，＜pn＞為pn的整數(shù)部分。

2.1 參數(shù)的點估計

進而參數(shù)μ的點估計為：

則參數(shù)λ的點估計為：

進而參數(shù)μ的點估計為：

其中[]表示取整函數(shù)。

由于該情況下的樣本量較少，估計的效果不甚理想，會受到樣本值的影響，在此僅舉一模擬算例說明該方法的應用：取n=20，r=4，參數(shù)真值取μ=0，λ=1，通過Monte-Carlo模擬產(chǎn)生的一組截尾樣本為-4.2946，-4.2491，-1.9168，-0.92，則?=0.0207 ，?=0.6835 。

取樣本容量n=10（5）30以及定數(shù)截尾數(shù)r，參數(shù)真值取μ=0，λ=1，通過10000次模擬得到參數(shù)μ，λ的點估計的均值與均方差，結果列于表2。

表2 參數(shù)μ，λ的點估計

2.2 參數(shù)的區(qū)間估計

2.2.1 參數(shù)μ的區(qū)間估計

令μ的函數(shù)

其中，若r為偶數(shù)若n為奇數(shù)時，

于是?（μ）是僅含有參數(shù)μ的樞軸量，又?（μ）為μ的嚴格單調(diào)增函數(shù)，且：

由此，給定顯著性水平α，樞軸量）的上側1-α/2，α/2分位數(shù)記為和，通過Monte-Carlo模擬可以得到不同樣本容量n和定數(shù)截尾數(shù)r所對應的樞軸量?（μ）的上側分位數(shù)值。從而，參數(shù)μ的置信水平1-α的區(qū)間估計為：

2.2.2 參數(shù)λ的區(qū)間估計

構造如下僅含有參數(shù)λ的樞軸量：

又：

于是T（λ）是僅含有參數(shù)λ的樞軸量，又T（λ）是λ的嚴格單調(diào)減函數(shù)。

給定顯著性水平α，樞軸量T（λ）的上側1-α/2，α/2的分位數(shù)分別記為和，通過Monte-Carlo模擬可以得到不同樣本容量n和定數(shù)截尾數(shù)r所對應的樞軸量T（λ）的上側分位數(shù)值。從而，參數(shù)λ的置信水平1-α的區(qū)間估計為：

2.2.3 模擬分析

給定置信水平1-α=0.90，取樣本容量n和定數(shù)截尾數(shù)r，參數(shù)真值取為μ=1，λ=1，通過1000次Monte-Carlo模擬得參數(shù)μ，λ的區(qū)間估計的平均下限、平均上限和平均長度，同時統(tǒng)計1000次模擬所得的區(qū)間估計包含參數(shù)真值的次數(shù)，結果如表3所示。

3 算例分析

例1：文獻[5]提供了如下算例，取樣本容量n=10，刻度參數(shù)λ的真值取為5，通過Monte-Carlo模擬產(chǎn)生10個服從C（0，λ）分布的隨機數(shù)如下：

2.3008 ，3.9756，-6.4165，11.9341，16.4812，-0.2428，-7.9044，-6.3136，14.5784，-1.9155

文獻[5]得到了參數(shù)λ的局部矩估計為：?=5.0953；利用文獻[7]的方法可以得到：μ的點估計為?=X*（0.5）=1.029 ，λ的點估計為=X*（0.5）-X*（0.25）=7.3426 ，=X*（0.75）-X*（0.5）=10.9051，=5.6939；利用本文方法可以得到：在置信水平1-α=0.90下，μ的區(qū)間估計為[- 4.4215，9.0711] ，λ的區(qū)間估計為[0 . 1705，6.5199] 。

例2：取樣本容量n=30，定數(shù)截尾數(shù)r=26，通過Monte-Carlo模擬產(chǎn)生一組服從C（3，2）分布的隨機數(shù)如下：

-3.71106,-2.40515,-1.21566,-0.424847,0.296015,0.518243,0.744813,1.49002,1.90678,1.98354,1.99277,2.27703,2.47186,2.86832,2.8724,3.02303,3.27706,3.3678,3.69184,4.29,4.54302,4.63784,4.91429,5.53984,7.47502,8.44948

利用本文方法可以得到：μ的點估計為?=X*（0.5）=2.9477 ，λ的點估計為?=X*（0.75）-X*（0.5）=1.9666 ，在置信水平1-α=0.90下，μ的區(qū)間估計為[2 . 2743，4.4547] ，λ的區(qū)間估計為[0 .0383，2.0716] 。

4 結論

針對兩參數(shù)Cauchy分布C（μ，λ），在全樣本場合下通過構造樞軸量分別得到參數(shù)μ和λ的區(qū)間估計，通過Monte-Carlo模擬考察了區(qū)間估計的精度，從模擬結果來看，該區(qū)間估計方法具有可行性。此外，在定數(shù)截尾場合下，通過分位數(shù)得到參數(shù)μ和λ的點估計，并利用樞軸量法得到參數(shù)μ和λ的區(qū)間估計，同時通過Monte-Carlo模擬分別考察了點估計與區(qū)間估計的精度，從模擬結果來看，點估計和區(qū)間估計的方法都是可行的。最后，通過兩個模擬算例說明了本文方法的應用。