基于多目標(biāo)優(yōu)化的混凝土斜拉橋靜動力有限元模型修正

彭 濤, 田仲初, 張建仁, 鄭萬泔

(1.長沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，長沙 410114；2.南京安正軟件工程有限責(zé)任公司，南京 210009)

近年來，隨著人民日益增長的美好生活需要，大跨度橋梁結(jié)構(gòu)的健康監(jiān)測、損傷識別、安全評估以及剩余壽命預(yù)測等逐漸成為常態(tài)，這些都需要一個(gè)能滿足工程精度要求、反映結(jié)構(gòu)真實(shí)性態(tài)的基準(zhǔn)有限元模型作為基礎(chǔ)[1-3]。由于橋梁結(jié)構(gòu)實(shí)際施工中不可避免的存在誤差、材料參數(shù)的不確定性和離散性、邊界條件的失真模擬或簡化、有限元模型固有的階次誤差和離散誤差等，依據(jù)相關(guān)圖紙和規(guī)范等建立的初始有限元模型和真實(shí)結(jié)構(gòu)不可避免的會存在一定偏差，從而使得有限元分析預(yù)測的結(jié)構(gòu)響應(yīng)與結(jié)構(gòu)表現(xiàn)的實(shí)際響應(yīng)之間的誤差超過工程允許范圍，有必要對有限元模型進(jìn)行修正[4]。有限元模型修正是在保證模態(tài)參數(shù)自身準(zhǔn)確性和修正參數(shù)物理意義明確的前提下，利用靜、動力實(shí)測結(jié)果(位移、應(yīng)變、頻率、振型等)修正有限元模型的相關(guān)參數(shù)，使模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)測值趨于一致[5]。

靜、動力協(xié)同的有限元模型修正可以增加修正過程中的可利用信息，克服單獨(dú)運(yùn)用單一測試信息進(jìn)行修正帶來的不足。目前，大跨度橋梁結(jié)構(gòu)從施工到運(yùn)營一般會經(jīng)歷施工監(jiān)控、交工靜動載試驗(yàn)等試驗(yàn)檢測過程，這為有限元模型修正和基準(zhǔn)模型的建立提供了豐富、可靠的初始靜動力測試數(shù)據(jù)，促進(jìn)了聯(lián)合靜動力的模型修正方法的發(fā)展[6]。張啟偉等[7]利用結(jié)構(gòu)實(shí)測數(shù)據(jù)修正結(jié)構(gòu)剛度的子結(jié)構(gòu)算法，推廣為聯(lián)合運(yùn)用靜動力實(shí)測數(shù)據(jù)的模型修正和損傷識別方法，并在懸臂梁上進(jìn)行了應(yīng)用。宗周紅等首次采用動力模態(tài)柔度和靜力位移聯(lián)合構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，提出了一種聯(lián)合靜動力的有限元模型修正方法，并將該方法成功應(yīng)用于一座加固后的剛架拱橋。姚昌榮等[8]以某斜拉橋成橋靜載實(shí)測位移和模態(tài)試驗(yàn)中實(shí)測頻率作為狀態(tài)變量，以各項(xiàng)實(shí)測值與相應(yīng)計(jì)算值組合構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，對該橋的初始有限元模型的進(jìn)行了修正。方志等[9]基于一個(gè)混凝土斜拉橋模型采用參數(shù)靈敏度分析和ANSYS優(yōu)化技術(shù)，對靜動力試驗(yàn)獲得的靜力位移和模態(tài)測試結(jié)果進(jìn)行了修正，并利用不同狀態(tài)下的實(shí)測結(jié)果檢驗(yàn)了修正后的模型。魏錦輝等[10]基于結(jié)構(gòu)靜載位移和振動頻率等現(xiàn)場實(shí)測數(shù)據(jù)，構(gòu)造聯(lián)合靜動力的有限元模型修正的目標(biāo)函數(shù)，提出了一種基于響應(yīng)面方法的橋梁靜動力有限元模型修正技術(shù)。

有限元模型修正本質(zhì)上是個(gè)優(yōu)化問題，采用不同的靜、動力數(shù)據(jù)的組合方式可以形成不同的目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)建合理的包含靜動力響應(yīng)信息的目標(biāo)函數(shù)是此種修正方法的核心問題，迄今已有不少的學(xué)者基于靜動力實(shí)測數(shù)據(jù)，針對各種橋梁結(jié)構(gòu)或室內(nèi)模型的有限元模型修正，提出了多種卓有成效的方法。但這些方法大都采用線性加權(quán)求和法建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，即給每一個(gè)目標(biāo)向量賦予一個(gè)權(quán)重，將各個(gè)目標(biāo)分量乘上各自相應(yīng)的權(quán)重系數(shù)后組合成為一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)，從而將其轉(zhuǎn)化成一個(gè)單目標(biāo)優(yōu)化問題求解。這種處理方法的不足之處是權(quán)重的賦值雖然考慮了各個(gè)目標(biāo)的相對重要程度，但權(quán)重系數(shù)的取值方法目前還缺少相應(yīng)的研究和理論支撐，有較大的主觀性。本文提出了一種基于多目標(biāo)優(yōu)化的聯(lián)合靜動力有限元模型修正方法，并將其應(yīng)用到混凝土斜拉橋的有限元模型修正。

1 多目標(biāo)優(yōu)化方法

在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究中的優(yōu)化問題大多數(shù)屬于多目標(biāo)優(yōu)化問題。當(dāng)優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)為一個(gè)時(shí)稱之為單目標(biāo)優(yōu)化問題，目標(biāo)函數(shù)有兩個(gè)或大于兩個(gè)且需要被同時(shí)處理的優(yōu)化問題就被稱之為多目標(biāo)優(yōu)化問題(Muti-objective Optimization Problems，MOPs)。典型的多目標(biāo)優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型由n個(gè)決策變量、m個(gè)目標(biāo)變量和若干約束條件組成，其數(shù)學(xué)描述如下[11]

(1)

式中：x為n維決策變量，組成決策空間；F(x)為目標(biāo)函數(shù)；m為目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)；gj(x)為不等式約束；hk(x)為等式約束；j，k為約束的個(gè)數(shù)。

多目標(biāo)優(yōu)化和單目標(biāo)優(yōu)化有著本質(zhì)的不同，多目標(biāo)優(yōu)化問題各目標(biāo)之間相互制約，不存在唯一的全局最優(yōu)解，而是存在一個(gè)最優(yōu)解的集合，其特點(diǎn)是至少存在一個(gè)目標(biāo)優(yōu)于其他所有的解，稱為Pareto最優(yōu)解，可描述為：當(dāng)xi優(yōu)于xj時(shí)，滿足

任意k∈[1,n]，fk(xi)≤fk(xj)

(2)

存在k∈[1,n]，fk(xi)

(3)

所有Pareto最優(yōu)解組成的集合成為多目標(biāo)優(yōu)化問題的最優(yōu)解集；所有Pareto最優(yōu)解對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值構(gòu)成的區(qū)域稱為Pareto前沿。以工程中常見的雙目標(biāo)優(yōu)化問題為例，如圖1所示，AB曲線為Pareto前沿，曲線上點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)分別表示兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)值，x為Pareto前沿上的一個(gè)解，其彎曲角(bend angle)定義如下

θ=θL-θR

(4)

式中：θ為解x的彎曲角；θL，θR分別為解x與左、右邊相鄰解xL，xR形成的夾角，其計(jì)算公式為

(5)

(6)

Pareto前沿曲線上彎曲角最大的點(diǎn)為曲線最凸點(diǎn)(edge-knee point)，該點(diǎn)可以認(rèn)為是Pareto解集中的協(xié)調(diào)最優(yōu)解[12-13]。

圖1 多目標(biāo)優(yōu)化問題的Pareto前沿Fig.1 The Pareto front of muti-objective optimization problems

2 NSGA-Ⅱ多目標(biāo)優(yōu)化算法

本文采用帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法(Non-dominated Sorting Genetic Algorithm-II，NSGA-Ⅱ)來求解有限元模型修正的多目標(biāo)優(yōu)化問題，NSGA-Ⅱ算法是Deb等[14]于2000年在NSGA算法的基礎(chǔ)上提出的，是一種經(jīng)典的多目標(biāo)優(yōu)化算法。NSGA-Ⅱ算法相對于NSGA算法具有以下優(yōu)越性[15]：① 計(jì)算復(fù)雜度由O(mN3)降低為O(mN2)，其中m為目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)，N為種群規(guī)模；② 采用擁擠度和擁擠度比較算子，克服了NSGA中需要人為指定共享參數(shù)的不足，保證了種群的多樣性；③ 引入精英策略，擴(kuò)大采樣空間，避免優(yōu)秀個(gè)體流失，改善算法的魯棒性和收斂速度。NSGA-Ⅱ算法具體步驟如下：

步驟1配置算法中所需參數(shù)，如種群規(guī)模，最大進(jìn)化代數(shù)，交叉概率，變異概率等；

步驟2隨機(jī)產(chǎn)生種群規(guī)模為N的初始種群P0，并對P0進(jìn)行非支配排序，每個(gè)個(gè)體被賦予非支配序值，令t=0；

步驟3通過二元錦標(biāo)賽法從Pt選擇個(gè)體，并進(jìn)行交叉和變異操作生成子代種群Qt，其種群規(guī)模也為N；

步驟4將父代種群Pt和子代種群Qt歸并形成規(guī)模為2N混合種群Rt；

步驟5對種群Rt進(jìn)行快速非支配排序，根據(jù)個(gè)體的非支配解水平得到Rt中的全部2N個(gè)個(gè)體的非支配層F1,F2,F3,…；計(jì)算每一非支配層的個(gè)體局部擁擠距離，根據(jù)非支配關(guān)系以及個(gè)體的擁擠度提取N個(gè)個(gè)體作為新的父代種群Pt+1；

步驟6對種群Pt+1執(zhí)行選擇、交叉、變異操作形生新子代種群Qt+1；

步驟7如果終止條件成立，則算法終止；否則跳轉(zhuǎn)到步驟4。

3 基于多目標(biāo)優(yōu)化的混凝土斜拉橋模型修正

3.1 工程背景

以我國某公路斜拉橋?yàn)檠芯繉ο?，該橋主橋結(jié)構(gòu)為(65+123+318+130)m高低塔雙索面預(yù)應(yīng)力混凝土斜拉橋，采用塔梁分離、索塔下橫梁上設(shè)置豎向支座的半漂浮體系。該橋橋?qū)?7.5 m，主梁斷面為混凝土雙肋板式截面(Π型梁)，采用C55混凝土，主梁高2.6 m，頂板厚0.28 m。橋塔采用“H”型索塔，采用C40混凝土，高塔高115.4 m，低塔高91.9 m。斜拉索采用直徑7 mm平行鋼絲斜拉索，高塔44根索，低塔32根索，采用扇形布置，除了低塔邊尾索，主梁上的索距都為8 m。高塔側(cè)邊跨設(shè)有輔助墩和過渡墩，墩身材料為C30混凝土。大橋總體布置如圖2所示，大橋成橋照片如圖3所示。

(a) 立面

(b) 平面圖2 橋梁總體布置圖(單位：cm)Fig.2 The engineering drawing of the bridge(unit: cm)

圖3 橋梁成橋狀態(tài)Fig.3 The photo of the completed bridge

3.2 初始有限元模型的建立

斜拉橋?qū)俅笮蛷?fù)雜結(jié)構(gòu)，初始有限元模型的建立以橋梁圖紙和相關(guān)規(guī)范為依據(jù)，著重對結(jié)構(gòu)的剛度、質(zhì)量和邊界條件的精確模擬，盡量減少模型階次誤差。節(jié)點(diǎn)單元劃分時(shí)綜合考慮靜載試驗(yàn)加載位置、位移和應(yīng)變測點(diǎn)位置等信息，便于荷載的施加和結(jié)果的提取。

(1)建模策略及單元選取。有限元建模策略會影響計(jì)算精度，因此需要采取合適的建模策略。斜拉橋主梁常用的模擬方式主要有：平面梁模式、空間梁模式、梁格模式、空間板殼模式、實(shí)體單元模式等。前三種模式屬于簡化處理方法，均需對主梁的質(zhì)量、剛度等進(jìn)行等效換算，結(jié)構(gòu)較復(fù)雜時(shí)計(jì)算精度難以控制；空間板殼模式應(yīng)用于箱形截面梁等薄壁結(jié)構(gòu)時(shí)效果較好，但建模較復(fù)雜；實(shí)體單元模式既能精確模擬結(jié)構(gòu)的空間效應(yīng)還能分析主梁的局部效應(yīng)，具有較高計(jì)算精度，但建模較復(fù)雜，且需要較多的計(jì)算機(jī)時(shí)。由于本大橋主梁為Π型開口截面梁，翹曲剛度對結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)頻率和振型有較大的影響，為了精確模擬Π梁的空間受力行為，采用實(shí)體單元Solid65建模；索塔采用空間梁單元Beam188建模；斜拉索采用設(shè)置為只受拉模式的空間桿單元Link10模擬，采用彈性模量按Ernst公式修正的方法計(jì)入斜拉索的垂度效應(yīng)影響；為了精確反映結(jié)構(gòu)的真實(shí)狀態(tài)以及便于模型參數(shù)的修正，防撞墻和橋面鋪裝采用殼單元模擬，并與橋面主梁實(shí)體對應(yīng)節(jié)點(diǎn)耦合，考慮其質(zhì)量特性和空間尺寸，忽略其剛度。

(2)邊界條件。采用節(jié)點(diǎn)耦合方法模擬斜拉索與索塔和主梁間的連接；索塔、輔助墩、過渡墩與主梁間支座采用彈簧單元模擬，其剛度初始值按照支座剛度換算得到；橋臺處按支座剛度換算值施加節(jié)點(diǎn)彈性約束邊界條件；索塔、輔助墩、過渡墩底部采用固接約束邊界條件。

按照上述的建模策略、選取的單元和邊界條件，采用通用有限元軟件ANSYS建立斜拉橋的精細(xì)化初始有限元模型，模型如圖4所示，初始有限元模型的材料特性取值如表1所示。表1中的彈模和容重參數(shù)按照設(shè)計(jì)圖紙和相關(guān)規(guī)范取值；對于支座剛度參數(shù)，相同規(guī)格的支座取相同的剛度，其初始值按支座剛度換算得到，表1中列出了背景斜拉橋3類支座橫向剛度參數(shù)。

圖4 橋梁有限元模型圖Fig.4 The finite element model pictures of the bridge

表1 初始FEM材料特性取值Tab.1 Values of initial FEM material properties

3.3 現(xiàn)場靜動力試驗(yàn)

大橋竣工后，按照在相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)程指導(dǎo)下編制的試驗(yàn)方案，對大橋進(jìn)行了全橋靜載試驗(yàn)和模態(tài)測試。靜載試驗(yàn)主要包括主梁低塔側(cè)邊跨最大正彎矩、主梁中跨最大正彎矩、主梁輔助墩墩頂處最大負(fù)彎矩和主梁橫梁最大正彎矩等加載工況，每個(gè)加載工況都對主梁控制截面的應(yīng)力、撓度，塔頂偏位，相關(guān)斜拉索的索力等進(jìn)行了測試；在靜載試驗(yàn)正式加載前對大橋進(jìn)行了預(yù)壓，以消除結(jié)構(gòu)非彈性變形的影響；根據(jù)大橋設(shè)計(jì)荷載標(biāo)準(zhǔn)，采用荷載等效的原則布置實(shí)際加載車輛，實(shí)際加載選用總重300 kN的自卸卡車(前軸重約6 t，中后軸重約24 t，前中軸距離3.6 m，中后軸距離1.4 m)加載，靜載試驗(yàn)位移測點(diǎn)布置如圖2所示。

在環(huán)境激勵情況下進(jìn)行橋梁模態(tài)試驗(yàn)，橋梁振動加速度信號由傳感器拾振并通過放大器放大再由采集儀采集，采用941B型拾振器，模態(tài)試驗(yàn)測點(diǎn)布置如圖2所示，主梁共布置82個(gè)測點(diǎn)，上、下游對稱布置，采樣頻率為50 Hz，振動信號由結(jié)構(gòu)模態(tài)分析軟件MaCras進(jìn)行采集操作和處理，得到大橋的前13階自振頻率和振型。斜拉橋靜動力測試結(jié)果見表2、表3、表5、表6。

3.4 模型修正及驗(yàn)證

3.4.1 待修正參數(shù)選取

模型修正參數(shù)選取是在充分考慮對模型有影響的不確定性因素下的所有可能存在誤差的參數(shù)，包括結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)、材料特性參數(shù)和邊界條件參數(shù)等，參數(shù)的選取往往存在所選的參數(shù)對特征信息不敏感、漏選、誤選等問題，因此待修正參數(shù)的選取要遵循兩個(gè)原則：① 選擇的參數(shù)不能太多，過多的待修正參數(shù)易造成優(yōu)化規(guī)模大求解困難，或使參數(shù)修正值不具有物理意義；② 選擇靈敏度比較大的參數(shù)，如果選擇靈敏度非常小的參數(shù)會造成靈敏度矩陣病態(tài)，導(dǎo)致優(yōu)化不收斂或得到錯誤的求解結(jié)果。靈敏度分析可以研究系統(tǒng)輸出特征量對系統(tǒng)參數(shù)的敏感性，在參數(shù)型模型修正中，n維模型參數(shù)向量P(p1,p2,p3,…,pn)和m維結(jié)構(gòu)響應(yīng)向量f(f1,f2,f3,…,fm)是隱式函數(shù)關(guān)系，可表示為

fi=fi(p1,p2,p3,…,pn)

(7)

利用差分法計(jì)算各指標(biāo)對各參數(shù)正則化后的相對靈敏度如下

(8)

結(jié)合背景混凝土斜拉橋的實(shí)橋情況及初始有限元模型的特點(diǎn),根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)選擇初始待修正參數(shù)及其初始值如表1所示，再對初始待修正參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，彈模和支座剛度等剛度參數(shù)對結(jié)構(gòu)自振頻率的靈敏度分析如圖5所示，容重參數(shù)對結(jié)構(gòu)自振頻率的靈敏度分析如圖6所示。根據(jù)靈敏度分析結(jié)果，剔除靈敏度相對較小的參數(shù)，最后篩選出靈敏度相對較大的主梁材料彈性模量、主梁材料容重、橋塔材料彈性模量、橋塔材料容重、斜拉索材料彈性模量、輔助墩和過渡墩材料彈性模量等6個(gè)參數(shù)作為待修正參數(shù)。

圖5 剛度參數(shù)靈敏度分析Fig.5 Sensitivity analysis of stiffness parameters

圖6 容重參數(shù)靈敏度分析Fig.6 Sensitivity analysis of bulk density parameters

3.4.2 目標(biāo)函數(shù)

大跨度斜拉橋在靜力荷載作用下結(jié)構(gòu)位移的測試方便，且測試數(shù)據(jù)的精度和可靠性能得到保證，根據(jù)試驗(yàn)實(shí)測位移和模型計(jì)算位移可以構(gòu)造靜力位移目標(biāo)函數(shù)F1為

(9)

式中：Uaji，Utji分別為第j工況的i點(diǎn)處的靜力位移的有限元模型計(jì)算值和靜力試驗(yàn)實(shí)測值；γj為第j工況的權(quán)重系數(shù)，本文選取背景斜拉橋主梁中跨最大正彎矩工況作為模型修正實(shí)測數(shù)據(jù)來源工況，因?yàn)樵诖斯r下，主梁邊、中跨位移值均較大，測試誤差帶來的影響相對最小。選取主梁低塔側(cè)邊跨最大正彎矩、主梁輔助墩墩頂處最大負(fù)彎矩兩個(gè)工況為模型修正后的驗(yàn)證工況，因?yàn)檫@兩個(gè)工況都是邊跨局部加載，中跨位移值相對較小，容易受到測量誤差的影響，而局部較大的實(shí)測數(shù)據(jù)適合用于驗(yàn)證模型修正效果。

對于基于動力測試的目標(biāo)函數(shù)，由于振動頻率對結(jié)構(gòu)剛度變化非常敏感，可利用試驗(yàn)實(shí)測振動頻率和模型計(jì)算振動頻率構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)F2為

(10)

式中：fai，fti分別為振動頻率計(jì)算值和實(shí)測值；n為參與優(yōu)化的實(shí)測頻率階數(shù)，為了優(yōu)先保證用于修正的實(shí)測數(shù)據(jù)的豐富性，選取大橋的前11階實(shí)測動力特性為模型修正實(shí)測數(shù)據(jù)來源；選取第12和第13階頻率及振型為修正后模型驗(yàn)證的數(shù)據(jù)來源，這是因?yàn)楦唠A頻率和振型更能驗(yàn)證模型計(jì)算的準(zhǔn)確性。

聯(lián)合靜動力的有限元模型修正目標(biāo)函數(shù)表示為

min{F1,F2}=

(11)

需要指出的是，有限元模型的計(jì)算振型階次與試驗(yàn)實(shí)測振型階次并不一定完全吻合，修正過程中為了保證計(jì)算模態(tài)與實(shí)測模態(tài)的振型相互匹配，采用計(jì)算模態(tài)與實(shí)測模態(tài)的模態(tài)置信準(zhǔn)則(Modal Assurance Criterion, MAC)進(jìn)行振型配對，其計(jì)算公式為

(12)

式中：φa，φt分別為計(jì)算模態(tài)與實(shí)測模態(tài)的振型向量。MAC值介于0～1，MAC值越接近于1則表示二者的相關(guān)性越好。本文計(jì)算模態(tài)與實(shí)測模態(tài)的振型配對時(shí)的MAC界限值取0.8，即當(dāng)二者的MAC≥0.8時(shí)可認(rèn)為二者對應(yīng)同一階頻率的振型。

3.4.3 模型修正過程

本文基于多目標(biāo)優(yōu)化的混凝土斜拉橋靜動力有限元模型修正的本質(zhì)是以構(gòu)建的包含靜動力響應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)，采用帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，尋求非劣解。模型修正具體實(shí)施是通過在數(shù)學(xué)軟件MATLAB和有限元分析軟件ANSYS中自編程序?qū)SGA-Ⅱ多目標(biāo)優(yōu)化算法和有限元分析結(jié)合起來實(shí)現(xiàn)優(yōu)化求解。ANSYS的批處理啟動模式(Batch模式)與MATLAB的強(qiáng)大運(yùn)算和集成功能使得二者的聯(lián)合應(yīng)用成為可能。在Batch模式下，ANSYS只在后臺啟動并運(yùn)行指定的APDL命令文件，并輸出指定結(jié)果，而不用進(jìn)入交互界面操作；ANSYS分析完成后，MATLAB程序再調(diào)用ANSYS的分析結(jié)果，從而實(shí)現(xiàn)二者的有機(jī)結(jié)合；所以模型中ANSYS的輸入、計(jì)算和輸出全部采用APDL語言編程完成。

首先在ANSYS中建立混凝土斜拉橋結(jié)構(gòu)的參數(shù)化有限元模型，并對模型進(jìn)行初始化，設(shè)置待修正參數(shù)的具體數(shù)值及取值范圍；然后對建立好的參數(shù)化有限元模型進(jìn)行分析，包括靜力分析和模態(tài)分析，并提取優(yōu)化計(jì)算需要的分析結(jié)果并寫入到輸出文件，比如結(jié)構(gòu)的位移值、應(yīng)力值、振動頻率值和振型向量等；隨后將以上輸入、輸出文件讀入MATLAB，并進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化的相關(guān)計(jì)算與操作，通過對優(yōu)化算法的控制，判斷優(yōu)化進(jìn)程是否滿足終止條件，完成對混凝土斜拉橋靜動力有限元模型修正多目標(biāo)優(yōu)化的求解，混凝土斜拉橋靜動力有限元模型修正的流程如圖7所示。多目標(biāo)優(yōu)化參數(shù)設(shè)置：種群規(guī)模為60，最大進(jìn)化代數(shù)為80，交叉概率為0.9，變異概率為0.1。初始種群如圖8所示，最終形成的Pareto前沿及Pareto協(xié)調(diào)最優(yōu)解如圖9所示。得益于NSGA-Ⅱ算法良好的多目標(biāo)尋優(yōu)功能，解集的收斂性和穩(wěn)定性較好，多次運(yùn)行的得到的Pareto前沿基本相同，Pareto解集中的協(xié)調(diào)最優(yōu)解相差在2%以內(nèi)。

圖8 初始種群在解空間情況Fig.8 Initial population in objective space

圖9 Pareto最優(yōu)解Fig.9 Pareto optimal solutions

3.4.4 模型修正結(jié)果

模型修正前后的靜力位移及實(shí)測值如表2所示，可以得出，模型修正后各測點(diǎn)的實(shí)測撓度與計(jì)算撓度更加吻合，實(shí)測與計(jì)算的最大位移均發(fā)生在11號測點(diǎn)，模型修正前該點(diǎn)的計(jì)算與實(shí)測撓度相差15.2%，修正后相差減小到2.8%。模型修正前后的動力特性及實(shí)測自振頻率如表3所示，可以看出，修正后的各階計(jì)算自振頻率與實(shí)測值偏差明顯減小，修正后的豎向彎曲頻率計(jì)算值與實(shí)測值相差最大為二階豎彎，相差1.38%；修正后的橫向彎曲頻率計(jì)算值與實(shí)測值相差最大為三階橫彎，相差2.83%；修正后的一階扭轉(zhuǎn)頻率計(jì)算值與實(shí)測值相差1.71%；可見，修正后豎向、橫向及扭轉(zhuǎn)振動頻率都與實(shí)測值均較為吻合，各階的MAC值也有一定的改善，修正后的MAC>0.85。綜上可得，基于多目標(biāo)優(yōu)化的靜動力有限元模型修正應(yīng)用于混凝土斜拉橋?qū)崢虻挠邢拊Ｐ托拚軌蛉〉幂^好的效果。

模型修正參數(shù)的初始值與修正值見表4，其中混凝土主梁和主塔的彈性模量值的修正幅度較大，主要是因?yàn)榛炷敛牧系膹椥阅Ａ勘旧砭哂休^大離散性，當(dāng)選材品質(zhì)好、施工質(zhì)量較好時(shí)，容易出現(xiàn)彈性模量值大于設(shè)計(jì)值的情況。此外，對于主梁，由于初始模型未考慮梁內(nèi)配有較多的普通鋼筋和預(yù)應(yīng)力鋼筋，以及未計(jì)入橋面鋪裝和混凝土防撞墻對主梁剛度的提高作用，這也是主梁的彈性模量修正幅度較大的重要原因；對于混凝土主塔，混凝土內(nèi)部配置強(qiáng)大鋼結(jié)構(gòu)勁性骨架和大量的普通鋼筋，而初始模型未考慮這些因素影響，這也是其彈性模量值修正幅度較大的另一個(gè)重要原因。

表2 模型修正前后靜力位移值比較Tab.2 Comparisons of static displacements before and after model updating

3.4.5 模型修正效果驗(yàn)證

通過上述的模型修正，使得大橋參與修正的計(jì)算靜力位移和模態(tài)結(jié)果與實(shí)測結(jié)果都已吻合較好，如果修正后的模型能更加真實(shí)的模擬實(shí)際結(jié)構(gòu)，那么未參與修正的靜動力實(shí)測值與相應(yīng)修正后模型的理論計(jì)算值會更加接近；若兩者差別沒有減小，則說明修正后的有限元模型還不能全面真實(shí)模擬實(shí)際結(jié)構(gòu)，還有其他產(chǎn)生誤差的因素未考慮到或修正方法還存在問題。采用靜力試驗(yàn)的主梁低塔側(cè)邊跨最大正彎矩工況(工況二)和主梁輔助墩墩頂處最大負(fù)彎矩工況(工況三)兩個(gè)工況為驗(yàn)證工況，修正前后的靜力位移比較如表5所示，可得模型修正后兩個(gè)工況的靜力位移計(jì)算值都與實(shí)測值更為吻合。采用大橋的第12和第13階自振頻率對動力修正效果進(jìn)行驗(yàn)證，修正前后的動力結(jié)果比較如表6所示，可見修正后的這兩階頻率的計(jì)算值與實(shí)測值更為接近。驗(yàn)證表明，未參與修正的靜力位移和動力計(jì)算結(jié)果也與實(shí)測值更加接近，修正后的有限元模型能夠較準(zhǔn)確全面的反映實(shí)際結(jié)構(gòu)的靜動力特性。

表3 模型修正前后動力特性比較Tab.3 Comparisons of dynamic properties before and after model updating

表4 模型修正前后參數(shù)值比較Tab.4 Comparisons of parameter values before and after model updating

表5 模型驗(yàn)證的靜力位移比較Tab.5 Comparisons of static displacements for model verification

表6 模型驗(yàn)證的動力特性比較Tab.6 Comparisons of dynamic properties for model verification

4 結(jié) 論

針對混凝土斜拉橋結(jié)構(gòu)，提出一種基于多目標(biāo)優(yōu)化的靜動力有限元模型修正方法，并將這種方法運(yùn)用于國內(nèi)某混凝土斜拉橋的有限元模型修正，主要得到以下幾點(diǎn)結(jié)論：

(1) 本文以靜動力實(shí)測數(shù)據(jù)構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，運(yùn)用了較全面的實(shí)測信息，獲得的修正結(jié)果能更全面的反映混凝土斜拉橋的靜動力特性，比單一運(yùn)用橋梁的靜力試驗(yàn)或者動力試驗(yàn)響應(yīng)獲得的修正結(jié)果更為可靠。

(2) 采用三維實(shí)體單元模擬背景斜拉橋的Π形截面混凝土主梁，最大進(jìn)化代數(shù)取為80代即可得到較好的多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果，修正后主梁的一階扭轉(zhuǎn)頻率計(jì)算值與實(shí)測值相差1.71%，二階扭轉(zhuǎn)頻率計(jì)算值與實(shí)測值相差1.42%，表明采用三維實(shí)體單元模擬混凝土斜拉橋Π形主梁能較真實(shí)地反映實(shí)際結(jié)構(gòu)的空間效應(yīng)，減少模型固有的離散誤差，取得更好的修正效果。

(3) 采用帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)對國內(nèi)某混凝土斜拉橋有限元模型進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化修正，獲得了分布較均勻的Pareto非劣解集，在此基礎(chǔ)上，利用最大彎曲角法得到了Pareto解集中的協(xié)調(diào)最優(yōu)解，最后利用未參與修正的靜動力實(shí)測數(shù)據(jù)對修正后的有限元模型進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明：基于多目標(biāo)優(yōu)化的靜動力有限元模型修正方法不但能避免現(xiàn)有的聯(lián)合靜動力模型修正方法中將多個(gè)子目標(biāo)函數(shù)組合轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)函數(shù)時(shí)人為確定權(quán)重系數(shù)給模型修正帶來的主觀性影響，而且模型修正效果也較為理想。模型修正后不僅參與優(yōu)化的靜力位移和動力計(jì)算結(jié)果與實(shí)測值更加吻合，而且未參與修正的靜力位移和動力計(jì)算結(jié)果也與實(shí)測值更加接近，表明修正后的有限元模型能夠較準(zhǔn)確全面的反映實(shí)際結(jié)構(gòu)的靜動力特性，可作為該橋的基準(zhǔn)有限元模型。