基于二維超混沌與三維混沌復(fù)合的圖像加密算法

吳貽峰， 緱新科

(蘭州理工大學(xué)電氣工程與信息工程學(xué)院，蘭州 730050)

0 引言

隨著軟硬件技術(shù)的快速發(fā)展與革新，數(shù)字化信息傳輸技術(shù)的應(yīng)用也變得越來(lái)越廣泛。圖像因其具有快捷方便、信息量大等特點(diǎn)，在地質(zhì)、氣象、航空航天等領(lǐng)域均有廣泛的應(yīng)用，這也使得對(duì)信息源的安全保護(hù)變得尤為重要[1]。由于傳統(tǒng)的以AES為代表的信息加密系統(tǒng)， 加密效率低，難以滿足當(dāng)前的需求，而混沌具有對(duì)初始 條件的高度敏感性、遍歷性、混合性、非周期性等特點(diǎn)，在處理大數(shù)據(jù)量信息時(shí)具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，因此基于混沌的圖像加密得到了越來(lái)越多研究學(xué)者的重視[2-4]。

近年來(lái)，大量的圖像加密算法被提出，香農(nóng)提出的混淆擴(kuò)散機(jī)制在圖像加密算法中得到了成功的應(yīng)用和發(fā)展。很多研究人員提出的混沌加密算法，性能優(yōu)異、安全性高，但是也存在一些不足。文獻(xiàn)[5]提出的超混沌加密算法，優(yōu)化了像素置亂和擴(kuò)散過(guò)程，魯棒性較好，但是加密速率并不理想，即使是256×256的8位圖像，也需要接近1 s的時(shí)間，實(shí)時(shí)性不佳；文獻(xiàn)[6]提出的新型置換和替代加密算法，將像素值擴(kuò)散矢量和置亂矢量耦合，增加了加密系統(tǒng)的破解難度，但其使用的是一維Logistic映射，擬平凡密鑰存在，安全性不高；文獻(xiàn)[7]提出的像素位置比特位雙重置亂算法，加強(qiáng)了明文與密鑰的關(guān)系，提高了系統(tǒng)的安全性，但只使用了Kent映射，密鑰空間受到限制；文獻(xiàn)[8]提出的基于二維超混沌加密算法以及文獻(xiàn)[9]提出的先局部再整體的置亂方式，方法新穎，僅通過(guò)兩輪加密就可以得到較好的效果。

本文對(duì)文獻(xiàn)[7]的置亂方式做出一些改進(jìn)，加強(qiáng)了明文和混沌系統(tǒng)初始值的關(guān)系，以及混沌序列的生成。由于當(dāng)前計(jì)算機(jī)精度有限，混沌系統(tǒng)生成的偽隨機(jī)序列會(huì)有短周期性，因此本文采用了二維超混沌與三維混沌復(fù)合的混沌加密，一方面可抵抗短周期性，另一方面增大了密鑰空間，同時(shí)提高了密鑰對(duì)明文的敏感性。經(jīng)過(guò)測(cè)試，該算法安全性較高，抗攻擊能力強(qiáng)。

1 混沌系統(tǒng)

1.1 超混沌系統(tǒng)

本文選用的是二維超混沌系統(tǒng)，即Kawakami超混沌系統(tǒng)[10]，系統(tǒng)描述如下

(1)

當(dāng)系統(tǒng)的控制參數(shù)c1為0.10或0.15,d=1.60時(shí)(業(yè)內(nèi)經(jīng)驗(yàn)值)，該系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)，其相軌圖如圖1a所示。圖1b為L(zhǎng)ogistic映射的分叉圖，它的系統(tǒng)方程為xk+1=μxk(1-xk)，其中，xk∈(0,1)，0<μ≤4。觀察圖1a可發(fā)現(xiàn)，超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性比Logistic等混沌系統(tǒng)要更加隨機(jī)、復(fù)雜且相空間大，所以，將其應(yīng)用在加密系統(tǒng)中可有效提升加密性能。

1.2 呂混沌系統(tǒng)

本文選用的另一個(gè)混沌系統(tǒng)是三維呂系統(tǒng)[11]，它是由呂金虎及其導(dǎo)師提出的處于Lorenz混沌系統(tǒng)和Chen混沌系統(tǒng)之間的過(guò)渡系統(tǒng)，系統(tǒng)方程為

(2)

由于該系統(tǒng)是連續(xù)混沌系統(tǒng)，在應(yīng)用的過(guò)程中需要將其離散化。本文采用四階Rung-Kutta算法對(duì)呂系統(tǒng)進(jìn)行離散化處理。

其中：a，c2，b均為控制參數(shù)，當(dāng)a=36，b=3，c2=20時(shí)(業(yè)內(nèi)經(jīng)驗(yàn)值)，系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌狀態(tài)，設(shè)定(x,y,z)的起始迭代值分別為(12,12,12)(根據(jù)相空間范圍選取)，并設(shè)定步長(zhǎng)h=0.001(業(yè)內(nèi)實(shí)驗(yàn)值)，仿真實(shí)驗(yàn)得到其相軌圖如圖2所示。由圖2可見x∈(0,40)，y∈(-40,40)，z∈(-30,30)，說(shuō)明了多維混沌系統(tǒng)的相空間大，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)復(fù)雜，將其應(yīng)用于加密系統(tǒng)能夠有效提高系統(tǒng)的安全性[12]。

圖1 系統(tǒng)映射圖Fig.1 System mapping

圖2 呂系統(tǒng)相軌圖Fig.2 The phase portrait of the LV system

2 加密算法設(shè)計(jì)

基于混沌的圖像加密算法主要由像素置換和灰度擴(kuò)散兩部分組成。假設(shè)加密的圖像尺寸為M行N列，即大小為M×N，記第i行第j列的像素值為pi,j。

2.1 像素置換

像素置換即通過(guò)特定操作打亂圖像的像素矩陣，改變其原有的排列方式，進(jìn)而減弱圖像內(nèi)部像素之間的相關(guān)性，使圖像呈現(xiàn)出類似噪聲的狀態(tài)，視覺(jué)上無(wú)法辨認(rèn)。置換算法設(shè)計(jì)如下。

1) 通過(guò)明文像素值控制產(chǎn)生Kawakami系統(tǒng)的初始值X0和Y0，計(jì)算明文圖像的像素值之和，前半部分之和記為S1，后半部分之和記為S2，然后通過(guò)式(3)進(jìn)行歸一化處理，超混沌系統(tǒng)初始值產(chǎn)生完成。

(3)

2) 計(jì)算混沌系統(tǒng)的預(yù)迭代次數(shù)N0為

N0=1000+mod(S2,500)>。

(4)

(5)

對(duì)兩組序列進(jìn)行改造，則兩組混沌序列均屬于[0,255]。

4) 同時(shí)選取上述兩組混沌序列的第K1,K2,K3次迭代值，然后通過(guò)

(6)

計(jì)算產(chǎn)生呂混沌系統(tǒng)初始值。式中：K1,K2,K3的值可自由設(shè)定，但必須滿足K1,K2,K3均屬于[1，M×N]，且w1+w2=1;PK1，PK2，PK3為明文圖像的第K1,K2,K3個(gè)像素值。

5) 通過(guò)

i′=i+mod((Xi+Yi)，M×N-i)

(7)

Pi′=Pi>

(8)

進(jìn)行置換操作，并記生成的置換圖像序列為Si(i=0,1,2，…，M×N-1)。

2.2 像素替換和擴(kuò)散

1) 設(shè)定呂混沌系統(tǒng)的控制參數(shù)a，b，c2，初始值Xbgn,Ybgn,Zbgn，先迭代N0次，再迭代M×N次，得到3組未經(jīng)處理的混沌序列，然后根據(jù)

(9)

t=mod(Pi,3)

(10)

完成對(duì)混沌序列的改造和重新排列，記最終形成的3組混沌序列為L(zhǎng)xi，Lyi,Lzi(i=0,1,2，…，M×N-1)。

如果t=0，則分別將(bi 1,bi 2,bi 3)放入(Lxi,Lyi,Lzi)中；如果t=1，則分別將(bi 1,bi 2,bi 3)放入(Lyi,Lzi,Lxi)；如果t=2,則分別將(bi 1,bi 2,bi 3)放入(Lzi,Lyi,Lxi)中，重復(fù)此過(guò)程，完成對(duì)3組混沌序列的構(gòu)造。

2)記最終密文序列為Ci(i=0,1,2，…，M×N-1)，中間密文序列為Mi(i=0,1,2，…，M×N-1)。根據(jù)

Mi=Lyi⊕mod((Lxi+Si),256)⊕Mi-1

(11)

Ci=Mi⊕mod((Lzi+Pi),256)⊕Ci-1>。

(12)

完成像素替換和擴(kuò)散。

當(dāng)加密第一個(gè)像素時(shí)，取Mi-1=M0，Ci-1=C0，M0，C0自定義，且取值范圍均為[0,255]。

重復(fù)上述過(guò)程T次，完成整個(gè)加密過(guò)程。

2.3 解密

解密即將密文圖像恢復(fù)成原圖的過(guò)程，與加密過(guò)程相反，需先進(jìn)行替換和擴(kuò)散逆操作，再進(jìn)行置換逆操作，最后才能得到原始像素值，恢復(fù)原圖。

1) 通過(guò)

Mi=Ci⊕(Lzi+Pi)⊕Ci-1

(13)

Si=Mi⊕Lyi⊕Mi-1+256-Lxi>

(14)

得到Si。

2) 通過(guò)式(7)、式(8)得到原始像素。值得注意的是,解密過(guò)程是加密過(guò)程的逆序，不僅是算法流程，而且像素處理也需要從圖像的最后一個(gè)像素開始。

3 圖像加密效果評(píng)價(jià)指標(biāo)

3.1 灰度直方圖

一個(gè)安全加密系統(tǒng)必須能夠抵抗基于統(tǒng)計(jì)分析的攻擊?；叶戎狈綀D是反映圖像統(tǒng)計(jì)信息的有力工具，加密后圖像的灰度直方圖分布越均勻則加密效果越好。

3.2 信息熵

信息是用來(lái)消除隨機(jī)、不確定的東西，信息熵則是對(duì)信息的一種度量方式，越大則隨機(jī)性越好。對(duì)于任意的隨機(jī)信號(hào)m，其信息熵定義如式(15)所示，單位bit，即

(15)

式中:N表示圖像像素特征的總個(gè)數(shù)，這里N=28，即256；p(mi)指mi在信息源中出現(xiàn)的概率。信息源隨機(jī)性越好，則H(m)的值越接近lbn。

3.3 相鄰像素相關(guān)性

相鄰像素相關(guān)性反映了圖像中相鄰灰度值之間的關(guān)聯(lián)強(qiáng)度，加密的目的便是弱化其相關(guān)程度，主要包括水平、垂直和對(duì)角線3個(gè)方向。

相關(guān)性系數(shù)的算式為

(16)

(17)

式中：xi,yi為相鄰的灰度值；N為相鄰像素對(duì)的對(duì)數(shù)；E(x)為像素均值；D(x)為方差；cov(x,y)為協(xié)方差。

3.4 明文敏感性

差分分析雖然對(duì)數(shù)據(jù)量的要求比較高，但卻是一種行之有效的攻擊方法。破解思路是對(duì)特定區(qū)域像素值做出細(xì)微改變，分析改變前后密文之間的關(guān)系，以期望得到與密碼相關(guān)的有用信息。為了抵抗此類攻擊，需要密碼系統(tǒng)能夠在明文即使只變化一個(gè)像素值時(shí)也能產(chǎn)生雪崩效應(yīng)，即算法的抗差分能力要強(qiáng)，一般通過(guò)像素變化率(NPCR)和灰度平均變化強(qiáng)度(UACI)來(lái)評(píng)判。它們的理想值分別為99.609 4%和33.463 5%。其計(jì)算方法為

(18)

(19)

式中，C(i,j)和C′(i,j)為兩幅只有一個(gè)像素值不同的明文圖像，當(dāng)C(i,j)=C′(i,j)時(shí)，D(i,j)=0，反之D(i,j)=1。

3.5 密鑰分析

任何安全可靠的加密算法，密鑰都需要具備大空間和強(qiáng)敏感性的特點(diǎn)。密鑰空間的大小能夠增大窮舉法攻擊的難度；強(qiáng)敏感性是對(duì)密鑰唯一性的衡量。只有兩個(gè)特點(diǎn)都具備，才能保證加密系統(tǒng)的安全性。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)圖像為8位256色的Baboon圖像，其像素大小為512×512。參數(shù)設(shè)置如下：式(1)中，c1=0.10，d=1.60；式(2)中，a=36，b=3，c2=20；其他：(K1，K2，K3，M0，C0，T)= (2017，2137，2862，142，132，2)，參數(shù)可自由設(shè)置，滿足第3章提出的限制條件即可。圖3中給出了Baboon置換效果和最終加密效果。由圖3c可以發(fā)現(xiàn)密文圖像在視覺(jué)上呈現(xiàn)雜亂無(wú)章的狀態(tài)，類似噪聲，無(wú)法辨識(shí)。

圖3 加密效果圖Fig.3 Encryption effect

4.1 抗統(tǒng)計(jì)性能分析

圖4分別給出了 Baboon圖像加密前后的灰度直方圖。從圖中可觀察發(fā)現(xiàn)，明文在加密前像素值分布極不平坦，而加密后圖像灰度值基本上在[0,255]內(nèi)呈現(xiàn)等概率分布，說(shuō)明明文的統(tǒng)計(jì)特性遭到了嚴(yán)重破壞，該加密算法能夠有效抵抗統(tǒng)計(jì)分析。

圖4 灰度直方圖Fig.4 Gray scale histogram

4.2 信息熵分析

對(duì)于本文實(shí)驗(yàn)中的8位256色圖像，即N=256，P(mi)=1/256，根據(jù)式(15)可以計(jì)算其信息熵理想值為8。表1數(shù)據(jù)說(shuō)明算法經(jīng)過(guò)較少輪次的加密，就能得到理想的信息熵值，即加密算法能夠快速有效地提升信息源的隨機(jī)性；同時(shí),從表2的對(duì)比分析中可以發(fā)現(xiàn),本文算法的信息熵略高于其他幾個(gè)算法，更加接近理想值，因此本文算法的性能更佳。

表1 圖像信息熵

表2 信息熵對(duì)比

4.3 相關(guān)性分析

密文相鄰像素之間的相關(guān)性越低，則加密圖像越安全。實(shí)驗(yàn)中隨機(jī)采集了明密文在水平、垂直和對(duì)角線3個(gè)方向上的5000對(duì)相鄰像素值，表3是根據(jù)式(16)計(jì)算得到的3個(gè)方向的ρxy，反映出未加密圖像的相鄰像素高度相關(guān)，而密文圖像則降低到了10-2以下，相關(guān)性極低。圖5給出了明密文3個(gè)方向上的相鄰像素相關(guān)性圖，可以發(fā)現(xiàn)明文相鄰像素之間大致呈現(xiàn)線性相關(guān)，而密文相鄰像素則呈離散分布狀態(tài)。表4中的對(duì)比分析表明了本文算法的安全性比一般算法要好。

表3 相關(guān)性系數(shù)

圖5 相鄰像素相關(guān)性系數(shù)Fig.5 Correlation of two adjacent pixels of plaintext and ciphertext

表4 相關(guān)性系數(shù)對(duì)比

4.4 抗差分性能分析

NPCR和UACI揭示了算法對(duì)明文的敏感性，表5數(shù)據(jù)說(shuō)明算法在明文即使只發(fā)生微小變化時(shí)，也能夠快速有效地影響全部密文，使整體密文數(shù)據(jù)均產(chǎn)生巨大變化。對(duì)比文獻(xiàn)[2]、文獻(xiàn)[6]、文獻(xiàn)[9]，從表6可看出本文算法對(duì)明文的敏感性更強(qiáng)，即算法具有較強(qiáng)的抗差分攻擊能力，密文安全能夠得到有效保障[12]。

表5 NPCR和UACI

表6 NPCR和UACI的對(duì)比

4.5 密鑰分析

4.5.1 密鑰空間分析

根據(jù)算法設(shè)計(jì)密鑰可設(shè)定為：Kawakami系統(tǒng)(c1，d)，呂系統(tǒng)(a，b，c2)以及(K1，K2，K3，M0，C0，T)等，密鑰空間約為10220以上，能夠有效抵抗攻擊者類似窮舉的攻擊[12]。

4.5.2 密鑰敏感性分析

一個(gè)安全的加密系統(tǒng)需要對(duì)明文和密鑰都具備強(qiáng)敏感性。實(shí)驗(yàn)中在呂混沌系統(tǒng)的控制參數(shù)c2分別為20和20+10-14，其他密鑰保持一致的情況下，加解密256×256的 Baboon圖像，得到圖6b的結(jié)果，解密圖像完全混亂，一片噪點(diǎn)。設(shè)定加解密參數(shù)完全一致時(shí)才能得到圖6a的原始圖像。

實(shí)驗(yàn)中一并測(cè)試了上述密鑰加密相同明文圖像,得到密文之間的NPCR和UACI。本文算法的上述值分別為0.996 4和0.334 3，因此本文算法對(duì)密鑰是否準(zhǔn)確極其敏感，微小差別也不能容忍，安全性較高。

圖6 解密圖Fig.6 Decryption images

4.6 算法效率

實(shí)驗(yàn)設(shè)備為臺(tái)式電腦。CPU配置為AMD A8-6500 4.00 GiB 3.50 GHz；軟件為Visual Studio 2010；編程語(yǔ)言為C + +與Halcon混合編程。為了得到較為準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)，實(shí)驗(yàn)中對(duì)不同的圖像(像素大小均為256×256)進(jìn)行加密，并與該領(lǐng)域的其他算法進(jìn)行對(duì)比分析。從表7中可以發(fā)現(xiàn)本文算法效率得到一定改善，但并非特別顯著，主要原因在于選擇的混沌系統(tǒng)，超混沌和多維混沌在迭代速率上稍慢，在算法總體耗時(shí)中占了較大比例。因此，選擇合適的混沌系統(tǒng)對(duì)加密算法影響很大，不同混沌系統(tǒng)特點(diǎn)不一，利用其優(yōu)點(diǎn)避其缺點(diǎn)，才能設(shè)計(jì)出更加安全高效的加密算法。

表7 加密時(shí)間對(duì)比

4.7 抗噪聲分析

圖像在傳輸過(guò)程中極易受到噪聲污染，為了檢測(cè)算法的抗噪能力，在加密過(guò)程中對(duì)face(256×256)圖片加入了高斯噪聲(標(biāo)準(zhǔn)差為20)和椒鹽噪聲(15%)，然后進(jìn)行解密，解密結(jié)果如圖7所示。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，即使在傳輸過(guò)程中圖像受到了污染，也能夠恢復(fù)圖像的整體信息，不影響其整體感知，因此該算法具有一定的抗噪聲能力。

圖7 加入噪聲與無(wú)噪聲解密圖Fig.7 Decryption of noise-added image and original image

5 結(jié)論

本文提出的Kawakami超混沌與三維呂混沌復(fù)合的圖像加密算法，置換過(guò)程相比傳統(tǒng)算法做出了較大改進(jìn)，參數(shù)設(shè)置更加隨機(jī)和復(fù)雜，增強(qiáng)了明密文之間、置換和替換之間的相互影響強(qiáng)度，使得算法的擴(kuò)散效應(yīng)更好。實(shí)驗(yàn)仿真表明,本文提出的復(fù)合算法充分利用兩種混沌系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)，也一定程度地規(guī)避其缺點(diǎn)，使其能夠有效地抵抗各種攻擊，安全性能夠得到較好的保障，但是在相關(guān)性和加密效率上改進(jìn)并不顯著，算法設(shè)計(jì)還可進(jìn)一步優(yōu)化?？傮w來(lái)說(shuō),本文設(shè)計(jì)的算法比大部分的同類算法性能要優(yōu)異，具有較好的應(yīng)用前景和使用價(jià)值。